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10.(12分)(2025·南充)设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值;
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值;
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
答案
10. (1)解:把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$,
得$m^2=6,\therefore m=\pm\sqrt{6},\therefore (x-1)(x-2)=6$,
即$x^2-3x-4=0,\therefore (x-4)(x+1)=0$,
$\therefore x_1=-1,x_2=4,\therefore x_2=4,m=\pm\sqrt{6}$.
(2)证明:方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$.
$\because \Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$,
$\therefore$方程有两个不相等的实数根.
$\because$方程$(x-1)(x-2)=m^2$,
即$x^2-3x+2-m^2=0$的两根为$x_1,x_2$,
$\therefore x_1+x_2=3,x_1· x_2=2-m^2$,
$\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1· x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$.
$\because m^2≥0,\therefore -m^2≤0$,即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
得$m^2=6,\therefore m=\pm\sqrt{6},\therefore (x-1)(x-2)=6$,
即$x^2-3x-4=0,\therefore (x-4)(x+1)=0$,
$\therefore x_1=-1,x_2=4,\therefore x_2=4,m=\pm\sqrt{6}$.
(2)证明:方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$.
$\because \Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$,
$\therefore$方程有两个不相等的实数根.
$\because$方程$(x-1)(x-2)=m^2$,
即$x^2-3x+2-m^2=0$的两根为$x_1,x_2$,
$\therefore x_1+x_2=3,x_1· x_2=2-m^2$,
$\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1· x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$.
$\because m^2≥0,\therefore -m^2≤0$,即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
解析
【分析】
(1) 已知$x_1=-1$是方程的根，根据方程根的定义，根代入方程等式成立，因此先将$x_1=-1$代入原方程求出$m^2$的值，即可得到$m$的取值；再将$m^2$的值代回原方程，解一元二次方程即可得到另一个根$x_2$。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将待证的式子展开，代入两根和、两根积的表达式化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 解：把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，
得$m^2=(-1-1)×(-1-2)=6$，$\therefore m=\pm\sqrt{6}$，
$\therefore$原方程为$(x-1)(x-2)=6$，
整理得$x^2-3x-4=0$，因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，
解得$x_1=-1,x_2=4$。
(2) 证明：将方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：$x^2-3x+2-m^2=0$，
$\because \Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=4m^2+1＞0$，
$\therefore$方程总有两个不相等的实数根，
$\because x_1,x_2$是方程的两根，由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=3$，$x_1· x_2=2-m^2$，
$\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1· x_2-(x_1+x_2)+1$，
代入得：原式$=2-m^2-3+1=-m^2$，
$\because m^2≥0$，$\therefore -m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程章节的典型题型，第一问侧重考查根的定义的应用和一元二次方程的解法，难度较低；第二问需要结合根与系数的关系对代数式变形，再利用非负性完成证明，注重基础知识点的综合运用，整体难度适中。
【难度系数】
0.7
(1) 已知$x_1=-1$是方程的根，根据方程根的定义，根代入方程等式成立，因此先将$x_1=-1$代入原方程求出$m^2$的值，即可得到$m$的取值；再将$m^2$的值代回原方程，解一元二次方程即可得到另一个根$x_2$。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将待证的式子展开，代入两根和、两根积的表达式化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 解：把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，
得$m^2=(-1-1)×(-1-2)=6$，$\therefore m=\pm\sqrt{6}$，
$\therefore$原方程为$(x-1)(x-2)=6$，
整理得$x^2-3x-4=0$，因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，
解得$x_1=-1,x_2=4$。
(2) 证明：将方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：$x^2-3x+2-m^2=0$，
$\because \Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=4m^2+1＞0$，
$\therefore$方程总有两个不相等的实数根，
$\because x_1,x_2$是方程的两根，由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=3$，$x_1· x_2=2-m^2$，
$\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1· x_2-(x_1+x_2)+1$，
代入得：原式$=2-m^2-3+1=-m^2$，
$\because m^2≥0$，$\therefore -m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程章节的典型题型，第一问侧重考查根的定义的应用和一元二次方程的解法，难度较低；第二问需要结合根与系数的关系对代数式变形，再利用非负性完成证明，注重基础知识点的综合运用，整体难度适中。
【难度系数】
0.7
11.(16分)已知关于x的一元二次方程$x^2 - (m+2)x + m -1 = 0$.
(1)求证:无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为$x_1, x_2$,且$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9$,求m的值.
(1)求证:无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为$x_1, x_2$,且$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9$,求m的值.
答案
11. (1)证明:方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$中$a=1,b=-(m+2),c=m-1$.
$\because b^2-4ac=[-(m+2)]^2-4×1×(m-1)=m^2+4m+4-4m+4=m^2+8$,又$m^2≥0,\therefore m^2+8＞0$,
$\therefore$无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)解:$\because$方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$的两个实数根为$x_1,x_2,\therefore x_1+x_2=m+2,x_1x_2=m-1$.
$\because x_1^2+x_2^2-x_1x_2=9$,即$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=9$,
$\therefore (m+2)^2-3(m-1)=9$,整理,得$m^2+m-2=0$,
即$(m+2)(m-1)=0$,解得$m_1=-2,m_2=1$.
$\therefore m$的值为$-2$或$1$.
$\because b^2-4ac=[-(m+2)]^2-4×1×(m-1)=m^2+4m+4-4m+4=m^2+8$,又$m^2≥0,\therefore m^2+8＞0$,
$\therefore$无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)解:$\because$方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$的两个实数根为$x_1,x_2,\therefore x_1+x_2=m+2,x_1x_2=m-1$.
$\because x_1^2+x_2^2-x_1x_2=9$,即$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=9$,
$\therefore (m+2)^2-3(m-1)=9$,整理,得$m^2+m-2=0$,
即$(m+2)(m-1)=0$,解得$m_1=-2,m_2=1$.
$\therefore m$的值为$-2$或$1$.
解析
【分析】
(1)要证明一元二次方程无论m取何值都有两个不相等的实数根，核心是证明根的判别式$\Delta=b^2-4ac$恒大于0。首先从方程中提取a、b、c的表达式，代入判别式化简后，结合平方的非负性判断$\Delta$的取值范围即可得证。
(2)已知两根的代数式的值，需利用根与系数的关系，先写出两根之和、两根之积关于m的表达式，再将$x_1^2+x_2^2-x_1x_2$变形为用$(x_1+x_2)$和$x_1x_2$表示的形式，整体代入后得到关于m的一元二次方程求解即可，由(1)可知$\Delta$恒正，无需额外验根。
【解析】
(1)证明：在一元二次方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$中，$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=m-1$。
根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac = [-(m+2)]^2 - 4×1×(m-1)$
$=m^2+4m+4-4m+4=m^2+8$
∵$m^2≥0$，
∴$m^2+8＞0$，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2)解：
∵方程的两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系得：
$x_1+x_2=m+2$，$x_1x_2=m-1$
已知$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=9$，变形得：
$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=9$
代入两根和与积的表达式得：
$(m+2)^2-3(m-1)=9$
展开整理得：$m^2+m-2=0$
因式分解得：$(m+2)(m-1)=0$
解得$m_1=-2$，$m_2=1$。
【答案】
(1)无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)m的值为$\boldsymbol{-2}$或$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.根与系数的关系（韦达定理）
3.完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问直接考查判别式和根的个数的对应关系，第二问需要结合完全平方公式对代数式变形，再通过整体代入计算求解，解题思路清晰，公式掌握扎实即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
(1)要证明一元二次方程无论m取何值都有两个不相等的实数根，核心是证明根的判别式$\Delta=b^2-4ac$恒大于0。首先从方程中提取a、b、c的表达式，代入判别式化简后，结合平方的非负性判断$\Delta$的取值范围即可得证。
(2)已知两根的代数式的值，需利用根与系数的关系，先写出两根之和、两根之积关于m的表达式，再将$x_1^2+x_2^2-x_1x_2$变形为用$(x_1+x_2)$和$x_1x_2$表示的形式，整体代入后得到关于m的一元二次方程求解即可，由(1)可知$\Delta$恒正，无需额外验根。
【解析】
(1)证明：在一元二次方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$中，$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=m-1$。
根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac = [-(m+2)]^2 - 4×1×(m-1)$
$=m^2+4m+4-4m+4=m^2+8$
∵$m^2≥0$，
∴$m^2+8＞0$，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2)解：
∵方程的两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系得：
$x_1+x_2=m+2$，$x_1x_2=m-1$
已知$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=9$，变形得：
$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=9$
代入两根和与积的表达式得：
$(m+2)^2-3(m-1)=9$
展开整理得：$m^2+m-2=0$
因式分解得：$(m+2)(m-1)=0$
解得$m_1=-2$，$m_2=1$。
【答案】
(1)无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)m的值为$\boldsymbol{-2}$或$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.根与系数的关系（韦达定理）
3.完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问直接考查判别式和根的个数的对应关系，第二问需要结合完全平方公式对代数式变形，再通过整体代入计算求解，解题思路清晰，公式掌握扎实即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
12.(20分)阅读材料并解决问题.
材料:已知实数$m,n$满足$m^2 - m -1=0,n^2 -n -1=0$,且$m≠n$,求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值.
解:由题意知,$m,n$是方程$x^2 -x -1=0$的两个不相等的实数根,则$m+n=1,mn=-1$,
$\therefore \frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{m^2 +n^2}{mn}=\frac{(m+n)^2 -2mn}{mn}=\frac{1+2}{-1}=-3$.
根据上述材料解决下面的问题:
(1)若一元二次方程$5x^2 +10x -1=0$的两根分别为$x_1,x_2$,则$x_1 +x_2=$
(2)已知实数$m,n$满足$3m^2 -3m -1=0,3n^2 -3n -1=0$,且$m≠n$,求$m^2n +mn^2$的值;
(3)已知实数$p,q$满足$p^2=7p -2,2q^2=7q -1$,且$p≠2q$,求$p^2 +4q^2$的值.
材料:已知实数$m,n$满足$m^2 - m -1=0,n^2 -n -1=0$,且$m≠n$,求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值.
解:由题意知,$m,n$是方程$x^2 -x -1=0$的两个不相等的实数根,则$m+n=1,mn=-1$,
$\therefore \frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{m^2 +n^2}{mn}=\frac{(m+n)^2 -2mn}{mn}=\frac{1+2}{-1}=-3$.
根据上述材料解决下面的问题:
(1)若一元二次方程$5x^2 +10x -1=0$的两根分别为$x_1,x_2$,则$x_1 +x_2=$
-2
, $x_1x_2=$$-\frac{1}{5}$
;(2)已知实数$m,n$满足$3m^2 -3m -1=0,3n^2 -3n -1=0$,且$m≠n$,求$m^2n +mn^2$的值;
(3)已知实数$p,q$满足$p^2=7p -2,2q^2=7q -1$,且$p≠2q$,求$p^2 +4q^2$的值.
答案
12. (1)$-2$ $-\frac{1}{5}$
(2)解:$\because m,n$满足$3m^2-3m-1=0,3n^2-3n-1=0$,且$m≠ n$,
$\therefore m,n$是$3x^2-3x-1=0$的两个不相等的实数根,
$\therefore m+n=1,mn=-\frac{1}{3}$,
$\therefore m^2n+mn^2=mn(m+n)=-\frac{1}{3}×1=-\frac{1}{3}$.
(3)解:由题意知,$p$与$2q$为方程$x^2-7x+2=0$的两个不相等的实数根,
$\therefore p+2q=7,2pq=2$,
$\therefore p^2+4q^2=(p+2q)^2-4pq=7^2-2×2=45$.
(2)解:$\because m,n$满足$3m^2-3m-1=0,3n^2-3n-1=0$,且$m≠ n$,
$\therefore m,n$是$3x^2-3x-1=0$的两个不相等的实数根,
$\therefore m+n=1,mn=-\frac{1}{3}$,
$\therefore m^2n+mn^2=mn(m+n)=-\frac{1}{3}×1=-\frac{1}{3}$.
(3)解:由题意知,$p$与$2q$为方程$x^2-7x+2=0$的两个不相等的实数根,
$\therefore p+2q=7,2pq=2$,
$\therefore p^2+4q^2=(p+2q)^2-4pq=7^2-2×2=45$.
解析
【分析】
本题围绕一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）展开，解题思路如下：
（1）第一问直接考查韦达定理基础应用，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，代入对应系数计算即可。
（2）第二问类比材料方法，先根据$m、n$满足的方程特征，判断二者是方程$3x^2-3x-1=0$的两个不等实根，用韦达定理求出$m+n$和$mn$的值，再将所求代数式因式分解为$mn(m+n)$后代入计算即可。
（3）第三问先对已知方程变形：将$p$满足的方程整理为$p^2-7p+2=0$，再将$q$满足的方程变形得到$(2q)^2-7·(2q)+2=0$，结合$p≠2q$可知$p$和$2q$是方程$x^2-7x+2=0$的两个不等实根，用韦达定理求出$p+2q$和$pq$的值，再将$p^2+4q^2$变形为$(p+2q)^2-4pq$后代入计算即可。
【解析】
（1）对于一元二次方程$5x^2+10x-1=0$，$a=5,b=10,c=-1$，根据韦达定理：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{10}{5}=-2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{1}{5}$。
（2）由题意知$m、n$满足$3m^2-3m-1=0,3n^2-3n-1=0$，且$m≠n$，
∴$m、n$是方程$3x^2-3x-1=0$的两个不相等的实数根，
根据韦达定理得：$m+n=\frac{3}{3}=1$，$mn=-\frac{1}{3}$，
对所求代数式因式分解得：$m^2n+mn^2=mn(m+n)$，
代入数值计算：原式$=-\frac{1}{3}×1=-\frac{1}{3}$。
（3）先对已知方程变形：
由$p^2=7p-2$，整理得$p^2-7p+2=0$，
由$2q^2=7q-1$，两边乘2得$4q^2=14q-2$，整理得$(2q)^2-7·(2q)+2=0$，
又
∵$p≠2q$，
∴$p$和$2q$是方程$x^2-7x+2=0$的两个不相等的实数根，
根据韦达定理得：$p+2q=7$，$2pq=2$即$pq=1$，
对所求代数式变形：$p^2+4q^2=(p+2q)^2-4pq$，
代入数值计算：原式$=7^2-4×1=49-4=45$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{-\dfrac{1}{5}}$
(2) $\boldsymbol{-\dfrac{1}{3}}$
(3) $\boldsymbol{45}$
【知识点】
1. 韦达定理
2. 代数式变形求值
3. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于材料阅读类题型，需要先吃透材料中利用同解方程结合韦达定理求代数式值的方法，再迁移到后续问题中。前两问侧重基础应用，第三问需要对已知方程合理变形构造同根方程，能较好考查知识迁移能力和代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
本题围绕一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）展开，解题思路如下：
（1）第一问直接考查韦达定理基础应用，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，代入对应系数计算即可。
（2）第二问类比材料方法，先根据$m、n$满足的方程特征，判断二者是方程$3x^2-3x-1=0$的两个不等实根，用韦达定理求出$m+n$和$mn$的值，再将所求代数式因式分解为$mn(m+n)$后代入计算即可。
（3）第三问先对已知方程变形：将$p$满足的方程整理为$p^2-7p+2=0$，再将$q$满足的方程变形得到$(2q)^2-7·(2q)+2=0$，结合$p≠2q$可知$p$和$2q$是方程$x^2-7x+2=0$的两个不等实根，用韦达定理求出$p+2q$和$pq$的值，再将$p^2+4q^2$变形为$(p+2q)^2-4pq$后代入计算即可。
【解析】
（1）对于一元二次方程$5x^2+10x-1=0$，$a=5,b=10,c=-1$，根据韦达定理：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{10}{5}=-2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{1}{5}$。
（2）由题意知$m、n$满足$3m^2-3m-1=0,3n^2-3n-1=0$，且$m≠n$，
∴$m、n$是方程$3x^2-3x-1=0$的两个不相等的实数根，
根据韦达定理得：$m+n=\frac{3}{3}=1$，$mn=-\frac{1}{3}$，
对所求代数式因式分解得：$m^2n+mn^2=mn(m+n)$，
代入数值计算：原式$=-\frac{1}{3}×1=-\frac{1}{3}$。
（3）先对已知方程变形：
由$p^2=7p-2$，整理得$p^2-7p+2=0$，
由$2q^2=7q-1$，两边乘2得$4q^2=14q-2$，整理得$(2q)^2-7·(2q)+2=0$，
又
∵$p≠2q$，
∴$p$和$2q$是方程$x^2-7x+2=0$的两个不相等的实数根，
根据韦达定理得：$p+2q=7$，$2pq=2$即$pq=1$，
对所求代数式变形：$p^2+4q^2=(p+2q)^2-4pq$，
代入数值计算：原式$=7^2-4×1=49-4=45$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{-\dfrac{1}{5}}$
(2) $\boldsymbol{-\dfrac{1}{3}}$
(3) $\boldsymbol{45}$
【知识点】
1. 韦达定理
2. 代数式变形求值
3. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于材料阅读类题型，需要先吃透材料中利用同解方程结合韦达定理求代数式值的方法，再迁移到后续问题中。前两问侧重基础应用，第三问需要对已知方程合理变形构造同根方程，能较好考查知识迁移能力和代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
