15. 某国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A、B、C的距离相等.
（1）若三所运动员公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置；（不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）若$∠ BAC = 66°$，求$∠ BPC$的大小.

(1) 如图,点P即为这处公共服务设施所在的点
(2) 如图,连结点PA、PB、PC、AC.
∵ PA=PB,
∴ ∠PAB=∠PBA.同理可得,∠PAC=∠PCA.
∵ ∠PAB+∠PAC=∠BAC=66°,
∴ ∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=132°.
∵ ∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°,
∴ ∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°.
∴ ∠BPC=∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=132°

【分析】
（1）要找到到A、B、C三点距离相等的点，依据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此只需作出任意两条线段的垂直平分线，两条线的交点就是所求的点P。
（2）求∠BPC度数时，先由点P的性质可得PA=PB=PC，可得到三组等腰三角形，结合等腰三角形等边对等角的性质，再利用已知的∠BAC的度数和三角形内角和定理推导，即可求出∠BPC的大小。
【解析】
（1）分别作线段AB和BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为公共服务设施的位置P，保留作图痕迹即可。
（2）连接PA、PB、PC：
∵ 点P是AB、BC、AC垂直平分线的交点
∴ PA=PB，PA=PC，即PA=PB=PC
∴ 由等腰三角形等边对等角得：∠PAB=∠PBA，∠PAC=∠PCA
已知∠BAC=∠PAB+∠PAC=66°
∴ ∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=2×(∠PAB+∠PAC)=2×66°=132°
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
即66°+∠PBA+∠PBC+∠PCA+∠PCB=180°
整理得：∠PBC+∠PCB=180°-66°-(∠PBA+∠PCA)=180°-66°-66°=48°
在△PBC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-48°=132°
【答案】
(1) 如图,点P即为这处公共服务设施所在的点
(2) ∠BPC=132°

【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合实际场景考查几何知识的应用，既需要掌握线段垂直平分线的作图方法和性质，也需要熟练运用等腰三角形的边角关系、三角形内角和定理推导角度，是基础几何知识的综合应用题。
【难度系数】
0.7

1. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90°$，$AD$平分$∠ BAC$，$DE ⊥ AB$于点$E$，若$CD=6$，则$DE$的长为 【 】

A.9
B.8
C.7
D.6

D

【分析】
解题时先梳理已知条件：Rt△ACB中∠C=90°即DC⊥AC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB。回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，此处点D在∠BAC的角平分线上，CD是D到AC边的距离，DE是D到AB边的距离，因此二者相等，代入CD的长度即可得到DE的长度。
【解析】
解：
∵ ∠C=90°，
∴ DC⊥AC，
∵ AD平分∠BAC，且DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得：
DE = CD，
又
∵ CD=6，
∴ DE=6，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线性质的直接应用，解题的关键是准确找到角平分线上的点到角两边对应的垂线段，熟练掌握性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2. 如图，若OP平分$∠ AOB$，$PC⊥ OA$，$PD⊥ OB$，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是
【 】

A.$PC=PD$
B.$OC=PC$
C.$∠ CPO=∠ DPO$
D.$OC=OD$

B

【分析】
解题时先运用角平分线的性质初步判断选项，再通过证明两个直角三角形全等，结合全等三角形的性质验证剩余选项：①首先根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可直接判断A选项正误；②再利用HL定理证明Rt△OPC和Rt△OPD全等，根据全等三角形对应边、对应角相等即可判断C、D选项的正误；③最后分析B选项，OC和PC相等仅当∠AOB=45°时成立，题目无该条件，即可确定错误选项。
【解析】
解：
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴根据角平分线的性质可得：$PC=PD$，故A选项结论正确，不符合题意；
在$\mathrm{Rt}△ OPC$和$\mathrm{Rt}△ OPD$中：
$\begin{cases} OP=OP \\ PC=PD \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ OPC≌\mathrm{Rt}△ OPD$（HL）
∴$∠ CPO=∠ DPO$，$OC=OD$，故C、D选项结论正确，不符合题意；
题干未给出$∠ AOB=45°$的相关条件，无法推出$OC=PC$，故B选项结论错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质和全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相关定理，注意不要默认特殊角度的存在，要严格根据题干给出的条件推导结论。
【难度系数】
0.8