3. 到三角形各边距离相等的点是三角形的 【 】

A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条内角平分线的交点
D.三条高的交点

C

【分析】
本题要求找出到三角形各边距离相等的点，解题时可先回忆三角形中各类特殊线段交点的性质，逐一分析选项排除错误答案，结合角平分线的性质即可锁定正确选项。首先明确每个选项对应的交点的核心性质：垂直平分线交点关联到顶点的距离，中线交点关联线段比例，角平分线交点关联到边的距离，高的交点关联垂直关系，通过性质匹配即可解题。
【解析】
我们逐个分析选项的性质：
A. 三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，其性质为到三角形三个顶点的距离相等，不满足到各边距离相等的要求，排除；
B. 三条中线的交点是三角形的重心，其性质为重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，与到各边的距离无关，排除；
C. 根据角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等，因此三角形三条内角平分线的交点，同时在三个内角的角平分线上，到三角形三条边的距离都相等，符合题意；
D. 三条高的交点是三角形的垂心，没有到各边距离相等的性质，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊交点的性质
【点评】
本题是基础类考题，主要考查对三角形不同特殊线段交点性质的区分记忆，熟练掌握各特殊点的核心性质即可快速解答，是几何基础概念部分的高频考点。
【难度系数】
0.85

4. 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是射线OB上的动点，若PC＝3，则PD的长的最小值为。
（第4题）

4. 3

【分析】
要找到PD的最小值，首先根据几何性质可知：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，因此PD最短的情况是PD垂直于OB的时候。再结合已知条件，OP是∠AOB的角平分线，且PC⊥OA、长度为3，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点P到OB的距离等于PC的长度3，即PD取最小值时的长度为3。
【解析】
解：根据垂线段最短的性质，当PD⊥OB时，PD的长度取得最小值。
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PD=PC。
又
∵PC=3，
∴PD的最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是先通过垂线段最短确定PD取最小值的位置，再结合角平分线的性质直接计算结果，熟练掌握基础几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5. 如图，AD是$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$于点E，$△ ADC$的面积为9，$DE=2$，则AC的长是。

5. 9

【分析】
遇到角平分线相关的计算，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中已知DE是点D到AB的距离，我们可以过点D作AC边上的高，得到这条高的长度等于DE=2，再结合△ADC的面积公式，代入已知的面积和高，即可求出AC的长度。
【解析】
过点D作DF⊥AC，垂足为F。
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得：DF=DE=2。
∵△ADC的面积为9，由三角形面积公式$S_{△ ADC}=\frac{1}{2} × AC × DF$，
代入数值得：$9=\frac{1}{2} × AC × 2$，
解得：AC=9。
【答案】
9
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的核心是通过作辅助线得到AC边上的高的长度，结合面积公式即可快速求解，熟练掌握角平分线的性质是解决此类问题的前提。
【难度系数】
0.7

6.（赤峰期中）如图，射线OC是∠AOB的平分线，D为射线OC上一点，DP⊥OA于点P，PD=8.若点Q是射线OB上一点，OQ=10，则△ODQ的面积为.

6. 40

【分析】
要计算△ODQ的面积，已知底OQ=10，只需求出OQ边上的高即可。已知OC是∠AOB的平分线，D在OC上，且DP⊥OA，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可过D作OB的垂线，得到的垂线段长度就等于DP=8，这个垂线段就是△ODQ中OQ边上的高，再代入三角形面积公式就能求出结果。
【解析】
过点D作DE⊥OB于点E。
∵ OC是∠AOB的平分线，D在OC上，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴ DE = DP = 8（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
已知OQ=10，△ODQ的面积为：
$S_{△ ODQ}=\frac{1}{2} × OQ × DE = \frac{1}{2} × 10 × 8 = 40$
【答案】
40
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练运用角平分线的性质，找到所求三角形对应底边上的高，再结合面积公式计算即可，解题时注意辅助线的正确构造。
【难度系数】
0.8

7. 如图，OC是∠AOB内的一条射线，D是OC上一点，过点D作DE⊥OA于点E，DF⊥OB于点F，OE=OF。求证：OC是∠AOB的平分线。

$\because DE ⊥ OA$于点E，$DF ⊥ OB$于点F，$\therefore ∠ DEO = ∠ DFO = 90°$. 在$\mathrm{Rt}△ EOD$ 与 $\mathrm{Rt}△ FOD$ 中，$\because \begin{cases} OE = OF, \\ OD = OD, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ EOD ≌ \mathrm{Rt}△ FOD. \therefore ∠ EOD = ∠ FOD$，即OC是$∠ AOB$的平分线

【分析】
我们的目标是证明OC是∠AOB的平分线，根据角平分线的定义，只要证明OC把∠AOB分成的两个角∠EOD和∠FOD相等即可。观察图形可知这两个角分别在Rt△EOD和Rt△FOD中，首先由DE⊥OA、DF⊥OB可确定两个三角形均为直角三角形，题目给出OE=OF，且两个三角形有公共斜边OD，因此可通过HL定理证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质得到∠EOD=∠FOD，即可完成证明。
【解析】
$\because DE ⊥ OA$于点E，$DF ⊥ OB$于点F，
$\therefore ∠ DEO = ∠ DFO = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ EOD$ 与 $\mathrm{Rt}△ FOD$ 中，
$\because \begin{cases} OE = OF, \\ OD = OD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ EOD ≌ \mathrm{Rt}△ FOD$，
$\therefore ∠ EOD = ∠ FOD$，即OC是$∠ AOB$的平分线。
【答案】
OC是∠AOB的平分线
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是找到待证等角所在的三角形，利用HL证明直角三角形全等，再通过全等的性质得到角相等，符合角平分线的定义即可得证，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8

8. 如图，BD是∠ABC的平分线，AB=CB，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为点M、N. 求证:PM=PN.

提示:证明$△ ABD ≌ △ CBD$，得$∠ ADB = ∠ CDB. \because PM ⊥ AD$，$PN ⊥ CD$，$\therefore PM = PN$

【分析】
要证明PM=PN，观察两条线段的特征：PM是点P到AD的垂线段，PN是点P到CD的垂线段，根据角平分线的性质，只需证明点P在∠ADC的角平分线上，即证∠ADB=∠CDB。要证两角相等，结合已知条件：BD是∠ABC的平分线可得∠ABD=∠CBD，又有AB=CB、公共边BD，可通过SAS证明△ABD≌△CBD，利用全等三角形对应角相等即可得到∠ADB=∠CDB，进而推导得出结论。
【解析】
证明：
∵ BD是∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD=∠CBD。
在△ABD和△CBD中：
$\{\begin{array}{l} AB=CB(已知)\\ ∠ABD=∠CBD(已证)\\ BD=BD(公共边)\end{array} $
∴ △ABD≌△CBD（SAS），
∴ ∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC。
∵ 点P在BD上，且PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ 根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PM=PN。
【答案】
PM=PN，得证。
【知识点】
1. 全等三角形的判定（SAS）
2. 全等三角形的性质
3. 角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是将待证的线段相等问题转化为角平分线的判定问题，再通过全等三角形证明角相等，解题时要注意结合图形特征选择合适的性质和定理，理清条件和结论的逻辑关系。
【难度系数】
0.7