7. 某地地势南北高、中间低，有高原、山地、平原、盆地等多种地形. 某工程队现须穿过某座大山修一条隧道AB，如图，为了测量隧道AB的长度，在山的另一侧水平地面上取了一点C，在隧道BA的延长线上取了一点D，经测量得知，$∠ CAD - ∠ C = 90°$，$AC = 500\ \mathrm{m}$，$BC = 140\ \mathrm{m}$，请你求出隧道AB的长.

$\because ∠CAD - ∠C=90°,∴ ∠ABC=90°. ∵ AC=500\ \mathrm{m}, BC=140\ \mathrm{m},∴ AB=\sqrt{AC^2 - BC^2}=480\ \mathrm{m}$

【分析】
首先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。本题中∠CAD是△ABC的外角，因此可得∠CAD=∠ABC+∠C，结合已知条件∠CAD - ∠C =90°，将外角关系代入即可推出∠ABC=90°，确定△ABC是直角三角形，且直角为∠B。之后已知直角三角形的斜边AC和一条直角边BC，即可用勾股定理求出另一条直角边AB的长度。
【解析】
∵ ∠CAD是△ABC的外角，
∴ ∠CAD = ∠ABC + ∠C，
又
∵ ∠CAD - ∠C = 90°，
∴ ∠ABC + ∠C - ∠C = 90°，即∠ABC=90°，
∴ △ABC是直角三角形，直角在B点，
在Rt△ABC中，AC=500m，BC=140m，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2 - BC^2}=\sqrt{500^2 - 140^2}=\sqrt{250000 - 19600}=\sqrt{230400}=480(\mathrm{m})$
【答案】
$\boxed{480\ \mathrm{m}}$
【知识点】
三角形外角性质，勾股定理
【点评】
本题以实际修隧道测量长度为背景，考查勾股定理的实际应用，解题的核心是利用三角形外角的性质推导得到直角三角形，再结合勾股定理计算未知边长，是勾股定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7

8. 如图，小肖同学从滑雪台A处开始向下滑至B处.已知滑雪台的高度AC为14 m，滑雪台整体的水平距离BC比滑雪台的长度AB短2 m，则滑雪台的长度AB为多少米？

设AB的长为x m，则BC的长为$(x-2)\mathrm{m}. ∵ AC=14\ \mathrm{m}$，$△ ABC$是直角三角形，$∠ACB=90°,∴ AC^2 + BC^2 = AB^2$,即$14^2 + (x-2)^2 = x^2$. 解得$x=50$

【分析】
首先观察图形可确定△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。题目已知直角边AC的长度，同时给出了另一条直角边BC比斜边AB短2m的数量关系，要求斜边AB的长度。我们可以用方程思想来解题：先设AB的长度为未知数，用含未知数的式子表示BC的长度，再根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）列出方程，最后解方程即可得到AB的长度。
【解析】
设滑雪台的长度AB为$ x \, \mathrm{m} $，则BC的长度为$ (x-2) \, \mathrm{m} $。
由题意得$ △ ABC $为直角三角形，$ ∠ ACB=90° $，$ AC=14 \, \mathrm{m} $，根据勾股定理：
$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $
代入数据得：
$ 14^2 + (x-2)^2 = x^2 $
展开计算：
$ 196 + x^2 - 4x + 4 = x^2 $
移项化简得：
$ 4x = 200 $
解得：
$ x = 50 $
【答案】
50米
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用基础题，解题的关键是结合图形明确直角三角形各边的数量关系，利用方程思想将几何计算转化为代数方程求解，很好地考查了基础公式的应用和数学思想的灵活运用。
【难度系数】
0.7