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8.若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于$x$的方程$x^2 - 4x + k = 0$的两个实数根，则$k$的值为
3或4
.答案
8. 3或4
解析
【分析】
本题需要结合等腰三角形的性质分类讨论已知边长3的身份，再结合一元二次方程根的性质求解k，最后验证三边是否满足三角形构成条件：①若3为腰长，则3是方程的一个根，代入可求k，再求解方程得到另一根，验证三边关系；②若3为底边长，则方程的两个根为相等的腰长，即方程有两个相等的实数根，用判别式Δ=0求k，再求解方程得到腰长，验证三边关系。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当长为3的边是腰时：
将x=3代入方程$x^2 - 4x + k = 0$，得：
$3^2 - 4×3 + k = 0$
解得$k=3$
此时方程为$x^2 -4x +3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得两根为$x_1=1$，$x_2=3$
三角形三边长为3，3，1，满足$1+3＞3$，可构成三角形，符合题意。
2. 当长为3的边是底边时：
此时方程的两个根为等腰三角形的两条腰，即方程有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(-4)^2 -4×1× k = 16 -4k =0$
解得$k=4$
此时方程为$x^2 -4x +4=0$，即$(x-2)^2=0$，解得两根为$x_1=x_2=2$
三角形三边长为2，2，3，满足$2+2＞3$，可构成三角形，符合题意。
综上，k的值为3或4。
【答案】
3或4
【知识点】
等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式，三角形三边关系
【点评】
本题考查几何图形性质与一元二次方程的综合应用，解题关键是对已知边长进行分类讨论，同时不要忽略验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现增解或漏解的情况。
【难度系数】
0.7
本题需要结合等腰三角形的性质分类讨论已知边长3的身份，再结合一元二次方程根的性质求解k，最后验证三边是否满足三角形构成条件：①若3为腰长，则3是方程的一个根，代入可求k，再求解方程得到另一根，验证三边关系；②若3为底边长，则方程的两个根为相等的腰长，即方程有两个相等的实数根，用判别式Δ=0求k，再求解方程得到腰长，验证三边关系。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当长为3的边是腰时：
将x=3代入方程$x^2 - 4x + k = 0$，得：
$3^2 - 4×3 + k = 0$
解得$k=3$
此时方程为$x^2 -4x +3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得两根为$x_1=1$，$x_2=3$
三角形三边长为3，3，1，满足$1+3＞3$，可构成三角形，符合题意。
2. 当长为3的边是底边时：
此时方程的两个根为等腰三角形的两条腰，即方程有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(-4)^2 -4×1× k = 16 -4k =0$
解得$k=4$
此时方程为$x^2 -4x +4=0$，即$(x-2)^2=0$，解得两根为$x_1=x_2=2$
三角形三边长为2，2，3，满足$2+2＞3$，可构成三角形，符合题意。
综上，k的值为3或4。
【答案】
3或4
【知识点】
等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式，三角形三边关系
【点评】
本题考查几何图形性质与一元二次方程的综合应用，解题关键是对已知边长进行分类讨论，同时不要忽略验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现增解或漏解的情况。
【难度系数】
0.7
9.若关于$x$的方程$(x-1)(x+a)=0$有两个不相等的实数根，则$a$的取值范围是
$a≠-1$
.答案
9.$a≠-1$
解析
【分析】
解题思路：本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题可按以下步骤推进：第一步，先将给定的乘积形式的方程展开，整理为一元二次方程的一般形式；第二步，代入根的判别式公式计算Δ的表达式，化简得到关于a的代数式；第三步，根据“方程有两个不相等的实数根”的条件，对应Δ＞0，解不等式即可得到a的取值范围。也可直接求出方程的两个根，根据两根不相等的关系直接推导a的取值范围。
【解析】
解：先将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式：
$\begin{aligned}(x-1)(x+a)&=0\\x^2 +ax -x -a&=0\\x^2 + (a-1)x -a&=0\end{aligned}$
该方程二次项系数为1≠0，属于一元二次方程，根据根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$，其中二次项系数为1，一次项系数$b=a-1$，常数项$c=-a$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta&=(a-1)^2 - 4×1×(-a)\\&=a^2-2a+1 +4a\\&=a^2+2a+1\\&=(a+1)^2\end{aligned}$
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta＞0$，即$(a+1)^2＞0$。
因为平方数具有非负性，仅当底数不为0时平方大于0，因此$a+1≠0$，解得$a≠-1$。
【答案】
$a≠-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 整式的乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，考查对一元二次方程根的判别式的灵活应用，解题关键是先将方程整理为标准形式，再结合根的对应情况列出不等式求解，也可直接提取方程的两个根，根据根不相等的条件快速得出结果，解题方法灵活度较高。
【难度系数】
0.85
解题思路：本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题可按以下步骤推进：第一步，先将给定的乘积形式的方程展开，整理为一元二次方程的一般形式；第二步，代入根的判别式公式计算Δ的表达式，化简得到关于a的代数式；第三步，根据“方程有两个不相等的实数根”的条件，对应Δ＞0，解不等式即可得到a的取值范围。也可直接求出方程的两个根，根据两根不相等的关系直接推导a的取值范围。
【解析】
解：先将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式：
$\begin{aligned}(x-1)(x+a)&=0\\x^2 +ax -x -a&=0\\x^2 + (a-1)x -a&=0\end{aligned}$
该方程二次项系数为1≠0，属于一元二次方程，根据根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$，其中二次项系数为1，一次项系数$b=a-1$，常数项$c=-a$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta&=(a-1)^2 - 4×1×(-a)\\&=a^2-2a+1 +4a\\&=a^2+2a+1\\&=(a+1)^2\end{aligned}$
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta＞0$，即$(a+1)^2＞0$。
因为平方数具有非负性，仅当底数不为0时平方大于0，因此$a+1≠0$，解得$a≠-1$。
【答案】
$a≠-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 整式的乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，考查对一元二次方程根的判别式的灵活应用，解题关键是先将方程整理为标准形式，再结合根的对应情况列出不等式求解，也可直接提取方程的两个根，根据根不相等的条件快速得出结果，解题方法灵活度较高。
【难度系数】
0.85
10.(2025·无锡月考)已知关于x的一元二次方程$ax^2 - 3x + 5 = 0$有实数根，则整数a的最大值是
$-1$
.答案
10.$-1$
解析
【分析】
解题时首先明确两个前提条件：①该方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0，即$a≠0$；②方程有实数根，说明根的判别式大于等于0。我们先根据根的判别式公式代入系数列出不等式，求解得到a的取值范围，再结合a是整数、$a≠0$的限制，就能找到符合要求的最大整数a。
【解析】
∵ 方程$ax^2 - 3x + 5 = 0$是关于x的一元二次方程
∴ $a≠0$
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
将$a=a$，$b=-3$，$c=5$代入得：
$\Delta = (-3)^2 - 4× a ×5 ≥ 0$
$9 - 20a ≥ 0$
解得 $a ≤ \frac{9}{20}=0.45$
结合$a≠0$且a为整数的条件，满足要求的最大整数是-1。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程定义 2. 根的判别式应用 3. 不等式求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程相关性质的应用，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提，误将0当成答案，解题时要先确定二次项系数的限制条件，再结合判别式计算取值范围。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确两个前提条件：①该方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0，即$a≠0$；②方程有实数根，说明根的判别式大于等于0。我们先根据根的判别式公式代入系数列出不等式，求解得到a的取值范围，再结合a是整数、$a≠0$的限制，就能找到符合要求的最大整数a。
【解析】
∵ 方程$ax^2 - 3x + 5 = 0$是关于x的一元二次方程
∴ $a≠0$
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
将$a=a$，$b=-3$，$c=5$代入得：
$\Delta = (-3)^2 - 4× a ×5 ≥ 0$
$9 - 20a ≥ 0$
解得 $a ≤ \frac{9}{20}=0.45$
结合$a≠0$且a为整数的条件，满足要求的最大整数是-1。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程定义 2. 根的判别式应用 3. 不等式求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程相关性质的应用，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提，误将0当成答案，解题时要先确定二次项系数的限制条件，再结合判别式计算取值范围。
【难度系数】
0.6
11.已知关于$x$的方程$x^2+ax+a-2=0$.
(1)当该方程的一个根为1时,求$a$的值及该方程的另一个根;
(2)求证:不论$a$取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
(1)当该方程的一个根为1时,求$a$的值及该方程的另一个根;
(2)求证:不论$a$取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
答案
11. 解:(1)把$x=1$代入已知方程,得$1+a+a-2=0$,
解得$a=\frac{1}{2}$,$\therefore$方程为$x^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0$,
解得$x_1=1$,$x_2=-\frac{3}{2}$,$\therefore$方程的另一个根为$-\frac{3}{2}$.
(2)$\because a^2-4(a-2)=a^2-4a+8=a^2-4a+4+4=(a-2)^2+4＞0$,$\therefore$不论$a$取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
解得$a=\frac{1}{2}$,$\therefore$方程为$x^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0$,
解得$x_1=1$,$x_2=-\frac{3}{2}$,$\therefore$方程的另一个根为$-\frac{3}{2}$.
(2)$\because a^2-4(a-2)=a^2-4a+8=a^2-4a+4+4=(a-2)^2+4＞0$,$\therefore$不论$a$取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
解析
【分析】
(1) 已知方程的一个根，根据一元二次方程根的定义，将x=1代入原方程即可得到关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，再将a代入原方程解一元二次方程，就能求出另一个根。
(2) 要证明不论a取何实数，方程都有两个不相等的实数根，只需证明该一元二次方程的根的判别式Δ恒大于0即可。先写出判别式的表达式，再通过配方法将其变形为“完全平方式+正数”的形式，利用平方的非负性即可判断Δ的符号，完成证明。
【解析】
(1) 把$x=1$代入方程$x^2+ax+a-2=0$，得：
$1+a+a-2=0$
整理得$2a-1=0$，解得$a=\frac{1}{2}$。
将$a=\frac{1}{2}$代入原方程，得$x^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{3}{2}$，即方程的另一个根为$-\frac{3}{2}$。
(2) 证明：一元二次方程$x^2+ax+a-2=0$的根的判别式为：
$\Delta = a^2 - 4×1×(a-2) = a^2 - 4a + 8$
对判别式配方可得：$\Delta = a^2 -4a +4 +4 = (a-2)^2 +4$
$\because (a-2)^2 ≥ 0$，$\therefore (a-2)^2 +4 ≥ 4 ＞0$
$\therefore$ 不论$a$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) $a=\frac{1}{2}$，方程的另一个根为$-\frac{3}{2}$；
(2) 证明成立，不论$a$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法，根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础题型，第一问考查方程根的定义的基础应用，第二问需要掌握根的判别式的计算以及配方法判断代数式符号的方法，解题思路固定，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 已知方程的一个根，根据一元二次方程根的定义，将x=1代入原方程即可得到关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，再将a代入原方程解一元二次方程，就能求出另一个根。
(2) 要证明不论a取何实数，方程都有两个不相等的实数根，只需证明该一元二次方程的根的判别式Δ恒大于0即可。先写出判别式的表达式，再通过配方法将其变形为“完全平方式+正数”的形式，利用平方的非负性即可判断Δ的符号，完成证明。
【解析】
(1) 把$x=1$代入方程$x^2+ax+a-2=0$，得：
$1+a+a-2=0$
整理得$2a-1=0$，解得$a=\frac{1}{2}$。
将$a=\frac{1}{2}$代入原方程，得$x^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{3}{2}$，即方程的另一个根为$-\frac{3}{2}$。
(2) 证明：一元二次方程$x^2+ax+a-2=0$的根的判别式为：
$\Delta = a^2 - 4×1×(a-2) = a^2 - 4a + 8$
对判别式配方可得：$\Delta = a^2 -4a +4 +4 = (a-2)^2 +4$
$\because (a-2)^2 ≥ 0$，$\therefore (a-2)^2 +4 ≥ 4 ＞0$
$\therefore$ 不论$a$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) $a=\frac{1}{2}$，方程的另一个根为$-\frac{3}{2}$；
(2) 证明成立，不论$a$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法，根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础题型，第一问考查方程根的定义的基础应用，第二问需要掌握根的判别式的计算以及配方法判断代数式符号的方法，解题思路固定，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
12.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(m+2)x+m+1=0$.
(1)如果该方程有两个相等的实数根,求$m$的值;
(2)如果该方程有一个根小于0,求$m$的取值范围.
(1)如果该方程有两个相等的实数根,求$m$的值;
(2)如果该方程有一个根小于0,求$m$的取值范围.
答案
12. 解:(1)由题意,得$b^2-4ac=0$,即$(m+2)^2-4(m+1)=0$,
解得$m_1=m_2=0$,即$m$的值为0.
(2)根据题意,得$x=\frac{m+2\pm m}{2}$,$\therefore x_1=m+1$,$x_2=1$.
$\because$该方程有一个根小于0,$\therefore m+1＜0$,解得$m＜-1$,
即$m$的取值范围为$m＜-1$.
解得$m_1=m_2=0$,即$m$的值为0.
(2)根据题意,得$x=\frac{m+2\pm m}{2}$,$\therefore x_1=m+1$,$x_2=1$.
$\because$该方程有一个根小于0,$\therefore m+1＜0$,解得$m＜-1$,
即$m$的取值范围为$m＜-1$.
解析
【分析】
(1) 当一元二次方程有两个相等的实数根时，对应根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$，我们只需先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$m$的方程，再解方程即可求出$m$的值。
(2) 要求存在小于0的根时$m$的取值范围，可先求解方程得到两个根的表达式，观察发现其中一个根是固定值1（恒大于0），因此只需令另一个根小于0，列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得，该一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$。
在方程$x^2-(m+2)x+m+1=0$中，$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=m+1$，代入判别式得：
$(m+2)^2-4×1×(m+1)=0$
展开整理得$m^2+4m+4-4m-4=0$，即$m^2=0$
解得$m_1=m_2=0$，即$m$的值为0。
(2) 根据求根公式得该方程的根为：
$x=\frac{(m+2)\pm\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{m+2\pm\sqrt{m^2}}{2}=\frac{m+2\pm m}{2}$
计算得两个根：$x_1=\frac{m+2+m}{2}=m+1$，$x_2=\frac{m+2-m}{2}=1$
已知方程有一个根小于0，而$x_2=1＞0$，因此只需$x_1＜0$，即：
$m+1＜0$
解得$m＜-1$，即$m$的取值范围为$m＜-1$。
【答案】
(1) $m$的值为0；(2) $m$的取值范围为$m＜-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用类习题，核心考查根的判别式与根的个数的对应关系，以及一元二次方程的求解能力，掌握基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 当一元二次方程有两个相等的实数根时，对应根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$，我们只需先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$m$的方程，再解方程即可求出$m$的值。
(2) 要求存在小于0的根时$m$的取值范围，可先求解方程得到两个根的表达式，观察发现其中一个根是固定值1（恒大于0），因此只需令另一个根小于0，列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得，该一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$。
在方程$x^2-(m+2)x+m+1=0$中，$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=m+1$，代入判别式得：
$(m+2)^2-4×1×(m+1)=0$
展开整理得$m^2+4m+4-4m-4=0$，即$m^2=0$
解得$m_1=m_2=0$，即$m$的值为0。
(2) 根据求根公式得该方程的根为：
$x=\frac{(m+2)\pm\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{m+2\pm\sqrt{m^2}}{2}=\frac{m+2\pm m}{2}$
计算得两个根：$x_1=\frac{m+2+m}{2}=m+1$，$x_2=\frac{m+2-m}{2}=1$
已知方程有一个根小于0，而$x_2=1＞0$，因此只需$x_1＜0$，即：
$m+1＜0$
解得$m＜-1$，即$m$的取值范围为$m＜-1$。
【答案】
(1) $m$的值为0；(2) $m$的取值范围为$m＜-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用类习题，核心考查根的判别式与根的个数的对应关系，以及一元二次方程的求解能力，掌握基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
13.已知关于$x$的方程$mx^2-(m+2)x+2=0$.
(1)求证:不论$m$为何值,该方程总有实数根;
(2)当$m$为何整数时,该方程有两个不相等的正整数根?
(1)求证:不论$m$为何值,该方程总有实数根;
(2)当$m$为何整数时,该方程有两个不相等的正整数根?
答案
13. (1)证明:当$m≠0$时,$b^2-4ac=(m+2)^2-8m=m^2-4m+4=(m-2)^2$.
$\because$不论$m$为何值,$(m-2)^2≥0$,
$\therefore b^2-4ac≥0$,即该方程总有实数根.
当$m=0$时,方程为$-2x+2=0$,解得$x=1$,
即$m=0$时,该方程也有实数根.
综上可知,不论$m$为何值,该方程总有实数根.
(2)解:由题意知$m≠0$. 解一元二次方程,得
$x=\frac{m+2\pm|m-2|}{2m}$,$\therefore x_1=\frac{2}{m}$,$x_2=1$.
$\because$该方程有两个正整数根,$\therefore m=1$或$m=2$.
$\because$该方程有两个不相等的正整数根,
$\therefore (m-2)^2≠0$,即$m=2$不合题意,$\therefore m=1$.
$\because$不论$m$为何值,$(m-2)^2≥0$,
$\therefore b^2-4ac≥0$,即该方程总有实数根.
当$m=0$时,方程为$-2x+2=0$,解得$x=1$,
即$m=0$时,该方程也有实数根.
综上可知,不论$m$为何值,该方程总有实数根.
(2)解:由题意知$m≠0$. 解一元二次方程,得
$x=\frac{m+2\pm|m-2|}{2m}$,$\therefore x_1=\frac{2}{m}$,$x_2=1$.
$\because$该方程有两个正整数根,$\therefore m=1$或$m=2$.
$\because$该方程有两个不相等的正整数根,
$\therefore (m-2)^2≠0$,即$m=2$不合题意,$\therefore m=1$.
解析
【分析】
(1) 要证明方程总有实数根，首先因二次项系数含参数m，需分两种情况讨论：①m=0时方程为一元一次方程，直接求解验证有实根；②m≠0时方程为一元二次方程，计算根的判别式，判断判别式恒非负即可得证。
(2) 要求两个不相等的正整数根，首先确定方程为一元二次方程即m≠0，先求解得到两个根的表达式，结合根为正整数确定m的可能取值，再根据“两根不相等”的条件排除不符合的取值，最终得到结果。
【解析】
(1) 证明：分两种情况讨论：
① 当$m≠0$时，方程为一元二次方程，$a=m$，$b=-(m+2)$，$c=2$，
判别式$b^2-4ac=(m+2)^2-8m=m^2-4m+4=(m-2)^2$，
∵ 不论m为何值，$(m-2)^2≥0$恒成立，即$b^2-4ac≥0$，
∴ 此时方程总有实数根；
② 当$m=0$时，方程化为$-2x+2=0$，是一元一次方程，解得$x=1$，有实数根。
综上，不论m为何值，该方程总有实数根。
(2) 解：
∵ 方程有两个不相等的正整数根，
∴ 方程为一元二次方程，即$m≠0$，
解方程得$x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)^2}}{2m}=\frac{m+2\pm|m-2|}{2m}$，
∴ $x_1=\frac{2}{m}$，$x_2=1$，
∵ 两个根都是正整数，
∴ $\frac{2}{m}$是正整数，可得整数m为1或2，
又
∵ 两根不相等，
∴ $b^2-4ac=(m-2)^2≠0$，即$m≠2$，
∴ $m=1$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $m=1$
【知识点】
根的判别式，分类讨论思想，一元二次方程求解
【点评】
本题易错点为忽略m=0的情况直接按一元二次方程证明，第二问容易遗漏“两个不相等”的限制条件导致多解，解题时要紧扣题目所有限制条件逐步筛选。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明方程总有实数根，首先因二次项系数含参数m，需分两种情况讨论：①m=0时方程为一元一次方程，直接求解验证有实根；②m≠0时方程为一元二次方程，计算根的判别式，判断判别式恒非负即可得证。
(2) 要求两个不相等的正整数根，首先确定方程为一元二次方程即m≠0，先求解得到两个根的表达式，结合根为正整数确定m的可能取值，再根据“两根不相等”的条件排除不符合的取值，最终得到结果。
【解析】
(1) 证明：分两种情况讨论：
① 当$m≠0$时，方程为一元二次方程，$a=m$，$b=-(m+2)$，$c=2$，
判别式$b^2-4ac=(m+2)^2-8m=m^2-4m+4=(m-2)^2$，
∵ 不论m为何值，$(m-2)^2≥0$恒成立，即$b^2-4ac≥0$，
∴ 此时方程总有实数根；
② 当$m=0$时，方程化为$-2x+2=0$，是一元一次方程，解得$x=1$，有实数根。
综上，不论m为何值，该方程总有实数根。
(2) 解：
∵ 方程有两个不相等的正整数根，
∴ 方程为一元二次方程，即$m≠0$，
解方程得$x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)^2}}{2m}=\frac{m+2\pm|m-2|}{2m}$，
∴ $x_1=\frac{2}{m}$，$x_2=1$，
∵ 两个根都是正整数，
∴ $\frac{2}{m}$是正整数，可得整数m为1或2，
又
∵ 两根不相等，
∴ $b^2-4ac=(m-2)^2≠0$，即$m≠2$，
∴ $m=1$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $m=1$
【知识点】
根的判别式，分类讨论思想，一元二次方程求解
【点评】
本题易错点为忽略m=0的情况直接按一元二次方程证明，第二问容易遗漏“两个不相等”的限制条件导致多解，解题时要紧扣题目所有限制条件逐步筛选。
【难度系数】
0.6
