三、解答题(共40分)
11.(18分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,连接DE.
(1)求证:E是BC的中点;
(2)若∠C=70°,求∠BOD的度数.

11.(1)证明:如答图,连接AE.
∵AB是⊙O的直径,
∴AE⊥BC.
∵AB=AC,
∴E是BC的中点.

(2)解:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=70°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=40°.
∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOD,
∴∠BOD=80°.

【分析】
(1)要证明E是BC的中点，已知AB=AC，△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，只需证明BC边上的高AE存在即可；AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，连接AE即可得到AE⊥BC，进而推导出E为BC中点。
(2)要求∠BOD的度数，先根据等腰三角形两底角相等的性质，计算出△ABC的顶角∠BAC的度数；再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BOD和∠BAC分别是同弧BD对应的圆心角和圆周角，代入∠BAC的度数即可求出∠BOD。
【解析】
(1)证明：如答图，连接AE。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BC。
∵AB=AC，△ABC是等腰三角形，AE是BC边上的高，
∴AE同时是BC边上的中线，即E是BC的中点。

(2)解：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=70°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°。
∵同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠BOD=2∠BAC=2×40°=80°。
【答案】
(1)证明:如答图,连接AE.
∵AB是⊙O的直径,
∴AE⊥BC.
∵AB=AC,
∴E是BC的中点.

(2)解:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=70°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=40°.
∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOD,
∴∠BOD=80°.
【知识点】
直径所对圆周角的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理
【点评】本题属于几何基础综合题，将圆的性质和等腰三角形的性质结合考察，解题的核心是正确构造辅助线，熟练掌握基础几何定理即可顺利求解，是圆相关考点中的常见题型。
【难度系数】
0.7

12.(22分)如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB.
(1)试说明DB平分∠ADC,并求∠BAD的度数；
(2)过点C作CF//AD交AB的延长线于点F,若AC=AD,BF=2,求此圆的半径.

12.解:(1)
∵∠BAC=∠ADB,∠BAC=∠CDB,
∴∠ADB=∠CDB,
∴DB平分∠ADC.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°,
∴2(∠ABD+∠ADB)=180°,
∴∠ABD+∠ADB=90°,
∴∠BAD=180°-90°=90°.
(2)
∵∠BAE+∠DAE=90°,∠BAE=∠ADE,
∴∠ADE+∠DAE=90°,
∴∠AED=90°.
∵∠BAD=90°,
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC,
∴AD=CD.
∵AC=AD,
∴△ACD是等边三角形,
∴∠ADC=60°.
∵BD⊥AC,
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠ADC=30°.
∵CF//AD,
∴∠F+∠BAD=180°,
∴∠F=90°.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°.
∵∠FBC+∠ABC=180°,
∴∠FBC=∠ADC=60°,
∴BC=2BF=4.
∵∠BCD=90°,∠BDC=30°,
∴BD=2BC=8.
∵BD是圆的直径,
∴此圆的半径是4.

【分析】
(1) 要证明DB平分∠ADC，需证∠ADB=∠CDB：根据同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠CDB，结合已知∠BAC=∠ADB即可得证；求∠BAD的度数时，先利用角平分线的性质得∠ABD=∠CBD，再结合圆内接四边形对角互补，将∠ABC+∠ADC=180°转化为2(∠ABD+∠ADB)=180°，得到∠ABD+∠ADB=90°，最后利用三角形内角和即可求出∠BAD的度数。
(2) 先由∠BAD=90°推出BD是圆的直径，再结合角的关系推出AC⊥BD，得到AD=CD，结合AC=AD可判定△ACD是等边三角形，得∠ADC=60°，进而推出∠BDC=30°；再根据CF//AD推出∠F=90°，利用圆内接四边形的外角等于内对角得∠FBC=∠ADC=60°，在Rt△FBC中利用30°角的性质求出BC的长，最后在Rt△BCD中利用30°角的性质求出直径BD的长，即可得到圆的半径。
【解析】
(1)
∵∠BAC=∠ADB，∠BAC=∠CDB（同弧所对的圆周角相等），
∴∠ADB=∠CDB，
∴DB平分∠ADC。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD。
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°，
∴2(∠ABD+∠ADB)=180°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°-(∠ABD+∠ADB)=180°-90°=90°。
(2)
∵∠BAE+∠DAE=90°，∠BAE=∠ADE，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠AED=90°，即BD⊥AC。
∵∠BAD=90°，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AD=CD。
∵AC=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°。
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠ADC=30°。
∵CF//AD，
∴∠F+∠BAD=180°，
∴∠F=90°。
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠FBC+∠ABC=180°，
∴∠FBC=∠ADC=60°，
∴在Rt△FBC中，∠FCB=30°，BC=2BF=2×2=4。
∵BD是直径，
∴∠BCD=90°，
在Rt△BCD中，∠BDC=30°，
∴BD=2BC=2×4=8，
∵BD是圆的直径，
∴此圆的半径为$\frac{1}{2}$BD=4。
【答案】
(1) DB平分∠ADC，∠BAD=90°；
(2) 此圆的半径为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的综合应用题，将圆的基础性质和特殊三角形的判定、性质相结合考查，解题的关键是挖掘已知条件中的角的等量关系，推导得到特殊角和特殊三角形，能较好地考查逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6