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6.如图，有一块长为21 m，宽为10 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3 m.
（1）如果两块绿地的面积之和为90 m²，求人行通道的宽度；
（2）能否改变人行通道的宽度，使得每块绿地的宽与长之比等于3：5？请说明理由.
（1）如果两块绿地的面积之和为90 m²，求人行通道的宽度；
（2）能否改变人行通道的宽度，使得每块绿地的宽与长之比等于3：5？请说明理由.
答案
6.解:(1)设人行通道的宽度为 x m,则两块矩形绿地的总长为$(21-3x)$m,宽为$(10-2x)$m.
根据题意,得$(21-3x)(10-2x)=90$,
整理,得$x^2-12x+20=0$,
解得$x_1=10$(不合题意,舍去),$x_2=2$.
答:人行通道的宽度为2 m.
(2)设人行通道的宽度为 y m 时,每块绿地的宽与长之比等于$3:5$.
根据题意,得$(10-2y):\frac{21-3y}{2}=3:5$,解得$y=\frac{37}{11}$.
$\because \frac{37}{11}＞3$,$\therefore$不能改变人行通道的宽度,使得每块绿地的宽与长之比等于$3:5$.
根据题意,得$(21-3x)(10-2x)=90$,
整理,得$x^2-12x+20=0$,
解得$x_1=10$(不合题意,舍去),$x_2=2$.
答:人行通道的宽度为2 m.
(2)设人行通道的宽度为 y m 时,每块绿地的宽与长之比等于$3:5$.
根据题意,得$(10-2y):\frac{21-3y}{2}=3:5$,解得$y=\frac{37}{11}$.
$\because \frac{37}{11}＞3$,$\therefore$不能改变人行通道的宽度,使得每块绿地的宽与长之比等于$3:5$.
解析
【分析】
（1）解决第一问首先设人行通道的宽度为x m，结合图形推导绿地的总尺寸：水平方向共有3段人行通道（左右各1段、两块绿地中间1段），因此两块绿地的总长为$(21-3x)$m；垂直方向共有2段人行通道（上下各1段），因此绿地的总宽为$(10-2x)$m，再根据两块绿地面积和为90$m^2$列一元二次方程，求解后结合“人行通道宽度不超过3m、绿地边长为正”的条件舍去不合理解即可。
（2）第二问先设人行通道宽度为y m，单块绿地的长为两块绿地总长度除以2，即$\frac{21-3y}{2}$ m，宽为$(10-2y)$m，根据宽与长的比为3:5列比例式求解，最后检验解是否满足通道宽度不超过3m的限制，即可判断是否可行。
【解析】
(1)设人行通道的宽度为x m，则两块矩形绿地的总长为$(21-3x)$m，宽为$(10-2x)$m。
根据题意得：
$(21-3x)(10-2x)=90$
整理得$x^2-12x+20=0$
解得$x_1=10$（不合题意，舍去），$x_2=2$。
(2)设人行通道的宽度为y m时，每块绿地的宽与长之比等于$3:5$。
根据题意得：
$(10-2y):\frac{21-3y}{2}=3:5$
解得$y=\frac{37}{11}$。
$\because \frac{37}{11}＞3$，不符合人行通道宽度的限制要求，因此无法实现。
【答案】
(1)人行通道的宽度为2 m；
(2)不能，符合比例要求的人行通道宽度为$\frac{37}{11}$ m，超过了3m的限制，因此不能实现。
【知识点】
一元二次方程的应用，比例的性质，实际问题解的检验
【点评】
本题是典型的几何类方程应用题，解题核心是结合图形结构准确用未知数表示出目标图形的边长，需要注意实际问题中未知数有明确的取值限制，求解后必须检验解是否符合题意，避免出现不符合实际的增根。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问首先设人行通道的宽度为x m，结合图形推导绿地的总尺寸：水平方向共有3段人行通道（左右各1段、两块绿地中间1段），因此两块绿地的总长为$(21-3x)$m；垂直方向共有2段人行通道（上下各1段），因此绿地的总宽为$(10-2x)$m，再根据两块绿地面积和为90$m^2$列一元二次方程，求解后结合“人行通道宽度不超过3m、绿地边长为正”的条件舍去不合理解即可。
（2）第二问先设人行通道宽度为y m，单块绿地的长为两块绿地总长度除以2，即$\frac{21-3y}{2}$ m，宽为$(10-2y)$m，根据宽与长的比为3:5列比例式求解，最后检验解是否满足通道宽度不超过3m的限制，即可判断是否可行。
【解析】
(1)设人行通道的宽度为x m，则两块矩形绿地的总长为$(21-3x)$m，宽为$(10-2x)$m。
根据题意得：
$(21-3x)(10-2x)=90$
整理得$x^2-12x+20=0$
解得$x_1=10$（不合题意，舍去），$x_2=2$。
(2)设人行通道的宽度为y m时，每块绿地的宽与长之比等于$3:5$。
根据题意得：
$(10-2y):\frac{21-3y}{2}=3:5$
解得$y=\frac{37}{11}$。
$\because \frac{37}{11}＞3$，不符合人行通道宽度的限制要求，因此无法实现。
【答案】
(1)人行通道的宽度为2 m；
(2)不能，符合比例要求的人行通道宽度为$\frac{37}{11}$ m，超过了3m的限制，因此不能实现。
【知识点】
一元二次方程的应用，比例的性质，实际问题解的检验
【点评】
本题是典型的几何类方程应用题，解题核心是结合图形结构准确用未知数表示出目标图形的边长，需要注意实际问题中未知数有明确的取值限制，求解后必须检验解是否符合题意，避免出现不符合实际的增根。
【难度系数】
0.7
7.某学校在“美化校园，幸福学习”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用20 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边）。
(1)若花园的面积为75 m²，求AB的长。
(2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙CD的距离为12 m，若要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），问该花园的面积能否为100 m²？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由。
(1)若花园的面积为75 m²，求AB的长。
(2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙CD的距离为12 m，若要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），问该花园的面积能否为100 m²？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由。
答案
7.解:(1)设$AB=x$ m,则$AD=(20-x)$m.
根据题意,得$x(20-x)=75$,解得$x_1=5,x_2=15$.
答:AB的长为5 m或15 m.
(2)假设能将这棵树围在矩形花园内,且该花园的面积能为$100\ \mathrm{m}^2$.设AD的长为 y m.
根据题意,得$y(20-y)=100$,解得$y_1=y_2=10$.
$\because 10＜12$,$\therefore$要将这棵树围在矩形花园内,该花园的面积不能为$100\ \mathrm{m}^2$.
根据题意,得$x(20-x)=75$,解得$x_1=5,x_2=15$.
答:AB的长为5 m或15 m.
(2)假设能将这棵树围在矩形花园内,且该花园的面积能为$100\ \mathrm{m}^2$.设AD的长为 y m.
根据题意,得$y(20-y)=100$,解得$y_1=y_2=10$.
$\because 10＜12$,$\therefore$要将这棵树围在矩形花园内,该花园的面积不能为$100\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
(1) 第一问中篱笆仅围AB、AD两边，总长为20m，因此可设AB长为x m，可得AD长为(20-x)m，结合矩形面积=长×宽的公式，根据面积为75m²的条件列一元二次方程求解即可，注意结果要符合实际长度要求。
(2) 第二问首先明确树被围入花园的条件：点P到CD的距离为12m，因此AD的长度至少为12m。先假设花园面积能达到100m²，设AD长为y m，根据面积公式列方程求解，再将解得的AD长度与12m比较，判断是否满足围入树的要求即可。
【解析】
(1) 设$AB=x$ m，则$AD=(20-x)$m。
根据矩形面积公式列方程：
$x(20-x)=75$
整理得$x^2-20x+75=0$，因式分解得$(x-5)(x-15)=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=15$，两个解均符合实际长度要求。
(2) 不能，理由如下：
要将树围在花园内，需满足$AD≥12\ \mathrm{m}$。
假设花园面积能为$100\ \mathrm{m}^2$，设AD的长为 y m，列方程得：
$y(20-y)=100$
整理得$y^2-20y+100=0$，即$(y-10)^2=0$，解得$y_1=y_2=10$。
因为$10＜12$，不满足AD≥12m的要求，因此该花园的面积不能为$100\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) AB的长为5 m或15 m；
(2) 该花园的面积不能为$100\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际解的验证
【点评】
本题是一元二次方程在实际场景中的典型应用，解题时除了正确列方程求解外，还要注意结合题目给出的实际限制条件对解的合理性进行验证，避免遗漏约束条件出错。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问中篱笆仅围AB、AD两边，总长为20m，因此可设AB长为x m，可得AD长为(20-x)m，结合矩形面积=长×宽的公式，根据面积为75m²的条件列一元二次方程求解即可，注意结果要符合实际长度要求。
(2) 第二问首先明确树被围入花园的条件：点P到CD的距离为12m，因此AD的长度至少为12m。先假设花园面积能达到100m²，设AD长为y m，根据面积公式列方程求解，再将解得的AD长度与12m比较，判断是否满足围入树的要求即可。
【解析】
(1) 设$AB=x$ m，则$AD=(20-x)$m。
根据矩形面积公式列方程：
$x(20-x)=75$
整理得$x^2-20x+75=0$，因式分解得$(x-5)(x-15)=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=15$，两个解均符合实际长度要求。
(2) 不能，理由如下：
要将树围在花园内，需满足$AD≥12\ \mathrm{m}$。
假设花园面积能为$100\ \mathrm{m}^2$，设AD的长为 y m，列方程得：
$y(20-y)=100$
整理得$y^2-20y+100=0$，即$(y-10)^2=0$，解得$y_1=y_2=10$。
因为$10＜12$，不满足AD≥12m的要求，因此该花园的面积不能为$100\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) AB的长为5 m或15 m；
(2) 该花园的面积不能为$100\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际解的验证
【点评】
本题是一元二次方程在实际场景中的典型应用，解题时除了正确列方程求解外，还要注意结合题目给出的实际限制条件对解的合理性进行验证，避免遗漏约束条件出错。
【难度系数】
0.7
8.某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形(
),已知栅栏的总长度为24 m,设较小矩形的宽为x m.
(1)若矩形养殖场的总面积为36 m²,求此时x的值;
(2)该农场想要建一个50 m²的矩形养殖场,这一想法能实现吗?请说明理由.
),已知栅栏的总长度为24 m,设较小矩形的宽为x m.(1)若矩形养殖场的总面积为36 m²,求此时x的值;
(2)该农场想要建一个50 m²的矩形养殖场,这一想法能实现吗?请说明理由.
答案
8.解:(1)$\because BC=x$ m,矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍,$\therefore CD=2x$ m,
$\therefore BD=3x$ m,$AB=CF=DE=\frac{1}{3}(24-BD)=(8-x)$m.
根据题意,得$3x(8-x)=36$,
整理,得$x^2-8x+12=0$,解得$x_1=2,x_2=6$.
当$x=2$时,$3x=3×2=6＜10$,符合题意;
当$x=6$时,$3x=3×6=18＞10$,不符合题意,舍去.
答:此时x的值为2.
(2)这一想法不能实现.理由如下:
假设这一想法能实现,根据题意,得$3x(8-x)=50$,
整理,得$3x^2-24x+50=0$.
$\because b^2-4ac=(-24)^2-4×3×50=-24＜0$,
$\therefore$原方程没有实数根,
$\therefore$假设不成立,即这一想法不能实现.
$\therefore BD=3x$ m,$AB=CF=DE=\frac{1}{3}(24-BD)=(8-x)$m.
根据题意,得$3x(8-x)=36$,
整理,得$x^2-8x+12=0$,解得$x_1=2,x_2=6$.
当$x=2$时,$3x=3×2=6＜10$,符合题意;
当$x=6$时,$3x=3×6=18＞10$,不符合题意,舍去.
答:此时x的值为2.
(2)这一想法不能实现.理由如下:
假设这一想法能实现,根据题意,得$3x(8-x)=50$,
整理,得$3x^2-24x+50=0$.
$\because b^2-4ac=(-24)^2-4×3×50=-24＜0$,
$\therefore$原方程没有实数根,
$\therefore$假设不成立,即这一想法不能实现.
解析
【分析】
解这道题首先要结合面积比确定矩形各边的关系：两个矩形高相同，面积比为1:2，因此底边长之比为1:2，较小矩形宽为x m，则较大矩形宽为2x m，整个养殖场平行于墙的总长为3x m。再根据栅栏总长度24m，可求出垂直于墙的边长为$\frac{24-3x}{3}=(8-x)$m，同时要注意墙长仅10m，因此3x≤10，求解后需验证根是否符合该限制条件。
(1) 求x的值时，根据矩形面积公式“总面积=平行于墙的总长×垂直于墙的边长”列一元二次方程，求解后舍去不符合墙长限制的根即可。
(2) 判断能否建成50$\mathrm{m^2}$的养殖场，只需将总面积替换为50列方程，通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则无实根，说明想法不能实现。
【解析】
(1) 由题意得，较小矩形宽$BC=x$ m，两个矩形面积比为1:2且高相等，因此较大矩形宽$CD=2x$ m，整个养殖场平行于墙的总长$BD=BC+CD=3x$ m。
垂直于墙的三段栅栏AB、CF、DE长度相等，因此单段长度为$\frac{24 - BD}{3}=\frac{24-3x}{3}=(8-x)$m。
根据总面积为36$\mathrm{m^2}$列方程：
$3x(8-x)=36$
整理得$x^2-8x+12=0$，解得$x_1=2,x_2=6$。
结合墙长10m的限制，需满足$BD≤10$m：
当$x=2$时，$BD=3×2=6$m$＜10$m，符合题意；
当$x=6$时，$BD=3×6=18$m$＞10$m，不符合题意，舍去。
(2) 假设能建成50$\mathrm{m^2}$的养殖场，根据题意列方程：
$3x(8-x)=50$
整理得$3x^2-24x+50=0$。
计算根的判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-24)^2 - 4×3×50=-24＜0$，
因此该一元二次方程无实数根，假设不成立，即无法建成50$\mathrm{m^2}$的养殖场。
【答案】
(1) $x$的值为2；
(2) 不能实现，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的实际应用；一元二次方程根的判别式；矩形面积计算
【点评】
本题是典型的一元二次方程实际应用问题，解题时要注意结合实际场景的限制条件对求解得到的根进行验证取舍，同时要掌握利用根的判别式判断方程解的存在性，进而解决实际可行性类问题。
【难度系数】
0.7
解这道题首先要结合面积比确定矩形各边的关系：两个矩形高相同，面积比为1:2，因此底边长之比为1:2，较小矩形宽为x m，则较大矩形宽为2x m，整个养殖场平行于墙的总长为3x m。再根据栅栏总长度24m，可求出垂直于墙的边长为$\frac{24-3x}{3}=(8-x)$m，同时要注意墙长仅10m，因此3x≤10，求解后需验证根是否符合该限制条件。
(1) 求x的值时，根据矩形面积公式“总面积=平行于墙的总长×垂直于墙的边长”列一元二次方程，求解后舍去不符合墙长限制的根即可。
(2) 判断能否建成50$\mathrm{m^2}$的养殖场，只需将总面积替换为50列方程，通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则无实根，说明想法不能实现。
【解析】
(1) 由题意得，较小矩形宽$BC=x$ m，两个矩形面积比为1:2且高相等，因此较大矩形宽$CD=2x$ m，整个养殖场平行于墙的总长$BD=BC+CD=3x$ m。
垂直于墙的三段栅栏AB、CF、DE长度相等，因此单段长度为$\frac{24 - BD}{3}=\frac{24-3x}{3}=(8-x)$m。
根据总面积为36$\mathrm{m^2}$列方程：
$3x(8-x)=36$
整理得$x^2-8x+12=0$，解得$x_1=2,x_2=6$。
结合墙长10m的限制，需满足$BD≤10$m：
当$x=2$时，$BD=3×2=6$m$＜10$m，符合题意；
当$x=6$时，$BD=3×6=18$m$＞10$m，不符合题意，舍去。
(2) 假设能建成50$\mathrm{m^2}$的养殖场，根据题意列方程：
$3x(8-x)=50$
整理得$3x^2-24x+50=0$。
计算根的判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-24)^2 - 4×3×50=-24＜0$，
因此该一元二次方程无实数根，假设不成立，即无法建成50$\mathrm{m^2}$的养殖场。
【答案】
(1) $x$的值为2；
(2) 不能实现，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的实际应用；一元二次方程根的判别式；矩形面积计算
【点评】
本题是典型的一元二次方程实际应用问题，解题时要注意结合实际场景的限制条件对求解得到的根进行验证取舍，同时要掌握利用根的判别式判断方程解的存在性，进而解决实际可行性类问题。
【难度系数】
0.7
