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14. 在一棵树的10m高的B处有两只猴子.一只猴子爬下树走到离树20m的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃到A处.距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？
答案
设这棵树高为x m，因两只猴子所经过的距离相等，都为30 m，所以由勾股定理，得$x^2 + 20^2 = [30-(x-10)]^2$,解得$x=15$，即这棵树高15 m
解析
【分析】
首先计算第一只猴子的总路程：从10m高的B处下到树底C，再走到离树20m的A处，路程为10+20=30m。由两只猴子路程相等，可知第二只猴子从B爬到树顶D、再直线跃到A的总路程也为30m，即BD+DA=30m。设树高CD为x m，则BD的长度为(x-10)m，DA的长度可表示为[30-(x-10)]m。观察图形可知△DCA是直角三角形，∠C为直角，因此可根据勾股定理列方程求解树高。
【解析】
解：设这棵树高CD为x m。
第一只猴子经过的路程：$BC+AC=10+20=30\ \mathrm{m}$
因两只猴子经过的距离相等，故第二只猴子的路程$BD+DA=30\ \mathrm{m}$
其中$BD=CD-BC=(x-10)\ \mathrm{m}$，因此$DA=30-(x-10)=(40-x)\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ DCA$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$CD^2+AC^2=DA^2$
代入对应长度得：
$x^2 + 20^2 = (40-x)^2$
展开右侧：$x^2 + 400 = 1600 - 80x + x^2$
消去$x^2$后移项计算：$80x=1200$
解得：$x=15$，结果符合实际意义。
【答案】
15米
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想解决实际问题的典型习题，解题核心是先根据路程相等的条件建立线段长度的等量关系，再结合直角三角形的勾股定理列方程求解，求解后需验证结果是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
首先计算第一只猴子的总路程：从10m高的B处下到树底C，再走到离树20m的A处，路程为10+20=30m。由两只猴子路程相等，可知第二只猴子从B爬到树顶D、再直线跃到A的总路程也为30m，即BD+DA=30m。设树高CD为x m，则BD的长度为(x-10)m，DA的长度可表示为[30-(x-10)]m。观察图形可知△DCA是直角三角形，∠C为直角，因此可根据勾股定理列方程求解树高。
【解析】
解：设这棵树高CD为x m。
第一只猴子经过的路程：$BC+AC=10+20=30\ \mathrm{m}$
因两只猴子经过的距离相等，故第二只猴子的路程$BD+DA=30\ \mathrm{m}$
其中$BD=CD-BC=(x-10)\ \mathrm{m}$，因此$DA=30-(x-10)=(40-x)\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ DCA$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$CD^2+AC^2=DA^2$
代入对应长度得：
$x^2 + 20^2 = (40-x)^2$
展开右侧：$x^2 + 400 = 1600 - 80x + x^2$
消去$x^2$后移项计算：$80x=1200$
解得：$x=15$，结果符合实际意义。
【答案】
15米
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想解决实际问题的典型习题，解题核心是先根据路程相等的条件建立线段长度的等量关系，再结合直角三角形的勾股定理列方程求解，求解后需验证结果是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
15. 如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A、B，城镇A到轨道的垂直距离AM为5 km，城镇B到轨道的垂直距离BN为10 km，MN的长度为12 km.
（1）求城镇A、B之间的距离.
（2）现要在线段MN上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A、B的距离相等，此时中转站P应修建在离点M多远处？
（1）求城镇A、B之间的距离.
（2）现要在线段MN上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A、B的距离相等，此时中转站P应修建在离点M多远处？
答案
15. （1）如图，过点A作$AE ⊥ BN$于点E，则$∠AEN=90°. ∵ AM ⊥ MN, BN ⊥ MN,∴ ∠AMN=90°, ∠MNE=90°. ∴$ 四边形AMNE为长方形. $∴ AE=MN=12\ \mathrm{km}, NE=AM=5\ \mathrm{km}. ∴ BE=BN-NE=10-5=5(\mathrm{km}). ∴$ 在$\mathrm{Rt}△ AEB$中，$AB=\sqrt{AE^2 + BE^2}=13\ \mathrm{km}$，即城镇A、B之间的距离为13 km
（2）如图，连结PA、PB，设$PM=x\ \mathrm{km}$，则$PN=(12-x)\mathrm{km}. ∵ PA=PB$，$∴ AM^2 + PM^2 = PA^2 = PB^2 = PN^2 + BN^2$,即$5^2 + x^2 = (12-x)^2 + 10^2$. 解得$x=\frac{73}{8}. ∴$ 中转站P应修建在离点M $\frac{73}{8}\ \mathrm{km}$处
解析
【分析】
（1）要计算A、B两城镇的距离，已知AM、BN均垂直于轨道MN，可通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将已知的MN、AM、BN的长度转化到直角三角形中，再用勾股定理求解。具体思路：过A作AE垂直BN于E，先证明四边形AMNE是矩形，得到AE、NE的长度，再求出BE的长度，最后在Rt△AEB中用勾股定理算出AB。
（2）要使中转站P到A、B的距离相等，即PA=PB，可设PM的长度为x km，用含x的式子表示PN的长度，再分别在两个直角三角形中用勾股定理表示PA²和PB²，根据PA=PB列方程求解x，即可得到P到M的距离。
【解析】
（1）过点A作$AE ⊥ BN$于点E，则$∠AEN=90°$。
∵ $AM ⊥ MN, BN ⊥ MN$，
∴ $∠AMN=90°, ∠MNE=90°$，
∴ 四边形AMNE为长方形，
∴ $AE=MN=12\ \mathrm{km}, NE=AM=5\ \mathrm{km}$，
∴ $BE=BN-NE=10-5=5(\mathrm{km})$。
在$\mathrm{Rt}△ AEB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2 + BE^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13\ \mathrm{km}$。
（2）连结PA、PB，设$PM=x\ \mathrm{km}$，则$PN=(12-x)\mathrm{km}$。
∵ $PA=PB$，根据勾股定理可得$PA^2=AM^2 + PM^2$，$PB^2=PN^2 + BN^2$，
∴ $5^2 + x^2 = (12-x)^2 + 10^2$，
展开整理得：$25+x^2=144-24x+x^2+100$，
解得$x=\frac{73}{8}$。
【答案】
（1）城镇A、B之间的距离为13 km
（2）中转站P应修建在离点M $\frac{73}{8}\ \mathrm{km}$处
【知识点】
勾股定理的应用；矩形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的应用题，既考查了构造直角三角形转化线段长度的几何能力，也考查了利用勾股定理建立等量关系列方程求解的思路，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）要计算A、B两城镇的距离，已知AM、BN均垂直于轨道MN，可通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将已知的MN、AM、BN的长度转化到直角三角形中，再用勾股定理求解。具体思路：过A作AE垂直BN于E，先证明四边形AMNE是矩形，得到AE、NE的长度，再求出BE的长度，最后在Rt△AEB中用勾股定理算出AB。
（2）要使中转站P到A、B的距离相等，即PA=PB，可设PM的长度为x km，用含x的式子表示PN的长度，再分别在两个直角三角形中用勾股定理表示PA²和PB²，根据PA=PB列方程求解x，即可得到P到M的距离。
【解析】
（1）过点A作$AE ⊥ BN$于点E，则$∠AEN=90°$。
∵ $AM ⊥ MN, BN ⊥ MN$，
∴ $∠AMN=90°, ∠MNE=90°$，
∴ 四边形AMNE为长方形，
∴ $AE=MN=12\ \mathrm{km}, NE=AM=5\ \mathrm{km}$，
∴ $BE=BN-NE=10-5=5(\mathrm{km})$。
在$\mathrm{Rt}△ AEB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2 + BE^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13\ \mathrm{km}$。
（2）连结PA、PB，设$PM=x\ \mathrm{km}$，则$PN=(12-x)\mathrm{km}$。
∵ $PA=PB$，根据勾股定理可得$PA^2=AM^2 + PM^2$，$PB^2=PN^2 + BN^2$，
∴ $5^2 + x^2 = (12-x)^2 + 10^2$，
展开整理得：$25+x^2=144-24x+x^2+100$，
解得$x=\frac{73}{8}$。
【答案】
（1）城镇A、B之间的距离为13 km
（2）中转站P应修建在离点M $\frac{73}{8}\ \mathrm{km}$处
【知识点】
勾股定理的应用；矩形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的应用题，既考查了构造直角三角形转化线段长度的几何能力，也考查了利用勾股定理建立等量关系列方程求解的思路，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
