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1.(2025·扬州)关于一元二次方程$x^2 -3x +1=0$的根的情况，下列结论正确的是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
答案
1.A
2.(2025·北京)若关于x的一元二次方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$有两个相等的实数根，则实数a的值为（
A.－4
B.－1
C.1
D.4
C
）A.－4
B.－1
C.1
D.4
答案
2.C
3.(2025·遂宁)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + m + 1 = 0$有实数根，则实数$m$的取值范围是（
A.$m ＜ \frac{5}{4}$
B.$m ≥ \frac{5}{4}$
C.$m ＞ \frac{5}{4}$
D.$m ≤ \frac{5}{4}$
D
）A.$m ＜ \frac{5}{4}$
B.$m ≥ \frac{5}{4}$
C.$m ＞ \frac{5}{4}$
D.$m ≤ \frac{5}{4}$
答案
3.D
4.(1)请在横线上写一个常数,使得关于$x$的方程$x^2 -6x +$
(2)若一元二次方程$x^2 -2x +c=0$无实数根,则$c$的取值范围为
9
$=0$有两个相等的实数根；(2)若一元二次方程$x^2 -2x +c=0$无实数根,则$c$的取值范围为
$c＞1$
；答案
4.(1)9 (2)$c＞1$
(3)若一元二次方程$x^2+3x+k=0$有两个不相等的实数根，则k的取值范围为
$k＜\frac{9}{4}$
。答案
(3)$k＜\frac{9}{4}$
5. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)$2x^2 + 3x + 5 = 0$；
(2)$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 0$；
(3)$3x^2 + 2x - 4 = 0$。
(1)$2x^2 + 3x + 5 = 0$；
(2)$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 0$；
(3)$3x^2 + 2x - 4 = 0$。
答案
5. 解:(1)$\because b^2-4ac=3^2-4×2×5=-31＜0$，
$\therefore$方程没有实数根。
(2)$\because b^2-4ac=(-2\sqrt{2})^2-4×1×2=0$，
$\therefore$方程有两个相等的实数根。
(3)$\because b^2-4ac=2^2+4×3×4=52＞0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根。
$\therefore$方程没有实数根。
(2)$\because b^2-4ac=(-2\sqrt{2})^2-4×1×2=0$，
$\therefore$方程有两个相等的实数根。
(3)$\because b^2-4ac=2^2+4×3×4=52＞0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根。
6.规定:对于任意实数$a,b,c$,有【$a,b$】★$c=ac+b$,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如【$2,3$】★$1=2×1+3=5$.若关于$x$的方程【$x,x+1$】★$(mx)=0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围是（
A.$m＜\frac{1}{4}$
B.$m＞\frac{1}{4}$
C.$m＞\frac{1}{4}$且$m≠0$
D.$m＜\frac{1}{4}$且$m≠0$
D
）A.$m＜\frac{1}{4}$
B.$m＞\frac{1}{4}$
C.$m＞\frac{1}{4}$且$m≠0$
D.$m＜\frac{1}{4}$且$m≠0$
答案
6.D
7.(2025·宿迁一模)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -2ax +ab=\frac{1}{4}b^2 +1$，其中$a,b$满足$2a - b=1$，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（
A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
C
）A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
答案
7.C
