登录
8. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB$为直径，$D$是$\overset{\frown}{AC}$上一点，且$∠ DAC=∠ DBA$，过点$D$作$DE⊥ AB$，垂足为$E$.
(1)求证:$BD$平分$∠ CBA$；
(2)连接$CD$，若$CD=5$，$BD=12$，求$\odot O$的半径.
(1)求证:$BD$平分$∠ CBA$；
(2)连接$CD$，若$CD=5$，$BD=12$，求$\odot O$的半径.
答案
8.(1)证明:$\because ∠DAC=∠DBC,∠DAC=∠DBA,$
$\therefore ∠DBA=∠CBD,\therefore BD$平分$∠CBA.$
(2)解:$\because ∠CBD=∠DBA,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore AD=CD.$
$\because CD=5,\therefore AD=5.$
$\because AB$为直径,$\therefore ∠ADB=90^{\circ }.$
$\because BD=12,\therefore AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=13,$
$\therefore \odot O$的半径为6.5.
$\therefore ∠DBA=∠CBD,\therefore BD$平分$∠CBA.$
(2)解:$\because ∠CBD=∠DBA,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore AD=CD.$
$\because CD=5,\therefore AD=5.$
$\because AB$为直径,$\therefore ∠ADB=90^{\circ }.$
$\because BD=12,\therefore AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=13,$
$\therefore \odot O$的半径为6.5.
解析
【分析】
（1）要证明BD平分∠CBA，只需证明∠DBA=∠CBD。已知条件给出∠DAC=∠DBA，结合同弧所对的圆周角相等的性质，可得∠DAC=∠DBC，通过等量代换即可得到两个角相等，完成证明。
（2）要求⊙O的半径，需先求出直径AB的长度。由（1）得到的角相等结论可推出对应弧相等，再根据等弧对等弦的性质，得到AD=CD，已知CD长度即可确定AD的长；AB是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可知△ADB是直角三角形，结合已知BD的长度，用勾股定理即可求出AB的长度，除以2即为⊙O的半径。
【解析】
(1) 证明：
∵ 同弧$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角相等，$\therefore ∠DAC=∠DBC$，
又$\because ∠DAC=∠DBA$，
$\therefore ∠DBA=∠CBD$，$\therefore BD$平分$∠CBA$。
(2) 解：$\because ∠CBD=∠DBA$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore AD=CD$，
$\because CD=5$，$\therefore AD=5$。
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ADB=90°$，即$△ ADB$为直角三角形，
$\because BD=12$，
$\therefore AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
$\therefore \odot O$的半径为$13÷2=6.5$。
【答案】
(1) $BD$平分$∠CBA$，证明成立；
(2) $\odot O$的半径为$\boxed{6.5}$。
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 等弧对等弦
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题型，解题核心是熟练掌握圆周角的相关性质，快速建立角、弧、弦之间的等量关系，结合直角三角形的性质求解，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明BD平分∠CBA，只需证明∠DBA=∠CBD。已知条件给出∠DAC=∠DBA，结合同弧所对的圆周角相等的性质，可得∠DAC=∠DBC，通过等量代换即可得到两个角相等，完成证明。
（2）要求⊙O的半径，需先求出直径AB的长度。由（1）得到的角相等结论可推出对应弧相等，再根据等弧对等弦的性质，得到AD=CD，已知CD长度即可确定AD的长；AB是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可知△ADB是直角三角形，结合已知BD的长度，用勾股定理即可求出AB的长度，除以2即为⊙O的半径。
【解析】
(1) 证明：
∵ 同弧$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角相等，$\therefore ∠DAC=∠DBC$，
又$\because ∠DAC=∠DBA$，
$\therefore ∠DBA=∠CBD$，$\therefore BD$平分$∠CBA$。
(2) 解：$\because ∠CBD=∠DBA$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore AD=CD$，
$\because CD=5$，$\therefore AD=5$。
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ADB=90°$，即$△ ADB$为直角三角形，
$\because BD=12$，
$\therefore AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
$\therefore \odot O$的半径为$13÷2=6.5$。
【答案】
(1) $BD$平分$∠CBA$，证明成立；
(2) $\odot O$的半径为$\boxed{6.5}$。
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 等弧对等弦
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题型，解题核心是熟练掌握圆周角的相关性质，快速建立角、弧、弦之间的等量关系，结合直角三角形的性质求解，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
9.如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,连接AC,E为BC的延长线上一点,且CD平分∠ACE.
(1)如图①,若∠DCE=60°,求证:△ABD为等边三角形;
(2)如图②,若AB=10,BD=13,求$\odot O$的半径.
(1)如图①,若∠DCE=60°,求证:△ABD为等边三角形;
(2)如图②,若AB=10,BD=13,求$\odot O$的半径.
答案
9.(1)证明:$\because CD$平分$∠ACE,\therefore ∠DCE=∠ACD.$
$\because ∠BAD+∠BCD=180^{\circ },∠BCD+∠DCE=180^{\circ },$
$\therefore ∠BAD=∠DCE=∠ACD.$
$\because ∠DCE=60^{\circ },\therefore ∠ABD=∠ACD=∠DCE=∠BAD=60^{\circ },$
$\therefore ∠ADB=180^{\circ }-60^{\circ }×2=60^{\circ }=∠ABD=∠BAD,$
$\therefore AB=AD=BD,\therefore △ABD$是等边三角形.
(2)解:如答图,过点$D$作$DG⊥AB$于点$G$,连接$OB,OA.$
由(1)知,$∠BAD=∠DCE=∠ACD=∠ABD,\therefore DB=DA.$
$\because AB=10,BD=13,\therefore BG=AG=5,$
$\therefore DG=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12,DG$垂直平分$AB.$
$\because OB=OA,\therefore$圆心$O$在$AB$的垂直平分线$DG$上,
$\therefore OG⊥AB$. 设$\odot O$的半径为$r$,在$\mathrm{Rt}△OBG$中,由勾股定理,得$r^{2}=(12-r)^{2}+5^{2},$
解得$r=\frac{169}{24},\therefore \odot O$的半径为$\frac{169}{24}.$
解析
【分析】
(1)要证明△ABD为等边三角形，需推导△ABD的三个内角均为60°。首先利用角平分线性质得∠DCE=∠ACD，再结合圆内接四边形对角互补、邻补角互补推导得到∠BAD=∠DCE，再根据同弧所对的圆周角相等得∠ABD=∠ACD，结合已知∠DCE=60°即可证明△ABD三个内角均为60°。
(2)求⊙O的半径时，先由(1)的角度关系推导得DB=DA，可知△ABD为等腰三角形，作DG⊥AB可得AB的垂直平分线，根据圆的性质可知圆心在AB的垂直平分线上，连接OA、OB设半径为r，结合勾股定理列方程即可求解。
【解析】
(1)证明：$\because CD$平分$∠ACE,\therefore ∠DCE=∠ACD.$
$\because ∠BAD+∠BCD=180^{\circ },∠BCD+∠DCE=180^{\circ },$
$\therefore ∠BAD=∠DCE=∠ACD.$
$\because ∠DCE=60^{\circ },\therefore ∠ABD=∠ACD=∠DCE=∠BAD=60^{\circ },$
$\therefore ∠ADB=180^{\circ }-60^{\circ }×2=60^{\circ }=∠ABD=∠BAD,$
$\therefore AB=AD=BD,\therefore △ABD$是等边三角形.
(2)解:如答图,过点$D$作$DG⊥AB$于点$G$,连接$OB,OA.$
由(1)知,$∠BAD=∠DCE=∠ACD=∠ABD,\therefore DB=DA.$
$\because AB=10,BD=13,\therefore BG=AG=5,$
$\therefore DG=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12,DG$垂直平分$AB.$
$\because OB=OA,\therefore$圆心$O$在$AB$的垂直平分线$DG$上,
$\therefore OG⊥AB$. 设$\odot O$的半径为$r$,在$\mathrm{Rt}△OBG$中,由勾股定理,得$r^{2}=(12-r)^{2}+5^{2},$
解得$r=\frac{169}{24}$.
【答案】
(1)证明成立，△ABD为等边三角形；
(2)$\odot O$的半径为$\frac{169}{24}$。
【知识点】
圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，第一问侧重角度关系推导，综合考查了角平分线、圆内接四边形、圆周角的相关性质；第二问结合等腰三角形性质、垂径定理推论确定圆心位置，再通过勾股定理列方程求解，能够有效考查学生对圆相关性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
(1)要证明△ABD为等边三角形，需推导△ABD的三个内角均为60°。首先利用角平分线性质得∠DCE=∠ACD，再结合圆内接四边形对角互补、邻补角互补推导得到∠BAD=∠DCE，再根据同弧所对的圆周角相等得∠ABD=∠ACD，结合已知∠DCE=60°即可证明△ABD三个内角均为60°。
(2)求⊙O的半径时，先由(1)的角度关系推导得DB=DA，可知△ABD为等腰三角形，作DG⊥AB可得AB的垂直平分线，根据圆的性质可知圆心在AB的垂直平分线上，连接OA、OB设半径为r，结合勾股定理列方程即可求解。
【解析】
(1)证明：$\because CD$平分$∠ACE,\therefore ∠DCE=∠ACD.$
$\because ∠BAD+∠BCD=180^{\circ },∠BCD+∠DCE=180^{\circ },$
$\therefore ∠BAD=∠DCE=∠ACD.$
$\because ∠DCE=60^{\circ },\therefore ∠ABD=∠ACD=∠DCE=∠BAD=60^{\circ },$
$\therefore ∠ADB=180^{\circ }-60^{\circ }×2=60^{\circ }=∠ABD=∠BAD,$
$\therefore AB=AD=BD,\therefore △ABD$是等边三角形.
(2)解:如答图,过点$D$作$DG⊥AB$于点$G$,连接$OB,OA.$
由(1)知,$∠BAD=∠DCE=∠ACD=∠ABD,\therefore DB=DA.$
$\because AB=10,BD=13,\therefore BG=AG=5,$
$\therefore DG=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12,DG$垂直平分$AB.$
$\because OB=OA,\therefore$圆心$O$在$AB$的垂直平分线$DG$上,
$\therefore OG⊥AB$. 设$\odot O$的半径为$r$,在$\mathrm{Rt}△OBG$中,由勾股定理,得$r^{2}=(12-r)^{2}+5^{2},$
解得$r=\frac{169}{24}$.
【答案】
(1)证明成立，△ABD为等边三角形；
(2)$\odot O$的半径为$\frac{169}{24}$。
【知识点】
圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，第一问侧重角度关系推导，综合考查了角平分线、圆内接四边形、圆周角的相关性质；第二问结合等腰三角形性质、垂径定理推论确定圆心位置，再通过勾股定理列方程求解，能够有效考查学生对圆相关性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
10. 如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，且$AC⊥ BD$，垂足为E，AF是$\odot O$的直径。
(1)$∠ BAF$和$∠ CAD$相等吗？为什么？
(2)过圆心O作$OH⊥ AB$，垂足为H，若$OH=5$，求CD的长。
(1)$∠ BAF$和$∠ CAD$相等吗？为什么？
(2)过圆心O作$OH⊥ AB$，垂足为H，若$OH=5$，求CD的长。
答案
10.解:(1)$∠BAF$和$∠CAD$相等. 理由:如答图,连接$BF$.
$\because AF$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠F+∠BAF=90^{\circ }.$
$\because AC⊥BD,\therefore ∠CAD+∠BDA=90^{\circ }.$
$\because ∠F=∠BDA,\therefore ∠BAF=∠CAD.$
(2)$\because OH⊥AB,\therefore AH=BH.$
$\because OA=OF,\therefore BF=2OH=10.$
$\because ∠BAF=∠CAD,\therefore CD=BF=10.$
解析
【分析】
(1)要判断∠BAF与∠CAD是否相等，可通过“同角的余角相等”推导：首先AF是直径，连接BF后可得直径所对圆周角为直角，即∠BAF与∠F互余；再结合AC⊥BD的条件，可得∠CAD与∠BDA互余；最后根据同弧所对圆周角相等，可知∠F=∠BDA，即可推出两个角相等。
(2)求CD的长度时，先看已知条件OH⊥AB，由垂径定理可知H是AB中点，O是AF中点，因此OH是△ABF的中位线，可求出BF的长度；再结合(1)中证得的∠BAF=∠CAD，相等的圆周角所对的弦相等，即可得到CD与BF相等，从而求出CD的长。
【解析】
(1)∠BAF和∠CAD相等，理由如下：
如答图，连接BF。
∵AF是$\odot O$的直径，
∴$∠ ABF=90°$，即$∠ F+∠ BAF=90°$。
∵$AC⊥ BD$，垂足为E，
∴$∠ AED=90°$，即$∠ CAD+∠ BDA=90°$。
∵$∠ F$和$∠ BDA$都对应弧AB，根据同弧所对圆周角相等，得$∠ F=∠ BDA$，
∴$∠ BAF=∠ CAD$。
(2)
∵$OH⊥ AB$，且OH过圆心O，根据垂径定理得$AH=BH$，即H为AB中点。
又
∵O是直径AF的中点，
∴OH是$△ ABF$的中位线，
∴$BF=2OH=2×5=10$。
由(1)可知$∠ BAF=∠ CAD$，相等的圆周角所对的弦相等，
∴$CD=BF=10$。
【答案】
(1)$∠ BAF$和$∠ CAD$相等. 理由:如答图,连接$BF$.
$\because AF$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠F+∠BAF=90^{\circ }.$
$\because AC⊥BD,\therefore ∠CAD+∠BDA=90^{\circ }.$
$\because ∠F=∠BDA,\therefore ∠BAF=∠CAD.$
(2)$\because OH⊥AB,\therefore AH=BH.$
$\because OA=OF,\therefore BF=2OH=10.$
$\because ∠BAF=∠CAD,\therefore CD=BF=10.$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的基础性质综合应用的典型题，解题核心是合理构造辅助线，熟练运用圆的相关性质和三角形中位线性质完成边角关系的转化，能有效考查学生对圆基础知识点的掌握和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要判断∠BAF与∠CAD是否相等，可通过“同角的余角相等”推导：首先AF是直径，连接BF后可得直径所对圆周角为直角，即∠BAF与∠F互余；再结合AC⊥BD的条件，可得∠CAD与∠BDA互余；最后根据同弧所对圆周角相等，可知∠F=∠BDA，即可推出两个角相等。
(2)求CD的长度时，先看已知条件OH⊥AB，由垂径定理可知H是AB中点，O是AF中点，因此OH是△ABF的中位线，可求出BF的长度；再结合(1)中证得的∠BAF=∠CAD，相等的圆周角所对的弦相等，即可得到CD与BF相等，从而求出CD的长。
【解析】
(1)∠BAF和∠CAD相等，理由如下：
如答图，连接BF。
∵AF是$\odot O$的直径，
∴$∠ ABF=90°$，即$∠ F+∠ BAF=90°$。
∵$AC⊥ BD$，垂足为E，
∴$∠ AED=90°$，即$∠ CAD+∠ BDA=90°$。
∵$∠ F$和$∠ BDA$都对应弧AB，根据同弧所对圆周角相等，得$∠ F=∠ BDA$，
∴$∠ BAF=∠ CAD$。
(2)
∵$OH⊥ AB$，且OH过圆心O，根据垂径定理得$AH=BH$，即H为AB中点。
又
∵O是直径AF的中点，
∴OH是$△ ABF$的中位线，
∴$BF=2OH=2×5=10$。
由(1)可知$∠ BAF=∠ CAD$，相等的圆周角所对的弦相等，
∴$CD=BF=10$。
【答案】
(1)$∠ BAF$和$∠ CAD$相等. 理由:如答图,连接$BF$.
$\because AF$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠F+∠BAF=90^{\circ }.$
$\because AC⊥BD,\therefore ∠CAD+∠BDA=90^{\circ }.$
$\because ∠F=∠BDA,\therefore ∠BAF=∠CAD.$
(2)$\because OH⊥AB,\therefore AH=BH.$
$\because OA=OF,\therefore BF=2OH=10.$
$\because ∠BAF=∠CAD,\therefore CD=BF=10.$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的基础性质综合应用的典型题，解题核心是合理构造辅助线，熟练运用圆的相关性质和三角形中位线性质完成边角关系的转化，能有效考查学生对圆基础知识点的掌握和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
