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4.如图，在$\odot O$中，弦$AB⊥ CD$，垂足为$E$，连接$BC$，$∠ B=45°$.求证:$AB=CD$.
答案
证明:如答图,连接$OA,OB,OC,OD$.
$\because$弦$AB ⊥ CD,\therefore ∠ BEC=90°.$
又$\because ∠ ABC=45°$,
$\therefore ∠ BCE=∠ ABC=45°,\therefore ∠ BOD=∠ AOC$,
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC},\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore AB=CD.$
解析
【分析】
要证明圆中两条弦相等，根据圆的性质，同圆内只要证明两条弦所对的弧相等，或所对的圆心角相等即可。首先从已知条件出发：AB⊥CD可得△BEC是直角三角形，结合∠B=45°可推出∠BCE=45°，即两个圆周角相等；再根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，可得弧AC=弧BD，两段弧同时加上公共弧BC，即可得到弧AB=弧CD，最终推出对应弦AB=CD。
【解析】
证明：如答图，连接$OA,OB,OC,OD$。
$\because$弦$AB ⊥ CD$，$\therefore ∠ BEC=90°$。
又$\because ∠ ABC=45°$，在$\mathrm{Rt}△ BEC$中，$∠ BCE=90°-∠ ABC=45°$，
$\therefore ∠ BCE=∠ ABC$。
根据圆周角定理，相等的圆周角所对的圆心角相等，可得$∠ BOD=∠ AOC$，对应弧$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
在同圆中，等弧对等弦，$\therefore AB=CD$。
【答案】
证明:如答图,连接$OA,OB,OC,OD$.
$\because$弦$AB ⊥ CD,\therefore ∠ BEC=90°.$
又$\because ∠ ABC=45°$,
$\therefore ∠ BCE=∠ ABC=45°,\therefore ∠ BOD=∠ AOC$,
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC},\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore AB=CD.$
【知识点】
圆周角定理，弧弦对等，直角三角形性质
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，解题的核心是熟练掌握圆周角、弧、弦三者之间的转化关系，通过角度相等推导弧相等，最终证明弦相等，是圆性质部分的常规题型。
【难度系数】
0.8
要证明圆中两条弦相等，根据圆的性质，同圆内只要证明两条弦所对的弧相等，或所对的圆心角相等即可。首先从已知条件出发：AB⊥CD可得△BEC是直角三角形，结合∠B=45°可推出∠BCE=45°，即两个圆周角相等；再根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，可得弧AC=弧BD，两段弧同时加上公共弧BC，即可得到弧AB=弧CD，最终推出对应弦AB=CD。
【解析】
证明：如答图，连接$OA,OB,OC,OD$。
$\because$弦$AB ⊥ CD$，$\therefore ∠ BEC=90°$。
又$\because ∠ ABC=45°$，在$\mathrm{Rt}△ BEC$中，$∠ BCE=90°-∠ ABC=45°$，
$\therefore ∠ BCE=∠ ABC$。
根据圆周角定理，相等的圆周角所对的圆心角相等，可得$∠ BOD=∠ AOC$，对应弧$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
在同圆中，等弧对等弦，$\therefore AB=CD$。
【答案】
证明:如答图,连接$OA,OB,OC,OD$.
$\because$弦$AB ⊥ CD,\therefore ∠ BEC=90°.$
又$\because ∠ ABC=45°$,
$\therefore ∠ BCE=∠ ABC=45°,\therefore ∠ BOD=∠ AOC$,
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC},\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore AB=CD.$
【知识点】
圆周角定理，弧弦对等，直角三角形性质
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，解题的核心是熟练掌握圆周角、弧、弦三者之间的转化关系，通过角度相等推导弧相等，最终证明弦相等，是圆性质部分的常规题型。
【难度系数】
0.8
5.如图，AD为$\odot O$的直径，AD=8 cm，$∠ DAC=∠ ABC$，则AC的长为 （
A.$4\sqrt{2}$ cm
B.$2\sqrt{2}$ cm
C.4 cm
D.$3\sqrt{3}$ cm
A
）A.$4\sqrt{2}$ cm
B.$2\sqrt{2}$ cm
C.4 cm
D.$3\sqrt{3}$ cm
答案
5. A
解析
【分析】
解题时首先回忆圆中常见辅助线的作法：遇到直径，常构造直径所对的圆周角，得到直角三角形。首先连接CD，利用直径所对圆周角为直角得到∠ACD=90°；再结合同弧所对的圆周角相等，将已知的∠DAC=∠ABC转化为∠DAC=∠ADC，判断出△ACD为等腰直角三角形，最后结合AD的长度计算AC即可。
【解析】
连接CD，
∵ AD是⊙O的直径，
∴ ∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵ ∠ABC和∠ADC都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠ABC=∠ADC（同弧所对的圆周角相等）。
又
∵ ∠DAC=∠ABC，
∴ ∠DAC=∠ADC，
∴ AC=CD，即△ACD是等腰直角三角形。
已知AD=8 cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AC^2 + CD^2 = AD^2$，
代入$CD=AC$、$AD=8$，得$2AC^2=64$，
解得$AC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$（舍去负根）。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；等腰直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质应用的基础题，解题的核心是掌握直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等这两个常用结论，通过添加辅助线构造直角三角形，结合等腰三角形和勾股定理的知识求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆圆中常见辅助线的作法：遇到直径，常构造直径所对的圆周角，得到直角三角形。首先连接CD，利用直径所对圆周角为直角得到∠ACD=90°；再结合同弧所对的圆周角相等，将已知的∠DAC=∠ABC转化为∠DAC=∠ADC，判断出△ACD为等腰直角三角形，最后结合AD的长度计算AC即可。
【解析】
连接CD，
∵ AD是⊙O的直径，
∴ ∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵ ∠ABC和∠ADC都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠ABC=∠ADC（同弧所对的圆周角相等）。
又
∵ ∠DAC=∠ABC，
∴ ∠DAC=∠ADC，
∴ AC=CD，即△ACD是等腰直角三角形。
已知AD=8 cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AC^2 + CD^2 = AD^2$，
代入$CD=AC$、$AD=8$，得$2AC^2=64$，
解得$AC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$（舍去负根）。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；等腰直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质应用的基础题，解题的核心是掌握直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等这两个常用结论，通过添加辅助线构造直角三角形，结合等腰三角形和勾股定理的知识求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
6.如图，AB是$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，且$AB⊥ OC$，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM.若$\odot O$的半径为2，则CM长度的最大值是
$\sqrt{5}+1$
.答案
6.$\sqrt{5}+1$
解析
【分析】
要求CM的最大值，C是定点，M是随P运动的动点，首先需确定M的运动轨迹：已知M是AP的中点，遇到中点可构造三角形中位线，取AO的中点D，连接DM，利用中位线性质可得DM长度为定值，即可确定M的轨迹是圆；再根据圆外一点到圆上点的最大距离等于该点到圆心的距离加圆的半径，结合勾股定理计算即可得到结果。
【解析】
取AO的中点D，连接DM、CD。
∵ M是AP的中点，D是AO的中点，
∴ DM是△AOP的中位线，
∴ $ DM=\frac{1}{2}OP $。
∵ ⊙O的半径为2，
∴ $ OP=2 $，$ OC=OA=2 $，
∴ $ DM=\frac{1}{2}×2=1 $，即点M在以D为圆心、半径为1的圆上运动。
又
∵ $ AB⊥ OC $，$ OD=\frac{1}{2}OA=1 $，
∴ 在Rt△COD中，由勾股定理得：
$ CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5} $。
根据圆外一点到圆上点的最大距离等于点到圆心的距离加半径，可得CM的最大值为$ CD+DM=\sqrt{5}+1 $。
【答案】
$\sqrt{5}+1$
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题是圆的性质的综合应用，解题的核心是通过中位线性质确定动点的轨迹，再结合点到圆的距离最值规律求解，能很好地考查学生的逻辑推理能力和对几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要求CM的最大值，C是定点，M是随P运动的动点，首先需确定M的运动轨迹：已知M是AP的中点，遇到中点可构造三角形中位线，取AO的中点D，连接DM，利用中位线性质可得DM长度为定值，即可确定M的轨迹是圆；再根据圆外一点到圆上点的最大距离等于该点到圆心的距离加圆的半径，结合勾股定理计算即可得到结果。
【解析】
取AO的中点D，连接DM、CD。
∵ M是AP的中点，D是AO的中点，
∴ DM是△AOP的中位线，
∴ $ DM=\frac{1}{2}OP $。
∵ ⊙O的半径为2，
∴ $ OP=2 $，$ OC=OA=2 $，
∴ $ DM=\frac{1}{2}×2=1 $，即点M在以D为圆心、半径为1的圆上运动。
又
∵ $ AB⊥ OC $，$ OD=\frac{1}{2}OA=1 $，
∴ 在Rt△COD中，由勾股定理得：
$ CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5} $。
根据圆外一点到圆上点的最大距离等于点到圆心的距离加半径，可得CM的最大值为$ CD+DM=\sqrt{5}+1 $。
【答案】
$\sqrt{5}+1$
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题是圆的性质的综合应用，解题的核心是通过中位线性质确定动点的轨迹，再结合点到圆的距离最值规律求解，能很好地考查学生的逻辑推理能力和对几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
7. 如图，在$△ ABC$中，$CA=CB$，以$BC$为直径的半圆$O$与$AB$交于点$D$，与$AC$交于点$E$，连接$DE$。
求证:(1)$D$为$AB$的中点；
(2)$AD=DE$。
求证:(1)$D$为$AB$的中点；
(2)$AD=DE$。
答案
证明:(1)连接$CD$,如答图.
$\because BC$为直径,$\therefore ∠ BDC=90°,\therefore CD ⊥ AB.$
$\because CA=CB,\therefore AD=BD$,即$D$为$AB$的中点.
(2)$\because$四边形$BCED$为$\odot O$的内接四边形,
$\therefore ∠ B+∠ DEC=180°.$
$\because ∠ AED+∠ DEC=180°,\therefore ∠ AED=∠ B.$
$\because CA=CB,\therefore ∠ A=∠ B,\therefore ∠ A=∠ AED,\therefore AD=DE.$
解析
【分析】
(1)要证明D为AB中点，已知△ABC是CA=CB的等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明CD⊥AB即可；已知BC是半圆O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，可通过连接辅助线CD得到∠BDC=90°，进而利用三线合一得证。
(2)要证明AD=DE，根据“等角对等边”，只需证明∠A=∠AED即可；已知CA=CB可得∠A=∠B，因此只需证明∠AED=∠B；四边形BCED是圆O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，结合邻补角的性质，可推出∠AED=∠B，等量代换后即可得证。
【解析】
(1) 连接CD，如答图。
∵BC为⊙O的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴∠BDC=90°，即CD⊥AB。
又
∵CA=CB，△ABC为等腰三角形，CD是AB边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD=BD，即D为AB的中点。
(2)
∵四边形BCED为⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，
∴∠B+∠DEC=180°。
又
∵∠AED和∠DEC为邻补角，
∴∠AED+∠DEC=180°，根据同角的补角相等，可得∠AED=∠B。
∵CA=CB，
∴∠A=∠B，等量代换得∠A=∠AED，根据等角对等边，可得AD=DE。
【答案】
证明:(1)连接$CD$,如答图.
$\because BC$为直径,$\therefore ∠ BDC=90°,\therefore CD ⊥ AB.$
$\because CA=CB,\therefore AD=BD$,即$D$为$AB$的中点.
(2)$\because$四边形$BCED$为$\odot O$的内接四边形,
$\therefore ∠ B+∠ DEC=180°.$
$\because ∠ AED+∠ DEC=180°,\therefore ∠ AED=∠ B.$
$\because CA=CB,\therefore ∠ A=∠ B,\therefore ∠ A=∠ AED,\therefore AD=DE.$
【知识点】
直径所对圆周角的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质应用的基础典型题，解题的关键是合理添加辅助线CD，结合圆和等腰三角形的相关性质推导角的等量关系，能帮助学生掌握圆相关基础辅助线的添加思路。
【难度系数】
0.7
(1)要证明D为AB中点，已知△ABC是CA=CB的等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明CD⊥AB即可；已知BC是半圆O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，可通过连接辅助线CD得到∠BDC=90°，进而利用三线合一得证。
(2)要证明AD=DE，根据“等角对等边”，只需证明∠A=∠AED即可；已知CA=CB可得∠A=∠B，因此只需证明∠AED=∠B；四边形BCED是圆O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，结合邻补角的性质，可推出∠AED=∠B，等量代换后即可得证。
【解析】
(1) 连接CD，如答图。
∵BC为⊙O的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴∠BDC=90°，即CD⊥AB。
又
∵CA=CB，△ABC为等腰三角形，CD是AB边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD=BD，即D为AB的中点。
(2)
∵四边形BCED为⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，
∴∠B+∠DEC=180°。
又
∵∠AED和∠DEC为邻补角，
∴∠AED+∠DEC=180°，根据同角的补角相等，可得∠AED=∠B。
∵CA=CB，
∴∠A=∠B，等量代换得∠A=∠AED，根据等角对等边，可得AD=DE。
【答案】
证明:(1)连接$CD$,如答图.
$\because BC$为直径,$\therefore ∠ BDC=90°,\therefore CD ⊥ AB.$
$\because CA=CB,\therefore AD=BD$,即$D$为$AB$的中点.
(2)$\because$四边形$BCED$为$\odot O$的内接四边形,
$\therefore ∠ B+∠ DEC=180°.$
$\because ∠ AED+∠ DEC=180°,\therefore ∠ AED=∠ B.$
$\because CA=CB,\therefore ∠ A=∠ B,\therefore ∠ A=∠ AED,\therefore AD=DE.$
【知识点】
直径所对圆周角的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质应用的基础典型题，解题的关键是合理添加辅助线CD，结合圆和等腰三角形的相关性质推导角的等量关系，能帮助学生掌握圆相关基础辅助线的添加思路。
【难度系数】
0.7
