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9.（济南期末）如图，将长为8 cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3 cm至点D，则橡皮筋被拉长了 【 】
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.6 cm
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.6 cm
答案
A
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：橡皮筋原长AB=8cm，C为AB中点，所以AC=BC=4cm；将C向上拉升3cm到D后，DC垂直于AB，△ACD、△BCD均为直角三角形。我们可以先利用勾股定理求出拉升后AD、BD的长度，再计算拉升后橡皮筋总长度与原长的差，即可得到拉长的长度。
【解析】
解：
∵AB=8cm，C是AB的中点，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=4cm，
∵DC⊥AB，
∴△ACD是直角三角形，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\mathrm{cm}$，
同理可得BD=5cm，
∴拉升后橡皮筋的总长度为AD+BD=5+5=10cm，
∴橡皮筋被拉长的长度为10-8=2cm。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用，线段中点的定义
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题型，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，只要熟练掌握勾股定理即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：橡皮筋原长AB=8cm，C为AB中点，所以AC=BC=4cm；将C向上拉升3cm到D后，DC垂直于AB，△ACD、△BCD均为直角三角形。我们可以先利用勾股定理求出拉升后AD、BD的长度，再计算拉升后橡皮筋总长度与原长的差，即可得到拉长的长度。
【解析】
解：
∵AB=8cm，C是AB的中点，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=4cm，
∵DC⊥AB，
∴△ACD是直角三角形，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\mathrm{cm}$，
同理可得BD=5cm，
∴拉升后橡皮筋的总长度为AD+BD=5+5=10cm，
∴橡皮筋被拉长的长度为10-8=2cm。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用，线段中点的定义
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题型，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，只要熟练掌握勾股定理即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
10. 如图，在高为5m、坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要【 】
A.17 m
B.18 m
C.25 m
D.26 m
A.17 m
B.18 m
C.25 m
D.26 m
答案
A
解析
【分析】
要计算楼梯表面铺地毯的最小长度，我们可以利用平移的思想：将楼梯所有台阶的水平边向下平移，所有水平边的总长度刚好等于直角三角形的水平直角边长度；将所有台阶的竖直边向右平移，所有竖直边的总长度刚好等于楼梯的竖直高度5m。因此我们只需要先通过勾股定理算出水平直角边的长度，再将其与竖直高度相加，就能得到地毯的总长度。
【解析】
首先由勾股定理计算楼梯的水平长度：
已知直角三角形的斜边长为13m，竖直直角边长为5m，设水平直角边长为$x$ m，根据勾股定理：
$x^2 + 5^2 = 13^2$
解得$x=\sqrt{13^2 -5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$（m）
结合平移的性质，地毯的长度等于水平长度与竖直高度之和：
$12 + 5 = 17$（m）
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用，平移的性质
【点评】
本题将生活中的铺地毯问题转化为直角三角形边长计算问题，解题核心是通过平移思想将不规则的台阶长度转化为直角三角形两条直角边的和，再结合勾股定理计算即可，需要注意对平移思想的理解运用。
【难度系数】
0.7
要计算楼梯表面铺地毯的最小长度，我们可以利用平移的思想：将楼梯所有台阶的水平边向下平移，所有水平边的总长度刚好等于直角三角形的水平直角边长度；将所有台阶的竖直边向右平移，所有竖直边的总长度刚好等于楼梯的竖直高度5m。因此我们只需要先通过勾股定理算出水平直角边的长度，再将其与竖直高度相加，就能得到地毯的总长度。
【解析】
首先由勾股定理计算楼梯的水平长度：
已知直角三角形的斜边长为13m，竖直直角边长为5m，设水平直角边长为$x$ m，根据勾股定理：
$x^2 + 5^2 = 13^2$
解得$x=\sqrt{13^2 -5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$（m）
结合平移的性质，地毯的长度等于水平长度与竖直高度之和：
$12 + 5 = 17$（m）
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用，平移的性质
【点评】
本题将生活中的铺地毯问题转化为直角三角形边长计算问题，解题核心是通过平移思想将不规则的台阶长度转化为直角三角形两条直角边的和，再结合勾股定理计算即可，需要注意对平移思想的理解运用。
【难度系数】
0.7
11. 如图，小明将一张长为20 cm、宽为15 cm的长方形纸(AE ＞ DE)剪去了一角，量得AB=3 cm，CD=4 cm，则剪去的直角三角形的斜边长为 【 】
A.5 cm
B.12 cm
C.16 cm
D.20 cm
A.5 cm
B.12 cm
C.16 cm
D.20 cm
答案
D
解析
【分析】
解题时可先通过补全图形找到剪去的直角三角形：延长AB、DC交于点F，得到的Rt△BFC就是被剪去的直角三角形。首先明确原长方形的长和宽，AE为长20cm，DE为宽15cm，再分别计算该直角三角形的两条直角边BF、CF的长度，最后用勾股定理求出斜边长度即可。
【解析】
解：延长AB交DC的延长线于点F，则△BFC是剪去的直角三角形，且∠F=90°。
∵原长方形长为20cm，宽为15cm，
∴BF = 15 - AB = 15 - 3 = 12cm，
CF = 20 - CD = 20 - 4 = 16cm，
在Rt△BFC中，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{BF^2+CF^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\mathrm{cm}$
即剪去的直角三角形的斜边长为20cm。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理实际应用的典型题型，解题核心是通过补全残缺图形确定被剪去的直角三角形的边长，将未知问题转化为熟悉的直角三角形边长计算问题。
【难度系数】
0.7
解题时可先通过补全图形找到剪去的直角三角形：延长AB、DC交于点F，得到的Rt△BFC就是被剪去的直角三角形。首先明确原长方形的长和宽，AE为长20cm，DE为宽15cm，再分别计算该直角三角形的两条直角边BF、CF的长度，最后用勾股定理求出斜边长度即可。
【解析】
解：延长AB交DC的延长线于点F，则△BFC是剪去的直角三角形，且∠F=90°。
∵原长方形长为20cm，宽为15cm，
∴BF = 15 - AB = 15 - 3 = 12cm，
CF = 20 - CD = 20 - 4 = 16cm，
在Rt△BFC中，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{BF^2+CF^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\mathrm{cm}$
即剪去的直角三角形的斜边长为20cm。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理实际应用的典型题型，解题核心是通过补全残缺图形确定被剪去的直角三角形的边长，将未知问题转化为熟悉的直角三角形边长计算问题。
【难度系数】
0.7
12.（吉林中考）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②所示，其中$AB=AB'$，$AB ⊥ B'C$于点$C$，$BC=0.5$尺，$B'C=2$尺.设$AC$的长度为$x$尺，则可列方程：
$x^2 + 2^2 = (x + 0.5)^2$
.答案
12. $x^2 + 2^2 = (x + 0.5)^2$
解析
【分析】
解题时先梳理题意中的等量关系：红莲被吹倒前后总长度不变，即$AB=AB'$。设水深$AC$为$x$尺，那么红莲的原长$AB$等于水深加上露出水面的高度，即$AB=x+0.5$，因此$AB'$也等于$x+0.5$。观察图形可得$△ ACB'$是直角三角形，$∠ C$为直角，结合勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，将对应边长代入公式即可列出方程。
【解析】
设$AC$的长度为$x$尺，
$\because BC=0.5$尺，$\therefore$红莲总长度$AB=AC+BC=(x+0.5)$尺，
由题意可知$AB=AB'$，$\therefore AB'=(x+0.5)$尺，
又$\because AC⊥ B'C$，即$△ ACB'$是直角三角形，$∠ C=90°$，且$B'C=2$尺，
根据勾股定理可得：$AC^2 + B'C^2 = AB'^2$，
代入对应边长得：$x^2 + 2^2 = (x + 0.5)^2$。
【答案】
$x^2 + 2^2 = (x + 0.5)^2$
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题以古算诗为出题背景，考查将实际问题转化为几何模型的能力，解题关键是抓住红莲长度不变的隐含条件，结合勾股定理建立等量关系，出题形式新颖，能很好地考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理题意中的等量关系：红莲被吹倒前后总长度不变，即$AB=AB'$。设水深$AC$为$x$尺，那么红莲的原长$AB$等于水深加上露出水面的高度，即$AB=x+0.5$，因此$AB'$也等于$x+0.5$。观察图形可得$△ ACB'$是直角三角形，$∠ C$为直角，结合勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，将对应边长代入公式即可列出方程。
【解析】
设$AC$的长度为$x$尺，
$\because BC=0.5$尺，$\therefore$红莲总长度$AB=AC+BC=(x+0.5)$尺，
由题意可知$AB=AB'$，$\therefore AB'=(x+0.5)$尺，
又$\because AC⊥ B'C$，即$△ ACB'$是直角三角形，$∠ C=90°$，且$B'C=2$尺，
根据勾股定理可得：$AC^2 + B'C^2 = AB'^2$，
代入对应边长得：$x^2 + 2^2 = (x + 0.5)^2$。
【答案】
$x^2 + 2^2 = (x + 0.5)^2$
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题以古算诗为出题背景，考查将实际问题转化为几何模型的能力，解题关键是抓住红莲长度不变的隐含条件，结合勾股定理建立等量关系，出题形式新颖，能很好地考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BD⊥AC于点D，CD=2，求BC的长.
答案
$∵ AC=10, CD=2,∴ AD=AC-CD=8$. 在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，由勾股定理，得$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=6$. 在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$BC=\sqrt{BD^2 + CD^2}=2\sqrt{10}$
解析
【分析】
解题时先结合已知的AC和CD的长度，先求出AD的长；接着由BD⊥AC可知△ADB和△BDC都是直角三角形，先在Rt△ADB中，已知斜边AB和直角边AD，利用勾股定理求出BD的长度；最后再在Rt△BDC中，已知两条直角边BD和CD的长度，再次运用勾股定理即可求出BC的长。
【解析】
解：
∵ AC=10，CD=2，
∴ $AD=AC-CD=10-2=8$，
∵ $BD⊥ AC$，
∴ $∠ ADB=∠ CDB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，由勾股定理，得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$，
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，由勾股定理，得：
$BC=\sqrt{BD^2 + CD^2}=\sqrt{6^2 + 2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，需要结合图形特征两次运用勾股定理求解，解题时要明确每个直角三角形的直角边和斜边，代入公式计算即可，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知的AC和CD的长度，先求出AD的长；接着由BD⊥AC可知△ADB和△BDC都是直角三角形，先在Rt△ADB中，已知斜边AB和直角边AD，利用勾股定理求出BD的长度；最后再在Rt△BDC中，已知两条直角边BD和CD的长度，再次运用勾股定理即可求出BC的长。
【解析】
解：
∵ AC=10，CD=2，
∴ $AD=AC-CD=10-2=8$，
∵ $BD⊥ AC$，
∴ $∠ ADB=∠ CDB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，由勾股定理，得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$，
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，由勾股定理，得：
$BC=\sqrt{BD^2 + CD^2}=\sqrt{6^2 + 2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，需要结合图形特征两次运用勾股定理求解，解题时要明确每个直角三角形的直角边和斜边，代入公式计算即可，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.8
