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1.(2025·盐城一模)如图,某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆,一面利用墙(墙的长度足够),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD,为了方便出入,建造篱笆花圃时在BC边留了宽为1米的两个进出口(不需材料),若花圃的面积刚好为40平方米,设AB的长为x米,则可列方程为 (
A.$x(18-3x)=40$
B.$x(20-2x)=40$
C.$x(22-3x)=40$
D.$x(20-3x)=40$
D
)A.$x(18-3x)=40$
B.$x(20-2x)=40$
C.$x(22-3x)=40$
D.$x(20-3x)=40$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先明确两个核心等量关系：①篱笆总长度（不含进出口）为18米；②长方形花圃面积为40平方米。首先确定AB为垂直于墙的边，长度为x米，观察图形可知垂直于墙的篱笆共有3段，可先表示出这部分的总长度；再结合BC边有2个1米的进出口，无需篱笆材料，即可推导出平行于墙的边BC的长度表达式；最后根据长方形面积公式列出方程即可。
【解析】
设AB的长为x米，由图可知垂直于墙的篱笆共有3段，每段长度均为x米，因此垂直墙的篱笆总长为3x米。
已知BC边留有2个宽为1米的进出口（不需篱笆材料），篱笆总长度为18米，因此平行于墙的BC边的长度满足：
$3x + (BC - 1×2) = 18$
整理得：$BC = 18 + 2 - 3x = 20 - 3x$
又因为花圃面积为40平方米，根据长方形面积=长×宽，可得：
$x(20 - 3x) = 40$
因此符合要求的方程为D选项。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的实际应用，列代数式，长方形面积计算
【点评】
本题属于篱笆围建类的方程应用问题，解题的易错点是容易忽略进出口无需篱笆材料，错误计算平行于墙的边长，只要准确梳理各段篱笆的长度关系，结合面积公式即可快速列出方程。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两个核心等量关系：①篱笆总长度（不含进出口）为18米；②长方形花圃面积为40平方米。首先确定AB为垂直于墙的边，长度为x米，观察图形可知垂直于墙的篱笆共有3段，可先表示出这部分的总长度；再结合BC边有2个1米的进出口，无需篱笆材料，即可推导出平行于墙的边BC的长度表达式；最后根据长方形面积公式列出方程即可。
【解析】
设AB的长为x米，由图可知垂直于墙的篱笆共有3段，每段长度均为x米，因此垂直墙的篱笆总长为3x米。
已知BC边留有2个宽为1米的进出口（不需篱笆材料），篱笆总长度为18米，因此平行于墙的BC边的长度满足：
$3x + (BC - 1×2) = 18$
整理得：$BC = 18 + 2 - 3x = 20 - 3x$
又因为花圃面积为40平方米，根据长方形面积=长×宽，可得：
$x(20 - 3x) = 40$
因此符合要求的方程为D选项。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的实际应用，列代数式，长方形面积计算
【点评】
本题属于篱笆围建类的方程应用问题，解题的易错点是容易忽略进出口无需篱笆材料，错误计算平行于墙的边长，只要准确梳理各段篱笆的长度关系，结合面积公式即可快速列出方程。
【难度系数】
0.7
2.一条长 64 cm 的铁丝被剪成不相等的两段,每段均折成正方形.若两个正方形的面积和等于160 cm²,则其中较小的正方形的边长为
4
cm.答案
2.4
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程解决几何实际问题的题目，解题思路如下：第一步，明确核心等量关系：两个正方形的面积之和为160cm²；第二步，设较小正方形的边长为未知数，结合铁丝总长度表示出另一个正方形的边长；第三步，根据面积等量关系列一元二次方程；第四步，求解方程后，结合“两段不相等、较小正方形边长”的限制条件舍去不符合题意的解，得到最终结果。
【解析】
解：设较小正方形的边长为$ x $ cm，则该正方形的周长为$ 4x $ cm。
另一段铁丝的长度为$ 64 - 4x $ cm，因此另一个正方形的边长为$ \frac{64 - 4x}{4} = (16 - x) $ cm。
根据两个正方形面积和为160 cm²，列方程：
$ x^2 + (16 - x)^2 = 160 $
展开并整理方程：
$ x^2 + 256 - 32x + x^2 = 160 $
$ 2x^2 - 32x + 96 = 0 $
化简得：$ x^2 - 16x + 48 = 0 $
因式分解得：$ (x - 4)(x - 12) = 0 $
解得：$ x_1 = 4 $，$ x_2 = 12 $
因为要求是较小的正方形边长，所以$ x ＜ 16 - x $，即$ x ＜ 8 $，因此$ x = 12 $不符合题意，舍去。
所以较小正方形的边长为4 cm。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程的应用；正方形周长与面积计算；一元二次方程的求解
【点评】
本题属于列方程解应用题的常规题型，解题核心是找准等量关系列方程，同时要注意结合实际问题的限制条件对求出的根进行检验，排除不符合要求的增解。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元二次方程解决几何实际问题的题目，解题思路如下：第一步，明确核心等量关系：两个正方形的面积之和为160cm²；第二步，设较小正方形的边长为未知数，结合铁丝总长度表示出另一个正方形的边长；第三步，根据面积等量关系列一元二次方程；第四步，求解方程后，结合“两段不相等、较小正方形边长”的限制条件舍去不符合题意的解，得到最终结果。
【解析】
解：设较小正方形的边长为$ x $ cm，则该正方形的周长为$ 4x $ cm。
另一段铁丝的长度为$ 64 - 4x $ cm，因此另一个正方形的边长为$ \frac{64 - 4x}{4} = (16 - x) $ cm。
根据两个正方形面积和为160 cm²，列方程：
$ x^2 + (16 - x)^2 = 160 $
展开并整理方程：
$ x^2 + 256 - 32x + x^2 = 160 $
$ 2x^2 - 32x + 96 = 0 $
化简得：$ x^2 - 16x + 48 = 0 $
因式分解得：$ (x - 4)(x - 12) = 0 $
解得：$ x_1 = 4 $，$ x_2 = 12 $
因为要求是较小的正方形边长，所以$ x ＜ 16 - x $，即$ x ＜ 8 $，因此$ x = 12 $不符合题意，舍去。
所以较小正方形的边长为4 cm。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程的应用；正方形周长与面积计算；一元二次方程的求解
【点评】
本题属于列方程解应用题的常规题型，解题核心是找准等量关系列方程，同时要注意结合实际问题的限制条件对求出的根进行检验，排除不符合要求的增解。
【难度系数】
0.7
3.要在一块长12 m，宽8 m的矩形空地中，修建两条形状为平行四边形的甬道（其中一条甬道形状为矩形），剩余部分栽种蔬菜，且菜地的面积为77 m²，若设两条甬道的入口宽EF=GH= x m，则x=
1
。答案
3.1
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程解决面积类实际问题的题目，可采用平移法简化计算：将四块蔬菜种植区域平移拼接，可得到一个新的矩形，新矩形的长为原矩形长减去甬道宽x，即(12-x)m，新矩形的宽为原矩形宽减去甬道宽x，即(8-x)m，再结合菜地面积为77m²列方程求解，最后舍去不符合实际意义的根即可。
【解析】
根据平移法，拼接后菜地为长(12-x)m、宽(8-x)m的矩形，由题意列方程：
$(12-x)(8-x)=77$
展开整理得：
$x^2-20x+19=0$
因式分解得：
$(x-1)(x-19)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=19$。
由于甬道宽不可能超过原矩形的宽8m，因此$x=19$不符合实际，舍去。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程应用，图形平移，面积计算
【点评】
本题属于面积类实际应用题，利用平移法拼接空白区域可有效降低计算复杂度，求解方程后要注意结合实际场景检验根的合理性，舍去不符合题意的根。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元二次方程解决面积类实际问题的题目，可采用平移法简化计算：将四块蔬菜种植区域平移拼接，可得到一个新的矩形，新矩形的长为原矩形长减去甬道宽x，即(12-x)m，新矩形的宽为原矩形宽减去甬道宽x，即(8-x)m，再结合菜地面积为77m²列方程求解，最后舍去不符合实际意义的根即可。
【解析】
根据平移法，拼接后菜地为长(12-x)m、宽(8-x)m的矩形，由题意列方程：
$(12-x)(8-x)=77$
展开整理得：
$x^2-20x+19=0$
因式分解得：
$(x-1)(x-19)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=19$。
由于甬道宽不可能超过原矩形的宽8m，因此$x=19$不符合实际，舍去。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程应用，图形平移，面积计算
【点评】
本题属于面积类实际应用题，利用平移法拼接空白区域可有效降低计算复杂度，求解方程后要注意结合实际场景检验根的合理性，舍去不符合题意的根。
【难度系数】
0.7
4.如图，学校打算在长30 m，宽20 m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成宽为a m的通道。若花圃的面积恰好为264 m²，则a的值为
4
。答案
4.4
解析
【分析】
要解决这个问题，我们首先需要根据通道宽度表示出花圃的长和宽，再利用花圃的面积列方程求解。首先观察图形：大长方形长为30m，左右通道宽均为a m，因此花圃的长等于大长方形的长减去2个a；大长方形宽为20m，上下通道宽均为a m，因此花圃的宽等于大长方形的宽减去2个a。再根据“长方形面积=长×宽”，结合花圃面积为264m²列一元二次方程，解方程后需检验根是否符合实际意义，舍去不合理的根即可得到a的值。
【解析】
由题意可知，花圃的长为$(30-2a)\ \mathrm{m}$，宽为$(20-2a)\ \mathrm{m}$。
根据花圃面积为$264\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$(30-2a)(20-2a)=264$
展开并整理方程：
$600 - 60a - 40a + 4a^2 = 264$
$4a^2 - 100a + 336 = 0$
两边同时除以4化简得：
$a^2 - 25a + 84 = 0$
因式分解得：
$(a-4)(a-21)=0$
解得$a_1=4$，$a_2=21$。
检验：当$a=21$时，$20-2a=20-42=-22＜0$，不符合实际意义，舍去。
因此$a$的值为4。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、方程根的取舍
【点评】
本题是典型的面积类一元二次方程实际应用题，解题的核心是正确用含参数的式子表示出所求图形的边长，解方程后要注意结合实际场景判断根是否合理，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们首先需要根据通道宽度表示出花圃的长和宽，再利用花圃的面积列方程求解。首先观察图形：大长方形长为30m，左右通道宽均为a m，因此花圃的长等于大长方形的长减去2个a；大长方形宽为20m，上下通道宽均为a m，因此花圃的宽等于大长方形的宽减去2个a。再根据“长方形面积=长×宽”，结合花圃面积为264m²列一元二次方程，解方程后需检验根是否符合实际意义，舍去不合理的根即可得到a的值。
【解析】
由题意可知，花圃的长为$(30-2a)\ \mathrm{m}$，宽为$(20-2a)\ \mathrm{m}$。
根据花圃面积为$264\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$(30-2a)(20-2a)=264$
展开并整理方程：
$600 - 60a - 40a + 4a^2 = 264$
$4a^2 - 100a + 336 = 0$
两边同时除以4化简得：
$a^2 - 25a + 84 = 0$
因式分解得：
$(a-4)(a-21)=0$
解得$a_1=4$，$a_2=21$。
检验：当$a=21$时，$20-2a=20-42=-22＜0$，不符合实际意义，舍去。
因此$a$的值为4。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、方程根的取舍
【点评】
本题是典型的面积类一元二次方程实际应用题，解题的核心是正确用含参数的式子表示出所求图形的边长，解方程后要注意结合实际场景判断根是否合理，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
5.(2025·南京鼓楼区一模)如图①,一张长方形纸板的长为24 cm,宽为12 cm,将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子,若该长方体盒子的底面积为32 cm²,求该长方体盒子的高. 
答案
5.解:设该长方体盒子的高为 x cm,则该长方形盒子的底面为长$\frac{24-2x}{2}=(12-x)$cm,宽$(12-2x)$cm的长方形.
根据题意,得$(12-x)(12-2x)=32$,
整理,得$x^2-18x+56=0$,解得$x_1=4,x_2=14$.
又$\because 12-2x＞0,\therefore x＜6,\therefore x=4$.
答:该长方体盒子的高为4 cm.
根据题意,得$(12-x)(12-2x)=32$,
整理,得$x^2-18x+56=0$,解得$x_1=4,x_2=14$.
又$\because 12-2x＞0,\therefore x＜6,\therefore x=4$.
答:该长方体盒子的高为4 cm.
解析
【分析】
这是一道结合长方体折叠的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先明确长方体盒子的高就是剪掉的四角小正方形的边长，设高为x cm；其次推导底面的长和宽：原纸板宽12cm，上下各剪去x，因此底面的宽为(12-2x)cm，原纸板长24cm，左右各剪去x后剩余的长度要平分作为底面的长和盒盖的长，因此底面的长为$\frac{24-2x}{2}=(12-x)$cm；再根据“底面积=长×宽=32cm²”列方程；最后求解一元二次方程，结合边长为正数的实际要求舍去不符合题意的根，得到最终结果。
【解析】
解：设该长方体盒子的高为x cm。
由折叠性质可得，长方体盒子底面的宽为$(12-2x)$cm，底面的长为$\frac{24-2x}{2}=(12-x)$cm。
根据底面积为32 cm²列方程：
$(12-x)(12-2x)=32$
整理得：
$x^2-18x+56=0$
因式分解得$(x-4)(x-14)=0$，解得$x_1=4,x_2=14$。
结合实际意义，底面宽$12-2x＞0$，即$x＜6$，因此$x=14$不符合题意，舍去。
故$x=4$。
【答案】
该长方体盒子的高为4 cm
【知识点】
一元二次方程应用；长方体展开折叠；实际问题验根
【点评】
本题结合折叠纸盒的生活场景，考查一元二次方程的实际应用，解题核心是准确根据折叠关系表示出长方体底面的长和宽，求解方程后要注意结合实际情况对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
这是一道结合长方体折叠的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先明确长方体盒子的高就是剪掉的四角小正方形的边长，设高为x cm；其次推导底面的长和宽：原纸板宽12cm，上下各剪去x，因此底面的宽为(12-2x)cm，原纸板长24cm，左右各剪去x后剩余的长度要平分作为底面的长和盒盖的长，因此底面的长为$\frac{24-2x}{2}=(12-x)$cm；再根据“底面积=长×宽=32cm²”列方程；最后求解一元二次方程，结合边长为正数的实际要求舍去不符合题意的根，得到最终结果。
【解析】
解：设该长方体盒子的高为x cm。
由折叠性质可得，长方体盒子底面的宽为$(12-2x)$cm，底面的长为$\frac{24-2x}{2}=(12-x)$cm。
根据底面积为32 cm²列方程：
$(12-x)(12-2x)=32$
整理得：
$x^2-18x+56=0$
因式分解得$(x-4)(x-14)=0$，解得$x_1=4,x_2=14$。
结合实际意义，底面宽$12-2x＞0$，即$x＜6$，因此$x=14$不符合题意，舍去。
故$x=4$。
【答案】
该长方体盒子的高为4 cm
【知识点】
一元二次方程应用；长方体展开折叠；实际问题验根
【点评】
本题结合折叠纸盒的生活场景，考查一元二次方程的实际应用，解题核心是准确根据折叠关系表示出长方体底面的长和宽，求解方程后要注意结合实际情况对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
