1.(2025·山东)如图,在平面直角坐标系中,A,C两点在坐标轴上,四边形OABC是面积为4的正方形.若函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点B,则满足$y≥2$的x的取值范围为 ()

A.$0＜x≤2$
B.$x≥2$
C.$0＜x≤4$
D.$x≥4$

A

【分析】解题思路分三步：第一步，根据正方形面积求出边长，确定点B的坐标；第二步，将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k值得到完整的函数表达式；第三步，列不等式求解y≥2时x的取值范围，注意x＞0的隐含条件。
【解析】
1. 求点B的坐标：
已知四边形OABC是面积为4的正方形，正方形面积=边长²，因此边长为$\sqrt{4}=2$。
因为A在x轴、C在y轴，所以点B的横坐标和纵坐标均等于边长，即$B(2,2)$。
2. 求反比例函数解析式：
将$B(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$，因此函数解析式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
3. 求解x的取值范围：
要求$y≥2$，即$\frac{4}{x}≥2$，因为$x＞0$，不等式两边同时乘x不等号方向不变，得$4≥2x$，解得$x≤2$。
结合$x＞0$的隐含条件，最终x的取值范围是$0＜x≤2$。
【答案】A
【知识点】正方形的性质，反比例函数解析式，解不等式
【点评】本题是反比例函数与几何图形结合的基础题，核心是通过正方形性质确定函数上的点坐标，求出解析式后再解不等式得到自变量范围，是反比例章节的常考题型。
【难度系数】0.8

2.(2025·无锡)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,Rt△OBA的直角边OB在x轴上,AO,AB分别与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象相交于点C,D,且C为AO的中点,过点C作x轴的垂线,垂足为E,连接DE.若△BDE的面积为$\frac{5}{4}$,则k的值为 ()

A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{5}{2}$
C.5
D.10

C

【分析】
遇到反比例函数与平面几何结合的题目，可通过设点坐标的方法，结合反比例函数的性质、中点坐标公式、三角形面积公式求解。首先设出点A、B的坐标，利用中点性质得到C点坐标，代入反比例函数得到k与A、B坐标的关系；再求出D点、E点的坐标，用坐标表示出△BDE的底和高，根据面积列方程，消去参数即可求出k的值。
【解析】
设点B的坐标为$(m,0)$，$\mathrm{Rt}△ OBA$中$OB$在x轴上，故点A的横坐标为$m$，设$A(m,n)$。
∵ C是AO的中点，$O(0,0)$，根据中点坐标公式得：$C(\frac{m}{2},\frac{n}{2})$。
∵ 点C在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，代入得：$\frac{n}{2}=\frac{k}{\frac{m}{2}}$，整理得$k=\frac{mn}{4}$，即$mn=4k$。
∵ $CE⊥ x$轴，E为垂足，故$E(\frac{m}{2},0)$。
∵ 点D在AB上，AB所在直线为$x=m$，将$x=m$代入$y=\frac{k}{x}$得$y=\frac{k}{m}$，故$D(m,\frac{k}{m})$。
$△ BDE$中，$BD⊥ x$轴，$BE=m-\frac{m}{2}=\frac{m}{2}$，$BD=\frac{k}{m}$，因此面积：
$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}× BE× BD=\frac{1}{2}×\frac{m}{2}×\frac{k}{m}=\frac{k}{4}$
已知$S_{△ BDE}=\frac{5}{4}$，故$\frac{k}{4}=\frac{5}{4}$，解得$k=5$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，中点坐标公式，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的常规题型，核心是通过坐标法将几何条件转化为代数关系，计算过程中参数可自动消去，解题关键是准确表示各交点的坐标，灵活运用反比例函数$k=xy$的性质。
【难度系数】
0.65

3.(2025·淄博)如图，D为矩形OABC(边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上)对角线OB上的点，且$OD=\frac{1}{2}BD$.经过点D的反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分别与AB,BC相交于点E,F，连接OE,OF,EF.若$△ OBF$的面积是24，则$△ OEF$的面积为（）

A.25
B.26
C.$\frac{79}{3}$
D.$\frac{80}{3}$

D

【分析】
我们可以通过设坐标的方法求解：首先设矩形顶点B的坐标为(a,b)，根据点D在OB上的比例关系求出D的坐标，结合D在反比例函数图象上得到k与矩形面积ab的关系；再利用△OBF的面积为24列方程，求出k和ab的值；最后用矩形面积减去周围三个小三角形的面积，即可得到△OEF的面积。
【解析】
设矩形OABC的顶点B坐标为(a,b)，则矩形面积为$ab$。
1. 求点D坐标：已知$OD=\frac{1}{2}BD$，即$OD:OB=1:3$，根据线段分点坐标规律，得D点坐标为$(\frac{a}{3},\frac{b}{3})$。
2. 建立k与ab的关系：
∵D在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴$k=\frac{a}{3} · \frac{b}{3}=\frac{ab}{9}$，即$ab=9k$①。
3. 利用△OBF面积求k：F在BC上，纵坐标为b，代入反比例函数得F点横坐标为$\frac{k}{b}$，即$F(\frac{k}{b},b)$。
△OBF的面积为：$S_{△ OBF}=\frac{1}{2} · BF · OC=\frac{1}{2} · (a-\frac{k}{b}) · b=\frac{1}{2}(ab - k)$，代入题设$S_{△ OBF}=24$得：$\frac{1}{2}(ab - k)=24$②。
将①代入②得：$\frac{1}{2}(9k - k)=4k=24$，解得$k=6$，则$ab=9 × 6=54$。
4. 计算△OEF面积：
E在AB上，横坐标为a，代入反比例函数得E点纵坐标为$\frac{k}{a}$，即$E(a,\frac{k}{a})$。
由反比例函数k的几何意义得：$S_{△ OCF}=S_{△ OAE}=\frac{1}{2}k=3$。
△BEF的面积：$BE=b-\frac{k}{a}$，$BF=a-\frac{k}{b}$，则
$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}(b-\frac{k}{a})(a-\frac{k}{b})=\frac{1}{2}(ab - 6 -6 + \frac{36}{ab})$，代入$ab=54$、$k=6$得：
$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}(54 - 12 + \frac{36}{54})=\frac{64}{3}$。
最后用割补法：$S_{△ OEF}=S_{矩形OABC} - S_{△ OCF} - S_{△ OAE} - S_{△ BEF}=54 - 3 - 3 - \frac{64}{3}=\frac{80}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形的性质，割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的常见题型，解题关键是通过坐标法建立反比例函数系数k与矩形面积的关系，再利用割补法计算不规则三角形的面积，需要熟练掌握反比例函数的性质和面积计算的技巧。
【难度系数】
0.6

4.如图,在函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上任取一点A,过点A作y轴的垂线交函数$y=-\frac{8}{x}(x＜0)$的图象于点B,连接OA,OB,则$△ AOB$的面积是（）


A.3
B.5
C.6
D.10

B

【分析】
解题时可利用反比例函数k的几何意义简化计算：首先观察到AB垂直于y轴，即AB与x轴平行，设AB与y轴的交点为C，此时△AOB可拆分为△AOC和△BOC两个三角形，两个三角形的高都等于OC，底分别为AC和BC，分别计算两个小三角形的面积再求和，即可得到△AOB的面积。其中反比例函数图像上任意一点向坐标轴作垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，据此可直接计算两个小三角形的面积。
【解析】
设AB与y轴交于点C，
∵AB⊥y轴，
∴AC⊥y轴，BC⊥y轴。
∵点A在$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数k的几何意义，
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×|2|=1$，
∵点B在$y=-\frac{8}{x}(x＜0)$的图象上，同理可得：
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×|-8|=4$，
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=1+4=5$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数相关的面积计算，解题的关键是将待求三角形拆分为两个可直接用k的几何意义计算面积的小三角形，避免了设点坐标代入计算的繁琐，掌握反比例函数k的几何意义可大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7