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1.如图，$\odot O$的半径为2，弦$AB=2\sqrt{3}$，点C在弦AB上，$AC=\frac{1}{4}AB$，求OC的长。
第1题图
第1题图答案
解:如答图,过点O作$OH ⊥ AB$于点H.
$\because OH ⊥ AB,\therefore AH=BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 2\sqrt{3}=\sqrt{3}.$
$\because$在$\mathrm{Rt}△ BOH$中,$OB=2,BH=\sqrt{3}$,
$\therefore OH=\sqrt{OB^2-BH^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1.$
$\because AC=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{4} × 2\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore CH=AH-AC=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
在$\mathrm{Rt}△ OHC$中,$OC=\sqrt{OH^2+CH^2}=\sqrt{1^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{\sqrt{7}}{2}.$
解析
【分析】
在圆中求解与弦长相关的线段长度时，最常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，这样既可以利用垂径定理得到弦的等分线段，又能构造出直角三角形，方便后续用勾股定理计算未知线段。本题要求OC的长，我们可以按以下思路求解：第一步过圆心O作AB的垂线OH，先利用垂径定理和勾股定理求出OH的长度；第二步根据已知的AC与AB的关系求出CH的长度；最后在Rt△OHC中用勾股定理计算OC的长度即可。
【解析】
如答图，过点O作$OH ⊥ AB$于点H。
$\because OH ⊥ AB$，由垂径定理可得：$AH=BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△BOH$中，$OB=2$（$\odot O$的半径），$BH=\sqrt{3}$，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OB^2-BH^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4-3}=1$。
$\because AC=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{4} × 2\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore CH=AH-AC=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△OHC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OH^2+CH^2}=\sqrt{1^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{1+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{7}}{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；线段和差计算
【点评】
本题是圆的性质章节的基础常考题，核心考查圆中弦长计算的常用辅助线作法，只要掌握“过圆心作弦的垂线”这一辅助线技巧，结合垂径定理和勾股定理即可快速求解，属于需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
在圆中求解与弦长相关的线段长度时，最常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，这样既可以利用垂径定理得到弦的等分线段，又能构造出直角三角形，方便后续用勾股定理计算未知线段。本题要求OC的长，我们可以按以下思路求解：第一步过圆心O作AB的垂线OH，先利用垂径定理和勾股定理求出OH的长度；第二步根据已知的AC与AB的关系求出CH的长度；最后在Rt△OHC中用勾股定理计算OC的长度即可。
【解析】
如答图，过点O作$OH ⊥ AB$于点H。
$\because OH ⊥ AB$，由垂径定理可得：$AH=BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△BOH$中，$OB=2$（$\odot O$的半径），$BH=\sqrt{3}$，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OB^2-BH^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4-3}=1$。
$\because AC=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{4} × 2\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore CH=AH-AC=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△OHC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OH^2+CH^2}=\sqrt{1^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{1+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{7}}{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；线段和差计算
【点评】
本题是圆的性质章节的基础常考题，核心考查圆中弦长计算的常用辅助线作法，只要掌握“过圆心作弦的垂线”这一辅助线技巧，结合垂径定理和勾股定理即可快速求解，属于需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
2.如图，$\odot O$的直径$AB$与弦$CD$交于点$E$，$AB=4$，$∠ CDO=30°$.
(1)求$CD$的长；
(2)当$BE=2-\sqrt{2}$时，求$CE$的长.
(1)求$CD$的长；
(2)当$BE=2-\sqrt{2}$时，求$CE$的长.
答案
解:(1)如答图,过点$O$作$OF ⊥ CD$于点$F$.
又$\because$直径$AB=4,\therefore OA=OD=OB=2,OF=\frac{1}{2}OD=1.$
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中,由勾股定理,得
$DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,
$\therefore CD=2DF=2\sqrt{3}.$
(2)$\because BE=2-\sqrt{2},OB=2,\therefore OE=\sqrt{2}.$
又$\because OF ⊥ CD,OF=1$,
$\therefore CF=DF=\sqrt{3},EF=\sqrt{OE^2-OF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2-1^2}=1$,
$\therefore CE=CF-EF=\sqrt{3}-1.$
解析
【分析】
(1) 求解弦长问题通常用垂径定理，因此考虑过圆心O作CD的垂线，将CD转化为2倍的半弦长DF。已知直径AB=4可得半径OD=2，结合∠CDO=30°，在构造的直角三角形ODF中，先利用30°角直角三角形的性质求出OF，再用勾股定理算出DF，即可得到CD的长度。
(2) 求CE的长度时，先根据已知BE和半径OB的长度算出OE的长，再在直角三角形OEF中用勾股定理求出EF的长度，由垂径定理可知CF=DF，用CF减去EF即可得到CE的长度。
【解析】
(1) 如答图，过点$O$作$OF ⊥ CD$于点$F$。
∵直径$AB=4$，
∴$OA=OD=OB=\frac{1}{2}AB=2$。
在$\mathrm{Rt}△ODF$中，$∠OFD=90°$，$∠CDO=30°$，
∴$OF=\frac{1}{2}OD=1$，
由勾股定理得：$DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
根据垂径定理，$CD=2DF=2\sqrt{3}$。
(2)
∵$BE=2-\sqrt{2}$，$OB=2$，
∴$OE=OB-BE=2-(2-\sqrt{2})=\sqrt{2}$，
又
∵$OF⊥CD$，$OF=1$，
由垂径定理得$CF=DF=\sqrt{3}$，
在$\mathrm{Rt}△OEF$中，由勾股定理得：$EF=\sqrt{OE^2-OF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2-1^2}=1$，
∴$CE=CF-EF=\sqrt{3}-1$。
【答案】
解:(1)如答图,过点$O$作$OF ⊥ CD$于点$F$.
又$\because$直径$AB=4,\therefore OA=OD=OB=2,OF=\frac{1}{2}OD=1.$
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中,由勾股定理,得
$DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,
$\therefore CD=2DF=2\sqrt{3}.$
(2)$\because BE=2-\sqrt{2},OB=2,\therefore OE=\sqrt{2}.$
又$\because OF ⊥ CD,OF=1$,
$\therefore CF=DF=\sqrt{3},EF=\sqrt{OE^2-OF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2-1^2}=1$,
$\therefore CE=CF-EF=\sqrt{3}-1.$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质应用的基础题型，核心是掌握“遇弦加垂线”的常用辅助线作法，将弦长计算问题转化为直角三角形的边长求解问题，结合特殊直角三角形的性质和勾股定理即可得出结果，需熟练掌握这类辅助线的添加方法。
【难度系数】
0.7
(1) 求解弦长问题通常用垂径定理，因此考虑过圆心O作CD的垂线，将CD转化为2倍的半弦长DF。已知直径AB=4可得半径OD=2，结合∠CDO=30°，在构造的直角三角形ODF中，先利用30°角直角三角形的性质求出OF，再用勾股定理算出DF，即可得到CD的长度。
(2) 求CE的长度时，先根据已知BE和半径OB的长度算出OE的长，再在直角三角形OEF中用勾股定理求出EF的长度，由垂径定理可知CF=DF，用CF减去EF即可得到CE的长度。
【解析】
(1) 如答图，过点$O$作$OF ⊥ CD$于点$F$。
∵直径$AB=4$，
∴$OA=OD=OB=\frac{1}{2}AB=2$。
在$\mathrm{Rt}△ODF$中，$∠OFD=90°$，$∠CDO=30°$，
∴$OF=\frac{1}{2}OD=1$，
由勾股定理得：$DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
根据垂径定理，$CD=2DF=2\sqrt{3}$。
(2)
∵$BE=2-\sqrt{2}$，$OB=2$，
∴$OE=OB-BE=2-(2-\sqrt{2})=\sqrt{2}$，
又
∵$OF⊥CD$，$OF=1$，
由垂径定理得$CF=DF=\sqrt{3}$，
在$\mathrm{Rt}△OEF$中，由勾股定理得：$EF=\sqrt{OE^2-OF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2-1^2}=1$，
∴$CE=CF-EF=\sqrt{3}-1$。
【答案】
解:(1)如答图,过点$O$作$OF ⊥ CD$于点$F$.
又$\because$直径$AB=4,\therefore OA=OD=OB=2,OF=\frac{1}{2}OD=1.$
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中,由勾股定理,得
$DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,
$\therefore CD=2DF=2\sqrt{3}.$
(2)$\because BE=2-\sqrt{2},OB=2,\therefore OE=\sqrt{2}.$
又$\because OF ⊥ CD,OF=1$,
$\therefore CF=DF=\sqrt{3},EF=\sqrt{OE^2-OF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2-1^2}=1$,
$\therefore CE=CF-EF=\sqrt{3}-1.$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质应用的基础题型，核心是掌握“遇弦加垂线”的常用辅助线作法，将弦长计算问题转化为直角三角形的边长求解问题，结合特殊直角三角形的性质和勾股定理即可得出结果，需熟练掌握这类辅助线的添加方法。
【难度系数】
0.7
3.(江阴校级月考)如图，$\odot O$的直径$AB⊥$弦$CD$，垂足为$E$，$AE=2$，$CD=8$.
(1)求$\odot O$的半径；
(2)连接$BC$，作$OF⊥ BC$于点$F$，求$OF$的长.
(1)求$\odot O$的半径；
(2)连接$BC$，作$OF⊥ BC$于点$F$，求$OF$的长.
答案
解:(1)连接$OD$,如答图,设$\odot O$的半径为$r$.
$\because AB ⊥ CD,\therefore ∠ OED=90°,DE=CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2} × 8=4.$
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中,$\because OE=r-2,OD=r,DE=4$,
$\therefore (r-2)^2+4^2=r^2$,解得$r=5$,即$\odot O$的半径为5.
(2)在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,$\because CE=4,BE=AB-AE=8$,
$\therefore BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}.$
$\because OF ⊥ BC,\therefore BF=CF=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5}.$
在$\mathrm{Rt}△ OBF$中,$OF=\sqrt{OB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$,
即$OF$的长为$\sqrt{5}.$
解析
【分析】
(1) 求解圆的半径时，首先根据已知的直径垂直弦的条件，利用垂径定理得到弦CD的一半长度，再连接半径OD构造直角三角形，设半径为r，用含r的代数式表示出OE的长度，最后借助勾股定理列方程即可求解。
(2) 求解OF的长度时，先在直角三角形BCE中利用勾股定理算出BC的长度，再根据OF垂直BC的条件，由垂径定理得到BF为BC的一半，最后在直角三角形OBF中用勾股定理计算即可得到OF的长度。
【解析】
(1) 连接$OD$，如答图，设$\odot O$的半径为$r$。
$\because AB ⊥ CD$，$\therefore ∠ OED=90°$，$DE=CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2} × 8=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$\because OE=r-2$，$OD=r$，$DE=4$，
$\therefore (r-2)^2+4^2=r^2$，解得$r=5$，即$\odot O$的半径为5。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$\because CE=4$，$BE=AB-AE=10-2=8$，
$\therefore BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$。
$\because OF ⊥ BC$，$\therefore BF=CF=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBF$中，$OF=\sqrt{OB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$，
即$OF$的长为$\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{5}$；
(2) $OF$的长为$\boldsymbol{\sqrt{5}}$。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆性质应用的基础常考题，核心考查垂径定理与勾股定理的结合使用，解题时通过构造直角三角形、结合方程思想求解线段长度是关键，需熟练掌握此类题型的辅助线构造方法。
【难度系数】
0.7
(1) 求解圆的半径时，首先根据已知的直径垂直弦的条件，利用垂径定理得到弦CD的一半长度，再连接半径OD构造直角三角形，设半径为r，用含r的代数式表示出OE的长度，最后借助勾股定理列方程即可求解。
(2) 求解OF的长度时，先在直角三角形BCE中利用勾股定理算出BC的长度，再根据OF垂直BC的条件，由垂径定理得到BF为BC的一半，最后在直角三角形OBF中用勾股定理计算即可得到OF的长度。
【解析】
(1) 连接$OD$，如答图
，设$\odot O$的半径为$r$。$\because AB ⊥ CD$，$\therefore ∠ OED=90°$，$DE=CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2} × 8=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$\because OE=r-2$，$OD=r$，$DE=4$，
$\therefore (r-2)^2+4^2=r^2$，解得$r=5$，即$\odot O$的半径为5。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$\because CE=4$，$BE=AB-AE=10-2=8$，
$\therefore BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$。
$\because OF ⊥ BC$，$\therefore BF=CF=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBF$中，$OF=\sqrt{OB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$，
即$OF$的长为$\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{5}$；
(2) $OF$的长为$\boldsymbol{\sqrt{5}}$。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆性质应用的基础常考题，核心考查垂径定理与勾股定理的结合使用，解题时通过构造直角三角形、结合方程思想求解线段长度是关键，需熟练掌握此类题型的辅助线构造方法。
【难度系数】
0.7
