登录
1.已知$\odot O$的直径为10 cm，点P到圆心O的距离为8 cm，则点P和$\odot O$的位置关系是 （
A.点P在$\odot O$内
B.点P在$\odot O$外
C.点P在$\odot O$上
D.无法判断
B
）A.点P在$\odot O$内
B.点P在$\odot O$外
C.点P在$\odot O$上
D.无法判断
答案
1.B
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离和圆半径的大小关系：若点到圆心的距离大于半径，点在圆外；等于半径，点在圆上；小于半径，点在圆内。本题首先根据圆的直径求出半径，再将点P到圆心的距离与半径对比即可得到结论。
【解析】
第一步：计算⊙O的半径，已知⊙O的直径为10 cm，因此半径$r=10÷2=5$ cm；
第二步：对比点P到圆心的距离和半径的大小，已知点P到圆心O的距离$d=8$ cm，可得$d=8\ \mathrm{cm}＞r=5\ \mathrm{cm}$；
第三步：根据点与圆的位置关系判定规则，当$d＞r$时，点在圆外，因此点P在$\odot O$外。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础类考题，只要牢记点和圆位置关系的判定规则，先求出圆的半径再和点到圆心的距离比较，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离和圆半径的大小关系：若点到圆心的距离大于半径，点在圆外；等于半径，点在圆上；小于半径，点在圆内。本题首先根据圆的直径求出半径，再将点P到圆心的距离与半径对比即可得到结论。
【解析】
第一步：计算⊙O的半径，已知⊙O的直径为10 cm，因此半径$r=10÷2=5$ cm；
第二步：对比点P到圆心的距离和半径的大小，已知点P到圆心O的距离$d=8$ cm，可得$d=8\ \mathrm{cm}＞r=5\ \mathrm{cm}$；
第三步：根据点与圆的位置关系判定规则，当$d＞r$时，点在圆外，因此点P在$\odot O$外。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础类考题，只要牢记点和圆位置关系的判定规则，先求出圆的半径再和点到圆心的距离比较，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.(2025·徐州铜山区二模)如图,点A,B,C,D在⊙O上,依次连接AB,OB,OC,CD,AD.若CD//BO,∠BOC=30°,则∠A的度数是 (
A.45°
B.55°
C.65°
D.75°
D
)A.45°
B.55°
C.65°
D.75°
答案
2.D
解析
【分析】
解题时可按照以下思路推导：第一步，利用平行线的内错角相等，由CD//BO和已知的∠BOC求出∠OCD的度数；第二步，结合圆的半径相等，得到△OCD为等腰三角形，进而求出∠COD的度数；第三步，计算出弧BD对应的圆心角∠BOD的度数；第四步，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠A的度数。
【解析】
1. 因为CD//BO，∠BOC=30°，根据两直线平行，内错角相等，可得∠OCD=∠BOC=30°；
2. 由于OC、OD都是⊙O的半径，因此OC=OD，△OCD为等腰三角形，故∠ODC=∠OCD=30°；
3. 根据三角形内角和为180°，可得∠COD=180°-∠OCD-∠ODC=180°-30°-30°=120°；
4. 因此弧BD对应的圆心角∠BOD=∠BOC+∠COD=30°+120°=150°；
5. ∠A是弧BD所对的圆周角，根据圆周角定理，∠A=½∠BOD=½×150°=75°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，将平行线、等腰三角形的性质和圆周角定理结合考查，解题的关键是正确推导出弧BD对应的圆心角度数，是圆相关知识点的常考典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时可按照以下思路推导：第一步，利用平行线的内错角相等，由CD//BO和已知的∠BOC求出∠OCD的度数；第二步，结合圆的半径相等，得到△OCD为等腰三角形，进而求出∠COD的度数；第三步，计算出弧BD对应的圆心角∠BOD的度数；第四步，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠A的度数。
【解析】
1. 因为CD//BO，∠BOC=30°，根据两直线平行，内错角相等，可得∠OCD=∠BOC=30°；
2. 由于OC、OD都是⊙O的半径，因此OC=OD，△OCD为等腰三角形，故∠ODC=∠OCD=30°；
3. 根据三角形内角和为180°，可得∠COD=180°-∠OCD-∠ODC=180°-30°-30°=120°；
4. 因此弧BD对应的圆心角∠BOD=∠BOC+∠COD=30°+120°=150°；
5. ∠A是弧BD所对的圆周角，根据圆周角定理，∠A=½∠BOD=½×150°=75°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，将平行线、等腰三角形的性质和圆周角定理结合考查，解题的关键是正确推导出弧BD对应的圆心角度数，是圆相关知识点的常考典型题型。
【难度系数】
0.7
3.如图,在半径为5的$\odot O$中,弦$AB=8$,C是弦AB上的一动点,若OC的长为整数,则满足条件的点C有 （
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
C
）A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
3.C
解析
【分析】
要确定满足OC长为整数的点C的个数，首先需明确OC的取值范围：根据圆的性质，圆心到弦的垂线段最短，结合垂径定理求出OC的最小值，OC的最大值为圆的半径（当点C与弦的端点A、B重合时）；再找出该范围内的整数，统计每个整数对应的点的个数，求和即可得到结果。
【解析】
连接OA，过点O作OC⊥AB于点C。
根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ OAC$中，$OA=5$，$AC=4$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，即OC的最小值为3。
当点C与点A或点B重合时，OC的长度等于半径，即最大值为5。
因此OC的取值范围为$3≤ OC≤5$，其中整数为3、4、5：
当$OC=3$时，仅垂足这1个点满足条件；
当$OC=4$时，在垂足两侧各有1个点满足条件，共2个；
当$OC=5$时，点A、点B满足条件，共2个。
总共有$1+2+2=5$个符合条件的点C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，点到直线的距离
【点评】
本题属于圆的基础题型，解题的核心是利用垂径定理和勾股定理确定OC的取值范围，计数时需注意对称性，避免漏算或多算点的数量。
【难度系数】
0.7
要确定满足OC长为整数的点C的个数，首先需明确OC的取值范围：根据圆的性质，圆心到弦的垂线段最短，结合垂径定理求出OC的最小值，OC的最大值为圆的半径（当点C与弦的端点A、B重合时）；再找出该范围内的整数，统计每个整数对应的点的个数，求和即可得到结果。
【解析】
连接OA，过点O作OC⊥AB于点C。
根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ OAC$中，$OA=5$，$AC=4$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，即OC的最小值为3。
当点C与点A或点B重合时，OC的长度等于半径，即最大值为5。
因此OC的取值范围为$3≤ OC≤5$，其中整数为3、4、5：
当$OC=3$时，仅垂足这1个点满足条件；
当$OC=4$时，在垂足两侧各有1个点满足条件，共2个；
当$OC=5$时，点A、点B满足条件，共2个。
总共有$1+2+2=5$个符合条件的点C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，点到直线的距离
【点评】
本题属于圆的基础题型，解题的核心是利用垂径定理和勾股定理确定OC的取值范围，计数时需注意对称性，避免漏算或多算点的数量。
【难度系数】
0.7
4.已知$\odot O$的半径为4,则$30°$的圆周角所对的弦长为
4
.答案
4.4
解析
【分析】
解题时先利用圆周角定理建立圆周角和圆心角的联系：第一步，由30°的圆周角算出同弧所对的圆心角为60°；第二步，观察圆心角对应的两条边都是圆的半径，长度均为4，可知由两条半径和所求弦构成的三角形是有一个内角为60°的等腰三角形，也就是等边三角形；第三步，根据等边三角形三边相等的性质，直接得到弦长等于半径长度。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
已知圆周角为$30°$，则同弧对应的圆心角为：$2×30°=60°$。
设圆心角为$∠ AOB=60°$，其中OA、OB均为$\odot O$的半径，故$OA=OB=4$。
在$△ AOB$中，$OA=OB=4$且$∠ AOB=60°$，因此$△ AOB$是等边三角形，可得弦长$AB=OA=4$。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的判定，圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关的基础考题，核心是通过圆周角定理完成圆周角到圆心角的转化，再结合特殊三角形的性质求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先利用圆周角定理建立圆周角和圆心角的联系：第一步，由30°的圆周角算出同弧所对的圆心角为60°；第二步，观察圆心角对应的两条边都是圆的半径，长度均为4，可知由两条半径和所求弦构成的三角形是有一个内角为60°的等腰三角形，也就是等边三角形；第三步，根据等边三角形三边相等的性质，直接得到弦长等于半径长度。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
已知圆周角为$30°$，则同弧对应的圆心角为：$2×30°=60°$。
设圆心角为$∠ AOB=60°$，其中OA、OB均为$\odot O$的半径，故$OA=OB=4$。
在$△ AOB$中，$OA=OB=4$且$∠ AOB=60°$，因此$△ AOB$是等边三角形，可得弦长$AB=OA=4$。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的判定，圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关的基础考题，核心是通过圆周角定理完成圆周角到圆心角的转化，再结合特殊三角形的性质求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
5.如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，若$AB=2\sqrt{2}$，$∠ C=45°$，则$\odot O$的半径为
2
。答案
5.2
解析
【分析】
要求⊙O的半径，已知弧AB对应的圆周角∠C和弦AB的长度，可先利用圆周角定理求出同弧对应的圆心角∠AOB的度数，再连接OA、OB，得到等腰△OAB，结合圆心角的度数判断△OAB为等腰直角三角形，最后通过勾股定理即可计算出半径长度。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵ ∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理，∠AOB = 2∠C = 2×45° = 90°
又
∵ OA、OB均为⊙O的半径，
∴ OA = OB
设⊙O的半径为r，在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OA² + OB² = AB²
代入数据得：r² + r² = (2√2)²
化简得：2r² = 8，解得r = 2（r为正数，舍去负根）
【答案】
2
【知识点】
圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中求半径的基础题型，解题关键是通过连接半径构造圆心角，将已知的圆周角条件转化为特殊三角形的角度条件，结合勾股定理求解，掌握圆周角定理和常见辅助线的做法即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
要求⊙O的半径，已知弧AB对应的圆周角∠C和弦AB的长度，可先利用圆周角定理求出同弧对应的圆心角∠AOB的度数，再连接OA、OB，得到等腰△OAB，结合圆心角的度数判断△OAB为等腰直角三角形，最后通过勾股定理即可计算出半径长度。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵ ∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理，∠AOB = 2∠C = 2×45° = 90°
又
∵ OA、OB均为⊙O的半径，
∴ OA = OB
设⊙O的半径为r，在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OA² + OB² = AB²
代入数据得：r² + r² = (2√2)²
化简得：2r² = 8，解得r = 2（r为正数，舍去负根）
【答案】
2
【知识点】
圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中求半径的基础题型，解题关键是通过连接半径构造圆心角，将已知的圆周角条件转化为特殊三角形的角度条件，结合勾股定理求解，掌握圆周角定理和常见辅助线的做法即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
6.在半径为5的圆中，长度为$5\sqrt{3}$的弦所对圆周角的度数是
60°或120°
。答案
6.60°或120°
解析
【分析】
要求弦所对的圆周角，可先通过垂径定理构造直角三角形，求出该弦所对的圆心角，再结合圆周角定理计算圆周角；需注意一条弦对应两段弧，所对的圆周角有2个，二者互补，解题时要分类讨论避免漏解。具体步骤：①过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半；②在直角三角形中用特殊角的三角函数求出半圆心角，得到完整圆心角；③分别计算优弧、劣弧所对的圆周角。
【解析】
设圆为$\odot O$，半径$OA=OB=5$，弦$AB=5\sqrt{3}$。
过点$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，根据垂径定理，得$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，$\sin∠ AOC=\frac{AC}{OA}=\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{5}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$∠ AOC=60°$。
则弦$AB$所对的圆心角$∠ AOB=2∠ AOC=120°$。
分两种情况讨论圆周角：
1. 当圆周角的顶点在优弧$AB$上时，根据圆周角定理，该圆周角为$\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$；
2. 当圆周角的顶点在劣弧$AB$上时，根据圆内接四边形对角互补，该圆周角为$180°-60°=120°$。
综上，弦所对的圆周角度数为$60°$或$120°$。
【答案】
$60°$或$120°$
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；特殊锐角三角函数值
【点评】
本题易错点是忽略弦所对的圆周角有两种情况，解题时要结合图形分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要求弦所对的圆周角，可先通过垂径定理构造直角三角形，求出该弦所对的圆心角，再结合圆周角定理计算圆周角；需注意一条弦对应两段弧，所对的圆周角有2个，二者互补，解题时要分类讨论避免漏解。具体步骤：①过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半；②在直角三角形中用特殊角的三角函数求出半圆心角，得到完整圆心角；③分别计算优弧、劣弧所对的圆周角。
【解析】
设圆为$\odot O$，半径$OA=OB=5$，弦$AB=5\sqrt{3}$。
过点$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，根据垂径定理，得$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，$\sin∠ AOC=\frac{AC}{OA}=\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{5}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$∠ AOC=60°$。
则弦$AB$所对的圆心角$∠ AOB=2∠ AOC=120°$。
分两种情况讨论圆周角：
1. 当圆周角的顶点在优弧$AB$上时，根据圆周角定理，该圆周角为$\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$；
2. 当圆周角的顶点在劣弧$AB$上时，根据圆内接四边形对角互补，该圆周角为$180°-60°=120°$。
综上，弦所对的圆周角度数为$60°$或$120°$。
【答案】
$60°$或$120°$
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；特殊锐角三角函数值
【点评】
本题易错点是忽略弦所对的圆周角有两种情况，解题时要结合图形分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
7. 如图，在$\odot O$中，点$A$在$\overset{\frown}{BC}$上，$∠ BOC=100°$，则$∠ BAC$的度数是
130°
。答案
7.130°
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：已知圆心角∠BOC的度数，要求圆周角∠BAC的度数。首先回忆圆周角定理，注意∠BOC对应劣弧$\overset{\frown}{BC}$，而∠BAC并不对应劣弧$\overset{\frown}{BC}$，因此不能直接计算。我们可以在优弧$\overset{\frown}{BC}$上取一点构造辅助圆周角，先利用圆周角定理求出该圆周角的度数，再结合圆内接四边形对角互补的性质，即可算出∠BAC的度数。
【解析】
在优弧$\overset{\frown}{BC}$上任取一点D，连接BD、CD。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∵ ∠BOC和∠BDC都对应劣弧$\overset{\frown}{BC}$，
∴ $∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×100°=50°$。
又
∵ 四边形ABDC是$\odot O$的内接四边形，圆内接四边形的对角互补，
∴ $∠ BAC + ∠ BDC=180°$，
∴ $∠ BAC=180° - 50°=130°$。
【答案】
$130°$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的常考题型，解题关键是明确圆心角和圆周角对应的弧，正确构造辅助线结合相关性质计算，易错点是容易误将∠BAC当作劣弧$\overset{\frown}{BC}$对应的圆周角，算成$50°$。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：已知圆心角∠BOC的度数，要求圆周角∠BAC的度数。首先回忆圆周角定理，注意∠BOC对应劣弧$\overset{\frown}{BC}$，而∠BAC并不对应劣弧$\overset{\frown}{BC}$，因此不能直接计算。我们可以在优弧$\overset{\frown}{BC}$上取一点构造辅助圆周角，先利用圆周角定理求出该圆周角的度数，再结合圆内接四边形对角互补的性质，即可算出∠BAC的度数。
【解析】
在优弧$\overset{\frown}{BC}$上任取一点D，连接BD、CD。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∵ ∠BOC和∠BDC都对应劣弧$\overset{\frown}{BC}$，
∴ $∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×100°=50°$。
又
∵ 四边形ABDC是$\odot O$的内接四边形，圆内接四边形的对角互补，
∴ $∠ BAC + ∠ BDC=180°$，
∴ $∠ BAC=180° - 50°=130°$。
【答案】
$130°$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的常考题型，解题关键是明确圆心角和圆周角对应的弧，正确构造辅助线结合相关性质计算，易错点是容易误将∠BAC当作劣弧$\overset{\frown}{BC}$对应的圆周角，算成$50°$。
【难度系数】
0.7
8.如图，$\odot O$的半径为1 cm，弦AB，CD的长度分别为$\sqrt{2}$ cm，1 cm，则弦AC，BD所夹的锐角α的度数是
75°
.答案
8.75°
解析
【分析】
解题时先通过连接圆心与各弦的端点，把已知弦长和半径的条件转化为对应圆心角的度数：先利用勾股定理逆定理判断△OAB的形状得到弧AB对应的圆心角，再由等边三角形的判定得到△OCD的形状，得到弧CD对应的圆心角；再根据圆周角定理，将所求夹角相关的两个圆周角转化为对应弧度数的一半，最后结合三角形内角和即可算出所求锐角的度数。
【解析】
设弦AC、BD交于点P，连接OA、OB、OC、OD。
∵⊙O的半径为1 cm，
∴OA=OB=OC=OD=1 cm。
在△OAB中，OA=OB=1 cm，AB=√2 cm，
∵OA² + OB² = 1² + 1² = 2 = (√2)² = AB²，
∴由勾股定理逆定理可得∠AOB=90°，即弧AB的度数为90°。
在△OCD中，OC=OD=1 cm，CD=1 cm，
∴△OCD是等边三角形，∠COD=60°，即弧CD的度数为60°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，可得：
∠CAB = $\frac{1}{2}$×弧BC的度数，∠ABD = $\frac{1}{2}$×弧AD的度数，
∴∠CAB + ∠ABD = $\frac{1}{2}$×(弧BC的度数 + 弧AD的度数)。
∵圆周总度数为360°，
∴弧BC的度数 + 弧AD的度数 = 360° - 弧AB的度数 - 弧CD的度数 = 360° - 90° - 60° = 210°，
∴∠CAB + ∠ABD = $\frac{1}{2}$×210° = 105°。
在△APB中，∠APB = 180° - (∠CAB + ∠ABD) = 180° - 105° = 75°，即所求锐角α=75°。
【答案】
75°
【知识点】
圆周角定理，勾股定理逆定理，等边三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是添加辅助线构造圆心角，将弦长条件转化为角度条件，再结合圆周角和三角形内角和的性质求解，考查了学生对圆相关性质和三角形基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先通过连接圆心与各弦的端点，把已知弦长和半径的条件转化为对应圆心角的度数：先利用勾股定理逆定理判断△OAB的形状得到弧AB对应的圆心角，再由等边三角形的判定得到△OCD的形状，得到弧CD对应的圆心角；再根据圆周角定理，将所求夹角相关的两个圆周角转化为对应弧度数的一半，最后结合三角形内角和即可算出所求锐角的度数。
【解析】
设弦AC、BD交于点P，连接OA、OB、OC、OD。
∵⊙O的半径为1 cm，
∴OA=OB=OC=OD=1 cm。
在△OAB中，OA=OB=1 cm，AB=√2 cm，
∵OA² + OB² = 1² + 1² = 2 = (√2)² = AB²，
∴由勾股定理逆定理可得∠AOB=90°，即弧AB的度数为90°。
在△OCD中，OC=OD=1 cm，CD=1 cm，
∴△OCD是等边三角形，∠COD=60°，即弧CD的度数为60°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，可得：
∠CAB = $\frac{1}{2}$×弧BC的度数，∠ABD = $\frac{1}{2}$×弧AD的度数，
∴∠CAB + ∠ABD = $\frac{1}{2}$×(弧BC的度数 + 弧AD的度数)。
∵圆周总度数为360°，
∴弧BC的度数 + 弧AD的度数 = 360° - 弧AB的度数 - 弧CD的度数 = 360° - 90° - 60° = 210°，
∴∠CAB + ∠ABD = $\frac{1}{2}$×210° = 105°。
在△APB中，∠APB = 180° - (∠CAB + ∠ABD) = 180° - 105° = 75°，即所求锐角α=75°。
【答案】
75°
【知识点】
圆周角定理，勾股定理逆定理，等边三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是添加辅助线构造圆心角，将弦长条件转化为角度条件，再结合圆周角和三角形内角和的性质求解，考查了学生对圆相关性质和三角形基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
9.(2025·南京二模)如图,在$\odot O$中,弦$AB$,$CD$相交于点$P$.若$\overset{\frown}{AC}$的度数为$100°$,$\overset{\frown}{BD}$的度数为$30°$,则$∠ APC$的度数为
65°
.答案
9.65°
解析
【分析】
要求∠APC的度数，可结合圆周角定理与三角形外角性质推导：首先圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，∠APC是△PBC的外角，等于与它不相邻的两个内角∠ABC、∠BCD的和，其中∠ABC对应弧$\overset{\frown}{AC}$，∠BCD对应弧$\overset{\frown}{BD}$，代入已知弧的度数即可计算结果；也可直接利用圆内两相交弦的夹角性质：圆内两条弦相交形成的角的度数，等于其所对两段弧度数之和的一半，直接代入求解。
【解析】
方法1：连接BC。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半。
$\because \overset{\frown}{AC}$的度数为100°，∠ABC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$\therefore ∠ABC=\frac{1}{2}×100°=50°$。
$\because \overset{\frown}{BD}$的度数为30°，∠BCD是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，$\therefore ∠BCD=\frac{1}{2}×30°=15°$。
∵∠APC是△PBC的外角，根据三角形外角性质：外角等于不相邻两个内角的和，
$\therefore ∠APC=∠ABC+∠BCD=50°+15°=65°$。
方法2：根据圆内相交弦的夹角性质：圆内两条弦相交，形成的角的度数等于该角所对两段弧度数之和的一半。
$\therefore ∠APC=\frac{1}{2}×(\overset{\frown}{AC}\mathrm{的度数}+\overset{\frown}{BD}\mathrm{的度数})=\frac{1}{2}×(100°+30°)=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质
【点评】
本题是圆中角度计算的典型基础题，解题核心是熟练掌握圆周角和弧的对应关系，结合三角形外角性质即可快速求解，也可直接用相交弦夹角公式简化计算。
【难度系数】
0.7
要求∠APC的度数，可结合圆周角定理与三角形外角性质推导：首先圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，∠APC是△PBC的外角，等于与它不相邻的两个内角∠ABC、∠BCD的和，其中∠ABC对应弧$\overset{\frown}{AC}$，∠BCD对应弧$\overset{\frown}{BD}$，代入已知弧的度数即可计算结果；也可直接利用圆内两相交弦的夹角性质：圆内两条弦相交形成的角的度数，等于其所对两段弧度数之和的一半，直接代入求解。
【解析】
方法1：连接BC。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半。
$\because \overset{\frown}{AC}$的度数为100°，∠ABC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$\therefore ∠ABC=\frac{1}{2}×100°=50°$。
$\because \overset{\frown}{BD}$的度数为30°，∠BCD是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，$\therefore ∠BCD=\frac{1}{2}×30°=15°$。
∵∠APC是△PBC的外角，根据三角形外角性质：外角等于不相邻两个内角的和，
$\therefore ∠APC=∠ABC+∠BCD=50°+15°=65°$。
方法2：根据圆内相交弦的夹角性质：圆内两条弦相交，形成的角的度数等于该角所对两段弧度数之和的一半。
$\therefore ∠APC=\frac{1}{2}×(\overset{\frown}{AC}\mathrm{的度数}+\overset{\frown}{BD}\mathrm{的度数})=\frac{1}{2}×(100°+30°)=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质
【点评】
本题是圆中角度计算的典型基础题，解题核心是熟练掌握圆周角和弧的对应关系，结合三角形外角性质即可快速求解，也可直接用相交弦夹角公式简化计算。
【难度系数】
0.7
10.如图，A(6,0),B(4,3)为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的$\odot B$经过原点O，$BC⊥ x$轴于点C，D为$\odot B$上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为
$\frac{5+\sqrt{13}}{2}$
.答案
10.$\frac{5+\sqrt{13}}{2}$
解析
【分析】
要解决线段CE的最大值问题，首先观察到E是AD的中点，可通过转化思想将CE和已知条件关联：先确定点C的坐标，再利用中位线定理将CE转化为另一条线段的一半，结合D在圆B上运动的特点，圆上一点到定点的最大距离为定点到圆心的距离加半径，即可求出CE的最大值。
【解析】
1. 求点C坐标：
已知B(4,3)，BC⊥x轴于点C，因此C点横坐标与B相同，纵坐标为0，即$C(4,0)$。
2. 转化CE的长度：
设点$P(2,0)$，可得C是线段AP的中点（A(6,0)，AP中点坐标为$(\frac{6+2}{2},0)=(4,0)$，即点C）。
因为E为AD的中点，C为AP的中点，所以CE是$△ APD$的中位线，根据中位线定理可得：$CE=\frac{1}{2}PD$。
3. 求PD的最大值：
$\odot B$以B为圆心且过原点O，因此半径$r=OB=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
定点P(2,0)到圆心B(4,3)的距离为：$PB=\sqrt{(4-2)^2+(3-0)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$。
根据圆的性质，圆外一点到圆上动点的最大距离为该点到圆心的距离加半径，因此PD的最大值为$PB + r = \sqrt{13} + 5$。
4. 求CE的最大值：
$CE_{max}=\frac{1}{2}PD_{max}=\frac{1}{2}(5+\sqrt{13})=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$\frac{5+\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，圆的最值性质，两点间距离公式
【点评】
本题核心是通过构造中位线实现线段的转化，将动态的CE长度问题转化为圆上点到定点的距离最值问题，解题时要熟练掌握中位线的性质和圆上点的距离最值规律，体会转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
要解决线段CE的最大值问题，首先观察到E是AD的中点，可通过转化思想将CE和已知条件关联：先确定点C的坐标，再利用中位线定理将CE转化为另一条线段的一半，结合D在圆B上运动的特点，圆上一点到定点的最大距离为定点到圆心的距离加半径，即可求出CE的最大值。
【解析】
1. 求点C坐标：
已知B(4,3)，BC⊥x轴于点C，因此C点横坐标与B相同，纵坐标为0，即$C(4,0)$。
2. 转化CE的长度：
设点$P(2,0)$，可得C是线段AP的中点（A(6,0)，AP中点坐标为$(\frac{6+2}{2},0)=(4,0)$，即点C）。
因为E为AD的中点，C为AP的中点，所以CE是$△ APD$的中位线，根据中位线定理可得：$CE=\frac{1}{2}PD$。
3. 求PD的最大值：
$\odot B$以B为圆心且过原点O，因此半径$r=OB=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
定点P(2,0)到圆心B(4,3)的距离为：$PB=\sqrt{(4-2)^2+(3-0)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$。
根据圆的性质，圆外一点到圆上动点的最大距离为该点到圆心的距离加半径，因此PD的最大值为$PB + r = \sqrt{13} + 5$。
4. 求CE的最大值：
$CE_{max}=\frac{1}{2}PD_{max}=\frac{1}{2}(5+\sqrt{13})=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$\frac{5+\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，圆的最值性质，两点间距离公式
【点评】
本题核心是通过构造中位线实现线段的转化，将动态的CE长度问题转化为圆上点到定点的距离最值问题，解题时要熟练掌握中位线的性质和圆上点的距离最值规律，体会转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
