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1.(2025·扬州)关于一元二次方程$x^2 -3x +1=0$的根的情况，下列结论正确的是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
答案
1.A
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，我们需要用到一元二次方程根的判别式Δ。首先明确对于标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，根的情况由$\Delta = b^2-4ac$的符号决定：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。解题时先确定给定方程的各项系数a、b、c，再代入公式计算Δ的值，最后根据Δ的符号判断根的情况即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -3x +1=0$，对比标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得：
$a=1$，$b=-3$，$c=1$
代入根的判别式公式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5$
因为$\Delta=5＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根的情况与判别式的关系
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式的应用，只要熟练掌握判别式的计算方法以及不同取值对应的根的三种情况，准确提取方程各项系数，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程的根的情况，我们需要用到一元二次方程根的判别式Δ。首先明确对于标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，根的情况由$\Delta = b^2-4ac$的符号决定：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。解题时先确定给定方程的各项系数a、b、c，再代入公式计算Δ的值，最后根据Δ的符号判断根的情况即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -3x +1=0$，对比标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得：
$a=1$，$b=-3$，$c=1$
代入根的判别式公式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5$
因为$\Delta=5＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根的情况与判别式的关系
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式的应用，只要熟练掌握判别式的计算方法以及不同取值对应的根的三种情况，准确提取方程各项系数，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
2.(2025·北京)若关于x的一元二次方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$有两个相等的实数根，则实数a的值为（
A.－4
B.－1
C.1
D.4
C
）A.－4
B.－1
C.1
D.4
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先抓住题干两个关键信息：①该方程是一元二次方程，因此隐含二次项系数不为0的条件，即$a≠0$；②方程有两个相等的实数根，对应一元二次方程根的判别式$\Delta=0$的性质。接下来将方程的各项系数代入判别式公式，列关于a的方程求解，最后验证解是否满足$a≠0$的条件，即可得到正确答案。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ $a ≠ 0$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
在该方程中，二次项系数为$a$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入判别式得：
$\Delta = 2^2 - 4 × a × 1 = 4 - 4a = 0$
解上述方程得：$4a = 4$，即$a=1$
经检验，$a=1≠0$，符合一元二次方程的要求，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需注意不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.85
解题时首先抓住题干两个关键信息：①该方程是一元二次方程，因此隐含二次项系数不为0的条件，即$a≠0$；②方程有两个相等的实数根，对应一元二次方程根的判别式$\Delta=0$的性质。接下来将方程的各项系数代入判别式公式，列关于a的方程求解，最后验证解是否满足$a≠0$的条件，即可得到正确答案。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ $a ≠ 0$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
在该方程中，二次项系数为$a$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入判别式得：
$\Delta = 2^2 - 4 × a × 1 = 4 - 4a = 0$
解上述方程得：$4a = 4$，即$a=1$
经检验，$a=1≠0$，符合一元二次方程的要求，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需注意不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.85
3.(2025·遂宁)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + m + 1 = 0$有实数根，则实数$m$的取值范围是（
A.$m ＜ \frac{5}{4}$
B.$m ≥ \frac{5}{4}$
C.$m ＞ \frac{5}{4}$
D.$m ≤ \frac{5}{4}$
D
）A.$m ＜ \frac{5}{4}$
B.$m ≥ \frac{5}{4}$
C.$m ＞ \frac{5}{4}$
D.$m ≤ \frac{5}{4}$
答案
3.D
解析
【分析】
要确定一元二次方程中参数m的取值范围，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系：当一元二次方程有实数根时，判别式Δ≥0。我们先找出方程对应的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
已知方程$x^2 - 3x + m + 1 = 0$是关于$x$的一元二次方程，且有实数根，因此判别式$\Delta ≥ 0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，本题中$a=1$，$b=-3$，$c=m+1$，代入判别式公式得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(m+1) ≥ 0$
计算化简：
$9 - 4(m+1) ≥ 0$
$9 - 4m - 4 ≥ 0$
$5 - 4m ≥ 0$
移项得：$4m ≤ 5$
解得：$m ≤ \frac{5}{4}$
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题，主要考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的核心是牢记判别式与方程根的对应关系，计算时注意符号运算，避免出错。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程中参数m的取值范围，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系：当一元二次方程有实数根时，判别式Δ≥0。我们先找出方程对应的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
已知方程$x^2 - 3x + m + 1 = 0$是关于$x$的一元二次方程，且有实数根，因此判别式$\Delta ≥ 0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，本题中$a=1$，$b=-3$，$c=m+1$，代入判别式公式得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(m+1) ≥ 0$
计算化简：
$9 - 4(m+1) ≥ 0$
$9 - 4m - 4 ≥ 0$
$5 - 4m ≥ 0$
移项得：$4m ≤ 5$
解得：$m ≤ \frac{5}{4}$
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题，主要考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的核心是牢记判别式与方程根的对应关系，计算时注意符号运算，避免出错。
【难度系数】
0.8
4.(1)请在横线上写一个常数,使得关于$x$的方程$x^2 -6x +$
(2)若一元二次方程$x^2 -2x +c=0$无实数根,则$c$的取值范围为
9
$=0$有两个相等的实数根；(2)若一元二次方程$x^2 -2x +c=0$无实数根,则$c$的取值范围为
$c＞1$
；答案
4.(1)9 (2)$c＞1$
解析
【分析】
要解决这类根据一元二次方程根的情况求参数的问题，核心是利用一元二次方程根的判别式Δ与根的对应关系：Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ＜0时方程无实数根。第(1)问先设待求常数为m，找到方程的二次项系数a、一次项系数b，代入Δ=0列方程求解即可；第(2)问同样找到对应系数，代入Δ＜0列不等式，解不等式就能得到c的取值范围。
【解析】
(1) 设横线上的常数为$ m $。
已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 -6x + m =0 $有两个相等的实数根，根据根的判别式$ \Delta = b^2 -4ac $（其中$ a=1 $，$ b=-6 $，$ c=m $），可得：
$ \Delta = (-6)^2 - 4×1× m = 0 $
即$ 36 - 4m = 0 $，解得$ m=9 $。
(2) 已知一元二次方程$ x^2 -2x +c=0 $无实数根，其中$ a=1 $，$ b=-2 $，常数项为$ c $，根据判别式的性质可得：
$ \Delta = (-2)^2 -4×1× c ＜ 0 $
即$ 4 -4c ＜ 0 $，移项得$ 4 ＜ 4c $，两边同时除以4得$ c＞1 $。
【答案】
(1) $ 9 $；(2) $ c＞1 $
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题关键是熟记判别式与方程根的三种对应关系，计算难度低，掌握该知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这类根据一元二次方程根的情况求参数的问题，核心是利用一元二次方程根的判别式Δ与根的对应关系：Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ＜0时方程无实数根。第(1)问先设待求常数为m，找到方程的二次项系数a、一次项系数b，代入Δ=0列方程求解即可；第(2)问同样找到对应系数，代入Δ＜0列不等式，解不等式就能得到c的取值范围。
【解析】
(1) 设横线上的常数为$ m $。
已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 -6x + m =0 $有两个相等的实数根，根据根的判别式$ \Delta = b^2 -4ac $（其中$ a=1 $，$ b=-6 $，$ c=m $），可得：
$ \Delta = (-6)^2 - 4×1× m = 0 $
即$ 36 - 4m = 0 $，解得$ m=9 $。
(2) 已知一元二次方程$ x^2 -2x +c=0 $无实数根，其中$ a=1 $，$ b=-2 $，常数项为$ c $，根据判别式的性质可得：
$ \Delta = (-2)^2 -4×1× c ＜ 0 $
即$ 4 -4c ＜ 0 $，移项得$ 4 ＜ 4c $，两边同时除以4得$ c＞1 $。
【答案】
(1) $ 9 $；(2) $ c＞1 $
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题关键是熟记判别式与方程根的三种对应关系，计算难度低，掌握该知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
(3)若一元二次方程$x^2+3x+k=0$有两个不相等的实数根，则k的取值范围为
$k＜\frac{9}{4}$
。答案
(3)$k＜\frac{9}{4}$
解析
【分析】
当题目给出一元二次方程根的个数情况时，应首先联想到一元二次方程根的判别式与根的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。本题中先确定方程中$a、b、c$的取值，代入$\Delta＞0$得到关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+3x+k=0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=k$。
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，
代入得：$3^2 - 4×1× k ＞ 0$，
计算得：$9 - 4k ＞ 0$，
移项得：$-4k ＞ -9$，
不等式两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得：$k ＜ \frac{9}{4}$。
【答案】
$k＜\frac{9}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式；2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用，解题的核心是牢记判别式的取值与方程根的个数的对应关系，解含负系数的不等式时需注意不等号方向要改变。
【难度系数】
0.8
当题目给出一元二次方程根的个数情况时，应首先联想到一元二次方程根的判别式与根的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。本题中先确定方程中$a、b、c$的取值，代入$\Delta＞0$得到关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+3x+k=0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=k$。
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，
代入得：$3^2 - 4×1× k ＞ 0$，
计算得：$9 - 4k ＞ 0$，
移项得：$-4k ＞ -9$，
不等式两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得：$k ＜ \frac{9}{4}$。
【答案】
$k＜\frac{9}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式；2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用，解题的核心是牢记判别式的取值与方程根的个数的对应关系，解含负系数的不等式时需注意不等号方向要改变。
【难度系数】
0.8
5. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)$2x^2 + 3x + 5 = 0$；
(2)$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 0$；
(3)$3x^2 + 2x - 4 = 0$。
(1)$2x^2 + 3x + 5 = 0$；
(2)$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 0$；
(3)$3x^2 + 2x - 4 = 0$。
答案
5. 解:(1)$\because b^2-4ac=3^2-4×2×5=-31＜0$，
$\therefore$方程没有实数根。
(2)$\because b^2-4ac=(-2\sqrt{2})^2-4×1×2=0$，
$\therefore$方程有两个相等的实数根。
(3)$\because b^2-4ac=2^2+4×3×4=52＞0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根。
$\therefore$方程没有实数根。
(2)$\because b^2-4ac=(-2\sqrt{2})^2-4×1×2=0$，
$\therefore$方程有两个相等的实数根。
(3)$\because b^2-4ac=2^2+4×3×4=52＞0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根。
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，可通过根的判别式$\Delta =b^2-4ac$求解，解题思路如下：第一步，先确定每个方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要保留系数本身的符号；第二步，将$a、b、c$代入判别式公式计算$\Delta$的数值，计算时注意平方运算、符号运算的准确性；第三步，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 + 3x + 5 = 0$，$a=2$，$b=3$，$c=5$
$\because b^2-4ac=3^2-4×2×5=-31＜0$，
$\therefore$方程没有实数根。
(2) 对于方程$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 0$，$a=1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=2$
$\because b^2-4ac=(-2\sqrt{2})^2-4×1×2=0$，
$\therefore$方程有两个相等的实数根。
(3) 对于方程$3x^2 + 2x - 4 = 0$，$a=3$，$b=2$，$c=-4$
$\because b^2-4ac=2^2+4×3×4=52＞0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) 方程没有实数根；
(2) 方程有两个相等的实数根；
(3) 方程有两个不相等的实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 实数混合运算
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，解题关键是准确识别方程的各项系数，正确计算判别式的数值，再结合判别式的性质判断根的情况，是对基础公式应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，可通过根的判别式$\Delta =b^2-4ac$求解，解题思路如下：第一步，先确定每个方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要保留系数本身的符号；第二步，将$a、b、c$代入判别式公式计算$\Delta$的数值，计算时注意平方运算、符号运算的准确性；第三步，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 + 3x + 5 = 0$，$a=2$，$b=3$，$c=5$
$\because b^2-4ac=3^2-4×2×5=-31＜0$，
$\therefore$方程没有实数根。
(2) 对于方程$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 0$，$a=1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=2$
$\because b^2-4ac=(-2\sqrt{2})^2-4×1×2=0$，
$\therefore$方程有两个相等的实数根。
(3) 对于方程$3x^2 + 2x - 4 = 0$，$a=3$，$b=2$，$c=-4$
$\because b^2-4ac=2^2+4×3×4=52＞0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) 方程没有实数根；
(2) 方程有两个相等的实数根；
(3) 方程有两个不相等的实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 实数混合运算
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，解题关键是准确识别方程的各项系数，正确计算判别式的数值，再结合判别式的性质判断根的情况，是对基础公式应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
6.规定:对于任意实数$a,b,c$,有【$a,b$】★$c=ac+b$,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如【$2,3$】★$1=2×1+3=5$.若关于$x$的方程【$x,x+1$】★$(mx)=0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围是（
A.$m＜\frac{1}{4}$
B.$m＞\frac{1}{4}$
C.$m＞\frac{1}{4}$且$m≠0$
D.$m＜\frac{1}{4}$且$m≠0$
D
）A.$m＜\frac{1}{4}$
B.$m＞\frac{1}{4}$
C.$m＞\frac{1}{4}$且$m≠0$
D.$m＜\frac{1}{4}$且$m≠0$
答案
6.D
解析
【分析】
首先要正确理解题目给出的新定义运算规则，先把新定义形式的方程转化为我们熟悉的整式方程。其次题目明确说明方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，因此需要满足两个条件：一是二次项系数不为0，二是根的判别式大于0，分别求解两个条件的取值范围后取交集，就能得到m的取值范围。
【解析】
根据新定义运算【a,b】★c=ac+b，代入对应数值可得：
【x,x+1】★(mx) = x·(mx) + (x+1) = 0
整理得：$mx^2 + x + 1 = 0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 该方程为一元二次方程，需同时满足：
1. 二次项系数不为0：$m ≠ 0$
2. 根的判别式$\Delta ＞ 0$：
$\Delta = 1^2 - 4 × m × 1 = 1 - 4m ＞ 0$
解得：$m ＜ \frac{1}{4}$
综上，m的取值范围是$m ＜ \frac{1}{4}$且$m ≠ 0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的相关性质，解题核心是先根据新定义将陌生方程转化为常规整式方程，要特别注意“有两个不相等的实数根”隐含了方程为一元二次方程，二次项系数不能为0，避免遗漏条件导致错选。
【难度系数】
0.6
首先要正确理解题目给出的新定义运算规则，先把新定义形式的方程转化为我们熟悉的整式方程。其次题目明确说明方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，因此需要满足两个条件：一是二次项系数不为0，二是根的判别式大于0，分别求解两个条件的取值范围后取交集，就能得到m的取值范围。
【解析】
根据新定义运算【a,b】★c=ac+b，代入对应数值可得：
【x,x+1】★(mx) = x·(mx) + (x+1) = 0
整理得：$mx^2 + x + 1 = 0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 该方程为一元二次方程，需同时满足：
1. 二次项系数不为0：$m ≠ 0$
2. 根的判别式$\Delta ＞ 0$：
$\Delta = 1^2 - 4 × m × 1 = 1 - 4m ＞ 0$
解得：$m ＜ \frac{1}{4}$
综上，m的取值范围是$m ＜ \frac{1}{4}$且$m ≠ 0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的相关性质，解题核心是先根据新定义将陌生方程转化为常规整式方程，要特别注意“有两个不相等的实数根”隐含了方程为一元二次方程，二次项系数不能为0，避免遗漏条件导致错选。
【难度系数】
0.6
7.(2025·宿迁一模)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -2ax +ab=\frac{1}{4}b^2 +1$，其中$a,b$满足$2a - b=1$，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（
A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
C
）A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
答案
7.C
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心是利用根的判别式Δ与0的大小关系判断。解题思路为：①先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定各项系数；②代入判别式公式Δ=b²-4ac计算并化简；③结合已知条件2a-b=1，代入化简后的判别式，判断其正负，即可得出根的情况。
【解析】
首先将原方程移项，整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 2ax + ab - \frac{1}{4}b^2 - 1 = 0$
其中二次项系数为1，一次项系数为$-2a$，常数项为$ab - \frac{1}{4}b^2 - 1$。
根据根的判别式公式，可得：
$\Delta = (-2a)^2 - 4×1×(ab - \frac{1}{4}b^2 - 1)$
展开并化简：
$\Delta = 4a^2 - 4ab + b^2 + 4$
观察到$4a^2 - 4ab + b^2$符合完全平方公式，即$4a^2 - 4ab + b^2 = (2a - b)^2$，因此：
$\Delta = (2a - b)^2 + 4$
已知$2a - b = 1$，代入上式得：
$\Delta = 1^2 + 4 = 5 ＞ 0$
当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.完全平方公式
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题，解题核心是正确计算并化简判别式，结合已知条件代入求值后判断其正负，即可快速得到结论。
【难度系数】
0.7
要判断一元二次方程根的情况，核心是利用根的判别式Δ与0的大小关系判断。解题思路为：①先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定各项系数；②代入判别式公式Δ=b²-4ac计算并化简；③结合已知条件2a-b=1，代入化简后的判别式，判断其正负，即可得出根的情况。
【解析】
首先将原方程移项，整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 2ax + ab - \frac{1}{4}b^2 - 1 = 0$
其中二次项系数为1，一次项系数为$-2a$，常数项为$ab - \frac{1}{4}b^2 - 1$。
根据根的判别式公式，可得：
$\Delta = (-2a)^2 - 4×1×(ab - \frac{1}{4}b^2 - 1)$
展开并化简：
$\Delta = 4a^2 - 4ab + b^2 + 4$
观察到$4a^2 - 4ab + b^2$符合完全平方公式，即$4a^2 - 4ab + b^2 = (2a - b)^2$，因此：
$\Delta = (2a - b)^2 + 4$
已知$2a - b = 1$，代入上式得：
$\Delta = 1^2 + 4 = 5 ＞ 0$
当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.完全平方公式
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题，解题核心是正确计算并化简判别式，结合已知条件代入求值后判断其正负，即可快速得到结论。
【难度系数】
0.7
