4.如图，在$\odot O$中，弦$AB⊥ CD$，垂足为$E$，连接$BC$，$∠ B=45°$.求证:$AB=CD$.

证明:如答图,连接$OA,OB,OC,OD$.
$\because$弦$AB ⊥ CD,\therefore ∠ BEC=90°.$
又$\because ∠ ABC=45°$,
$\therefore ∠ BCE=∠ ABC=45°,\therefore ∠ BOD=∠ AOC$,
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC},\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore AB=CD.$

5.如图，AD为$\odot O$的直径，AD=8 cm，$∠ DAC=∠ ABC$，则AC的长为 （）

A.$4\sqrt{2}$ cm
B.$2\sqrt{2}$ cm
C.4 cm
D.$3\sqrt{3}$ cm

5. A

6.如图，AB是$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，且$AB⊥ OC$，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM.若$\odot O$的半径为2，则CM长度的最大值是.

6.$\sqrt{5}+1$

7. 如图，在$△ ABC$中，$CA=CB$，以$BC$为直径的半圆$O$与$AB$交于点$D$，与$AC$交于点$E$，连接$DE$。
求证:(1)$D$为$AB$的中点；
(2)$AD=DE$。

证明:(1)连接$CD$,如答图.
$\because BC$为直径,$\therefore ∠ BDC=90°,\therefore CD ⊥ AB.$
$\because CA=CB,\therefore AD=BD$,即$D$为$AB$的中点.
(2)$\because$四边形$BCED$为$\odot O$的内接四边形,
$\therefore ∠ B+∠ DEC=180°.$
$\because ∠ AED+∠ DEC=180°,\therefore ∠ AED=∠ B.$
$\because CA=CB,\therefore ∠ A=∠ B,\therefore ∠ A=∠ AED,\therefore AD=DE.$