1. 下列不能构成直角三角形三边长的是 【 】

A.1，2，3
B.6，8，10
C.3，4，5
D.5，12，13

A

【分析】
这道题考查直角三角形的判定，解题核心是运用勾股定理的逆定理，同时要先符合三角形的三边关系。解题思路如下：第一步，明确判定规则：若三角形三边长中，两个较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形；且首先三个边长要满足任意两边之和大于第三边，才能构成三角形。第二步，逐个验证四个选项的数值，找到不满足条件的选项即可。
【解析】
我们根据勾股定理的逆定理和三角形三边关系逐一判断：
选项A：三边长为1、2、3，首先验证三角形三边关系：1+2=3，不满足“两边之和大于第三边”，本身无法构成三角形，自然不能构成直角三角形；也可验证平方关系：$1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$，$3^2 = 9$，$5 ≠ 9$，不满足勾股定理逆定理。
选项B：三边长为6、8、10，最长边为10，$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，满足勾股定理逆定理，可构成直角三角形。
选项C：三边长为3、4、5，最长边为5，$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，满足勾股定理逆定理，可构成直角三角形。
选项D：三边长为5、12、13，最长边为13，$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，满足勾股定理逆定理，可构成直角三角形。
综上，只有A选项不能构成直角三角形三边长。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题时可先验证三边是否能构成三角形，再验证平方关系，熟记常见勾股数能快速提升解题效率。
【难度系数】
0.9

2. 在$△ ABC$中，$BC=a$，$AB=c$，$AC=b$，则不能作为判定$△ ABC$是直角三角形的条件的是 【 】

A.$∠ A=∠ B-∠ C$
B.$(a+b)(a-b)=c^2$
C.$a:b:c=1:2:3$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:7$

C

【分析】
本题考查直角三角形的判定，可从角度和边长两个方向入手分析：角度方向利用三角形内角和为180°，判断是否存在90°的角；边长方向利用勾股定理的逆定理，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方。我们只需逐个分析选项，找出无法判定△ABC是直角三角形的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
选项A：已知∠A=∠B-∠C，移项可得∠A+∠C=∠B。根据三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，将∠A+∠C替换为∠B，可得2∠B=180°，解得∠B=90°，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
选项B：对$(a+b)(a-b)=c^2$展开化简，得$a^2 - b^2 = c^2$，移项得$a^2 = b^2 + c^2$，符合勾股定理的逆定理，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
选项C：设$a=k$，$b=2k$，$c=3k$（$k＞0$），首先验证三边关系：$a+b=k+2k=3k=c$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，更不能判定为直角三角形，符合题意。
选项D：设∠A=3x，∠B=4x，∠C=7x，根据三角形内角和为180°，得$3x+4x+7x=180°$，解得$x=\frac{90}{7}°$，则∠C=7x=90°，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的判定；勾股定理的逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查直角三角形的判定方法，解题时要注意先判断三边能否构成三角形，再验证边长或角度是否符合直角三角形的特征，避免忽略三边关系直接计算导致失误。
【难度系数】
0.8

3. 下列各组数中，是勾股数的是 【 】

A.3，4，7
B.$3^2$，$4^2$，$5^2$
C.0.5，1.2，1.3
D.7，24，25

D

【分析】
解题时首先要明确勾股数的两个判定条件：第一，三个数都必须是正整数；第二，两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时可先通过第一个条件排除不符合的选项，再通过计算平方和验证剩余选项是否满足第二个条件，最终选出正确答案。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数$a、b、c$称为勾股数，我们据此逐一分析选项：
选项A：$3^2+4^2=9+16=25$，$7^2=49$，$25≠49$，不满足平方和关系，不是勾股数；
选项B：三个数分别为$9、16、25$，$9^2+16^2=81+256=337$，$25^2=625$，$337≠625$，不满足平方和关系，不是勾股数；
选项C：$0.5、1.2、1.3$均为小数，不是正整数，不符合勾股数的定义，不是勾股数；
选项D：$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，满足平方和关系，且三个数都是正整数，属于勾股数。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义；勾股逆定理
【点评】
本题核心考查勾股数的判定，易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的前提，或者计算平方和时出现运算错误，牢记判定的两个条件即可准确作答。
【难度系数】
0.8

4. 五根木棒的长度(单位:cm)分别为5、9、12、15、17,从中选出三根,将它们首尾相接摆成三角形,其中能摆成直角三角形的是 【 】

A.5, 9, 12
B.5, 12, 15
C.9, 12, 15
D.12, 15, 17

C

【分析】
要判断三根木棒能否摆成直角三角形，需用到勾股定理的逆定理：若三角形三边长中，两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时可对每个选项逐一验证：先找出选项中的最长边，再分别计算两条短边的平方和、最长边的平方，对比二者是否相等，相等即可构成直角三角形。
【解析】
我们对四个选项依次验证：
A. 最长边为12，计算得：$5^2+9^2=25+81=106$，$12^2=144$，$106≠144$，不能构成直角三角形；
B. 最长边为15，计算得：$5^2+12^2=25+144=169$，$15^2=225$，$169≠225$，不能构成直角三角形；
C. 最长边为15，计算得：$9^2+12^2=81+144=225$，$15^2=225$，二者相等，可以构成直角三角形；
D. 最长边为17，计算得：$12^2+15^2=144+225=369$，$17^2=289$，$369≠289$，不能构成直角三角形。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础类应用题，重点考查勾股定理逆定理的应用，解题的关键是先确定每组数据中的最长边，再准确计算各边的平方后进行对比，计算时要注意避免运算错误。
【难度系数】
0.8

5. 在$△ ABC$中,若$AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}$,则$∠\_\_\_\_\_\_=90°.$

A(或BAC)

【分析】
解题时首先回忆勾股定理的逆定理：如果三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的内角为直角。第一步先对已知等式变形，整理出两边平方和等于第三边平方的形式，确定最长边；第二步找到最长边所对的内角，该角就是直角。
【解析】
已知$AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}$，对等式移项可得：
$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形，且最长边为$BC$。
在三角形中，边对应的角为其对顶点的角，$BC$边对应的顶点是$A$，因此$BC$所对的内角$∠ A$（即$∠ BAC$）为直角。
【答案】
A(或BAC)
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形边与角的对应关系
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题的关键是先通过等式变形确定三角形的最长边，再结合边与角的对应关系找到直角，熟练掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9

6. 如果一个三角形的三边长分别为$a$、$b$、$c$，且满足$|a - 3| + \sqrt{b - 4} + (c - 5)^2 = 0$，那么这个三角形的面积为。

6. 6

【分析】
解题时首先观察到等式是绝对值、算术平方根、平方三个非负项相加等于0，根据非负数的性质，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，由此可先求出a、b、c三边的长度。拿到三边长度后要计算面积，先判断三角形形状：验证三边是否满足勾股定理的逆定理，判断为直角三角形后，再用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵ $|a - 3|≥0$，$\sqrt{b - 4}≥0$，$(c - 5)^2≥0$，且$|a - 3| + \sqrt{b - 4} + (c - 5)^2 = 0$
∴ 每个非负项的值均为0，可得：
$a-3=0$，解得$a=3$
$b-4=0$，解得$b=4$
$c-5=0$，解得$c=5$
又
∵ $3^2+4^2=9+16=25=5^2$，即$a^2+b^2=c^2$
∴ 该三角形是直角三角形，直角边长为3和4
∴ 三角形的面积$=\frac{1}{2}×3×4=6$
【答案】
6
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础常考题，综合考查了非负数的性质和直角三角形的判定，解题关键是先通过非负性求出三角形三边长，再判断三角形形状后计算面积，计算难度低，是对基础知识点应用的典型考查。
【难度系数】
0.8

7. 在$△ ABC$中,内角$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$所对的边分别为$a$、$b$、$c$,若$\frac{a}{a - b + c} = \frac{a + b + c}{2c}$,求证:$△ ABC$是直角三角形.

7. $\because \frac{a}{a - b + c} = \frac{a + b + c}{2c}, \therefore 2ac = (a + b + c)(a - b + c) = (a^2 + 2ac + c^2) - b^2 = a^2 + 2ac + c^2 - b^2. \therefore a^2 + c^2 = b^2. \therefore △ABC$是直角三角形

【分析】
要证明△ABC是直角三角形，可通过验证三边满足勾股定理的逆定理实现。首先观察已知等式是分式比例形式，可先利用比例的基本性质交叉相乘去分母，得到整式等式；再观察等式右侧两个多项式的结构，将a+c看作整体，可转化为平方差公式的形式展开，简化计算；最后整理化简得到三边的平方关系，结合勾股定理的逆定理即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because \frac{a}{a - b + c} = \frac{a + b + c}{2c}$，由比例的基本性质交叉相乘得：
$2ac = (a + b + c)(a - b + c)$
将右侧变形为平方差公式形式：
$(a + b + c)(a - b + c) = [(a + c) + b][(a + c) - b] = (a + c)^2 - b^2$
展开得：
$(a + c)^2 - b^2 = a^2 + 2ac + c^2 - b^2$
$\therefore 2ac = a^2 + 2ac + c^2 - b^2$
两边同时减去$2ac$，整理得：
$a^2 + c^2 = b^2$
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形，得证
【知识点】
比例的基本性质；平方差公式；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题型，解题核心是对多项式乘积进行合理变形，利用平方差公式简化运算，同时需要熟练掌握勾股定理逆定理的应用规则，通过推导三边的平方关系判断三角形的形状。
【难度系数】
0.8

8. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BCA=90°$，$AC=12$，$AB=13$，点$D$是$\mathrm{Rt}△ ABC$外一点，连结$DC$、$DB$，且$CD=4$，$BD=3$。
（1）求$BC$的长；
（2）求证：$△ BCD$是直角三角形。

8. (1) $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠BCA=90°, AC=12, AB=13, \therefore BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=5$ (2) 在$△BCD$中,$\because CD=4, BD=3, BC=5, \therefore CD^2 + BD^2 = 4^2 + 3^2 = 5^2 = BC^2. \therefore △BCD$是直角三角形

【分析】
（1）已知△ABC是直角三角形，且∠BCA为直角，给出了斜边AB和直角边AC的长度，根据勾股定理的内容，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，对公式变形后就能求出BC的长度。
（2）要证明△BCD是直角三角形，已知该三角形三条边的长度，可使用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等即可判定该三角形为直角三角形。
【解析】
（1）解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BCA=90°$，由勾股定理得：
$BC^2+AC^2=AB^2$
将$AC=12$，$AB=13$代入得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$
（2）证明：在$△BCD$中，已知$CD=4$，$BD=3$，由（1）可知$BC=5$。
计算可得：$CD^2+BD^2=4^2+3^2=16+9=25$，$BC^2=5^2=25$
因此$CD^2+BD^2=BC^2$，根据勾股定理的逆定理，可得$△BCD$是直角三角形。
【答案】
（1）$\boldsymbol{5}$；（2）$\boldsymbol{△BCD}$是直角三角形，证明成立。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题，分别考查勾股定理用于直角三角形边长计算、勾股定理的逆定理用于直角三角形判定，掌握两个定理的适用条件即可顺利解题。
【难度系数】
0.9