5.如图，点N在反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}(x＜0)$的图象上，点M在反比例函数$y=\dfrac{8}{x}(x＞0)$的图象上，其中A为MN的中点，则$△ OMN$的面积是 （）


A.6
B.8
C.10
D.12

A

【分析】
解题时首先观察图形特征：MN与y轴交于点A，且A是MN中点，由此可推出M、N两点的横坐标互为相反数，这是解题的突破口。接下来我们可以利用反比例函数k的几何意义，结合割补法计算△OMN的面积，也可以通过设点坐标，代入中点坐标公式得到坐标关系后，用面积公式求解。
【解析】
过点N作NC⊥x轴于点C，过点M作MD⊥x轴于点D。
设点N的坐标为$(a, -\dfrac{4}{a})$（$a＜0$），点M的坐标为$(b, \dfrac{8}{b})$（$b＞0$）。
∵A是MN的中点，且A在y轴上，即A的横坐标为0，
根据中点横坐标公式：$\dfrac{a+b}{2}=0$，解得$b=-a$，即M、N横坐标互为相反数。
1. 计算梯形NCDM的面积：
NC的长度为$\left|-\dfrac{4}{a}\right|=-\dfrac{4}{a}$，MD的长度为$\left|\dfrac{8}{b}\right|=\dfrac{8}{-a}=-\dfrac{8}{a}$，
CD的长度为$b - a = -a -a = -2a$，
梯形面积$S_{\mathrm{梯形}NCDM}=\dfrac{1}{2}×(NC+MD)× CD=\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{4}{a}-\dfrac{8}{a})×(-2a)=12$。
2. 根据反比例函数k的几何意义：
$S_{△ ONC}=\dfrac{1}{2}×\left|-4\right|=2$，$S_{△ OMD}=\dfrac{1}{2}×\left|8\right|=4$。
3. 计算$△ OMN$的面积：
$S_{△ OMN}=S_{\mathrm{梯形}NCDM}-S_{△ ONC}-S_{△ OMD}=12-2-4=6$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义，中点坐标公式，割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数中与k相关的面积计算的典型题型，解题关键是利用中点在y轴上的特征推导出两点横坐标互为相反数，再结合反比例函数的几何性质和割补法求解，解题方法灵活，能很好地考查对反比例函数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.6

6.已知反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$与$y_2=\frac{k_2}{x}$，$P(t,0)$是$x$轴上的一个动点，过点$P$作$x$轴的垂线分别交函数$y_1=\frac{k_1}{x}$与$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象于点$A,C$，过点$C$作$y$轴的垂线交函数$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象于点$B$，连接$AB$，记$△ ABC$的面积为$S$。
(1)如图，当$k_1=1,k_2=4,t=3$时，$S=$；
(2)当$k_1=1,k_2=4,t＞0$时，求$S$的值；
(3)当$k_1＞0$且$k_2＞k_1$时，求$S$的值.(用含$k_1,k_2$的代数式表示)

(1)$\frac{9}{8}$
(2)解:$\because k_1=1,k_2=4,t＞0$,
$\therefore P(t,0),A(t,\frac{1}{t}),C(t,\frac{4}{t}),B(\frac{t}{4},\frac{4}{t}),$
$\therefore AC=\frac{4}{t}-\frac{1}{t}=\frac{3}{t},BC=t-\frac{t}{4}=\frac{3}{4}t,$
$\therefore S=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×\frac{3}{t}×\frac{3}{4}t=\frac{9}{8}.$
(3)解:$\because k_1＞0,k_2＞k_1,$
$\therefore P(t,0),A(t,\frac{k_1}{t}),C(t,\frac{k_2}{t}),B(\frac{k_1}{k_2}t,\frac{k_2}{t}),$
$\therefore AC=\frac{k_2}{t}-\frac{k_1}{t}=\frac{k_2-k_1}{t},BC=t-\frac{k_1}{k_2}t=\frac{k_2-k_1}{k_2}t,$
$\therefore S=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×\frac{k_2-k_1}{t}×\frac{k_2-k_1}{k_2}t=\frac{(k_2-k_1)^2}{2k_2}.$

【分析】
本题是反比例函数与三角形面积结合的动点问题，解题思路如下：①先根据点P的横坐标t，结合x轴垂线的性质，得到点A、C的横坐标均为t，代入对应反比例函数解析式即可求出A、C的纵坐标；②过C作y轴的垂线，可知点B的纵坐标与C相同，代入$y_1$的解析式即可求出B的横坐标；③观察可得$△ ABC$是直角三角形，直角顶点为C，AC为竖直方向的边长，BC为水平方向的边长，分别求出AC、BC的长度后，利用直角三角形面积公式计算即可，计算过程中t会消去，最终面积与t无关。
【解析】
(1)当$k_1=1,k_2=4,t=3$时：
P点坐标为$(3,0)$，
将$x=3$分别代入$y_1=\frac{1}{x}$、$y_2=\frac{4}{x}$，得$A(3,\frac{1}{3})$，$C(3,\frac{4}{3})$，
过C作y轴垂线交$y_1$于B，故B点纵坐标为$\frac{4}{3}$，将$y=\frac{4}{3}$代入$y_1=\frac{1}{x}$，得$x=\frac{3}{4}$，即$B(\frac{3}{4},\frac{4}{3})$，
$\therefore AC=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1$，$BC=3-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$，
$\therefore S=\frac{1}{2} × AC × BC=\frac{1}{2} × 1 × \frac{9}{4}=\frac{9}{8}$。
(2)当$k_1=1,k_2=4,t＞0$时：
$\because k_1=1,k_2=4,t＞0$，
$\therefore P(t,0),A(t,\frac{1}{t}),C(t,\frac{4}{t})$，
B点纵坐标与C相同为$\frac{4}{t}$，代入$y_1=\frac{1}{x}$得$x=\frac{t}{4}$，即$B(\frac{t}{4},\frac{4}{t})$，
$\therefore AC=\frac{4}{t}-\frac{1}{t}=\frac{3}{t}$，$BC=t-\frac{t}{4}=\frac{3}{4}t$，
$\therefore S=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}×\frac{3}{t}×\frac{3}{4}t=\frac{9}{8}$。
(3)当$k_1＞0$且$k_2＞k_1$时：
$\because k_1＞0,k_2＞k_1$，
$\therefore P(t,0),A(t,\frac{k_1}{t}),C(t,\frac{k_2}{t})$，
B点纵坐标与C相同为$\frac{k_2}{t}$，代入$y_1=\frac{k_1}{x}$得$x=\frac{k_1 t}{k_2}$，即$B(\frac{k_1}{k_2}t,\frac{k_2}{t})$，
$\therefore AC=\frac{k_2}{t}-\frac{k_1}{t}=\frac{k_2-k_1}{t}$，$BC=t-\frac{k_1}{k_2}t=\frac{k_2-k_1}{k_2}t$，
$\therefore S=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}×\frac{k_2-k_1}{t}×\frac{k_2-k_1}{k_2}t=\frac{(k_2-k_1)^2}{2k_2}$。
【答案】
(1)$\frac{9}{8}$；(2)$S=\frac{9}{8}$；(3)$S=\frac{(k_2-k_1)^2}{2k_2}$
【知识点】
反比例函数的性质，坐标与图形，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的核心是准确表示出A、B、C三点的坐标，利用直角三角形的面积公式计算，计算过程中t会抵消，说明面积和动点P的位置无关，很好地体现了代数运算在函数问题中的应用。
【难度系数】
0.6