8.若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于$x$的方程$x^2 - 4x + k = 0$的两个实数根，则$k$的值为.

8. 3或4

9.若关于$x$的方程$(x-1)(x+a)=0$有两个不相等的实数根，则$a$的取值范围是.

9.$a≠-1$

10.(2025·无锡月考)已知关于x的一元二次方程$ax^2 - 3x + 5 = 0$有实数根，则整数a的最大值是.

10.$-1$

11.已知关于$x$的方程$x^2+ax+a-2=0$.
(1)当该方程的一个根为1时,求$a$的值及该方程的另一个根;
(2)求证:不论$a$取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.

11. 解:(1)把$x=1$代入已知方程,得$1+a+a-2=0$,
解得$a=\frac{1}{2}$,$\therefore$方程为$x^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0$,
解得$x_1=1$,$x_2=-\frac{3}{2}$,$\therefore$方程的另一个根为$-\frac{3}{2}$.
(2)$\because a^2-4(a-2)=a^2-4a+8=a^2-4a+4+4=(a-2)^2+4＞0$,$\therefore$不论$a$取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.

12.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(m+2)x+m+1=0$.
(1)如果该方程有两个相等的实数根,求$m$的值;
(2)如果该方程有一个根小于0,求$m$的取值范围.

12. 解:(1)由题意,得$b^2-4ac=0$,即$(m+2)^2-4(m+1)=0$,
解得$m_1=m_2=0$,即$m$的值为0.
(2)根据题意,得$x=\frac{m+2\pm m}{2}$,$\therefore x_1=m+1$,$x_2=1$.
$\because$该方程有一个根小于0,$\therefore m+1＜0$,解得$m＜-1$,
即$m$的取值范围为$m＜-1$.

13.已知关于$x$的方程$mx^2-(m+2)x+2=0$.
(1)求证:不论$m$为何值,该方程总有实数根;
(2)当$m$为何整数时,该方程有两个不相等的正整数根?

13. (1)证明:当$m≠0$时,$b^2-4ac=(m+2)^2-8m=m^2-4m+4=(m-2)^2$.
$\because$不论$m$为何值,$(m-2)^2≥0$,
$\therefore b^2-4ac≥0$,即该方程总有实数根.
当$m=0$时,方程为$-2x+2=0$,解得$x=1$,
即$m=0$时,该方程也有实数根.
综上可知,不论$m$为何值,该方程总有实数根.
(2)解:由题意知$m≠0$. 解一元二次方程,得
$x=\frac{m+2\pm|m-2|}{2m}$,$\therefore x_1=\frac{2}{m}$,$x_2=1$.
$\because$该方程有两个正整数根,$\therefore m=1$或$m=2$.
$\because$该方程有两个不相等的正整数根,
$\therefore (m-2)^2≠0$,即$m=2$不合题意,$\therefore m=1$.