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12. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 30°$，$∠ C = 50°$，请观察尺规作图的痕迹(D、E、F分别是连线与$△ ABC$的边的交点)，则$∠ DAE$的度数为
35°
。答案
12. 35°
解析
【分析】
要解决这道题，首先先识别尺规作图的痕迹：
1. 左边的作图痕迹是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此D在AB的垂直平分线上，可得AD=BD，进而推出∠BAD=∠B=30°。
2. 再根据三角形内角和计算∠BAC的度数：△ABC中，内角和为180°，已知∠B=30°，∠C=50°，所以∠BAC=180°-30°-50°=100°。
3. A点的作图痕迹是∠BAC的角平分线，根据角平分线的定义，角平分线将角分为两个相等的部分，因此∠BAE=∠CAE=1/2∠BAC=50°。
4. 最后求∠DAE，用∠BAE减去∠BAD即可得到结果。
【解析】
1. 计算∠BAC的度数：
在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-50°=100°。
2. 由AB的垂直平分线的性质可知：
DF是AB的垂直平分线，D在垂直平分线上，因此AD=BD，所以∠BAD=∠B=30°。
3. 由角平分线的作图痕迹可知：
AE是∠BAC的角平分线，因此∠BAE=1/2∠BAC=1/2×100°=50°。
4. 计算∠DAE：
∠DAE=∠BAE-∠BAD=50°-30°=20°，与参考答案不一致，因此返回1。
1
要解决这道题，首先先识别尺规作图的痕迹：
1. 左边的作图痕迹是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此D在AB的垂直平分线上，可得AD=BD，进而推出∠BAD=∠B=30°。
2. 再根据三角形内角和计算∠BAC的度数：△ABC中，内角和为180°，已知∠B=30°，∠C=50°，所以∠BAC=180°-30°-50°=100°。
3. A点的作图痕迹是∠BAC的角平分线，根据角平分线的定义，角平分线将角分为两个相等的部分，因此∠BAE=∠CAE=1/2∠BAC=50°。
4. 最后求∠DAE，用∠BAE减去∠BAD即可得到结果。
【解析】
1. 计算∠BAC的度数：
在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-50°=100°。
2. 由AB的垂直平分线的性质可知：
DF是AB的垂直平分线，D在垂直平分线上，因此AD=BD，所以∠BAD=∠B=30°。
3. 由角平分线的作图痕迹可知：
AE是∠BAC的角平分线，因此∠BAE=1/2∠BAC=1/2×100°=50°。
4. 计算∠DAE：
∠DAE=∠BAE-∠BAD=50°-30°=20°，与参考答案不一致，因此返回1。
1
13. 如图，在$△ ABC$中，AB 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 E，交 AB 于点 F，D 为线段 CE 的中点，$BE=AC$.
(1) 求证：$AD ⊥ BC$；
(2) 若 $∠ B=25°$，求 $∠ C$ 的度数.
(1) 求证：$AD ⊥ BC$；
(2) 若 $∠ B=25°$，求 $∠ C$ 的度数.
答案
(1) 如图,连结AE.
∵ EF是AB的垂直平分线,
∴ AE=BE.
∵ BE=AC,
∴ AE=AC.
∵ D为线段CE的中点,
∴ AD ⊥ BC
(2)
∵ AE=BE,∠B=25°,
∴ ∠EAB=∠B=25°.
∴ ∠AEC=∠EAB+∠B=50°.
∵ AE=AC,
∴ ∠C=∠AEC=50°
解析
【分析】
(1) 要证明AD⊥BC，已知D是CE的中点，若能证△AEC为等腰三角形，即可用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论。首先连接AE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，结合已知BE=AC，可推出AE=AC，即△AEC是等腰三角形，结合D是CE中点即可得证。
(2) 求∠C的度数，由AE=BE可根据等边对等角得∠EAB=∠B，再利用三角形外角的性质求出∠AEC的度数，最后根据AE=AC，利用等边对等角即可得∠C=∠AEC，算出结果。
【解析】
(1) 证明：连接AE，
∵ EF是AB的垂直平分线，
∴ AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
又
∵ BE=AC，
∴ AE=AC，△AEC为等腰三角形。
∵ D为线段CE的中点，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC。
(2) 解：
∵ AE=BE，∠B=25°，
∴ ∠EAB=∠B=25°（等边对等角）。
∵ ∠AEC是△ABE的外角，
∴ ∠AEC=∠EAB+∠B=25°+25°=50°。
又
∵ AE=AC，
∴ ∠C=∠AEC=50°（等边对等角）。
【答案】
(1) 如图,连结AE.
∵ EF是AB的垂直平分线,
∴ AE=BE.
∵ BE=AC,
∴ AE=AC.
∵ D为线段CE的中点,
∴ AD ⊥ BC
(2)
∵ AE=BE,∠B=25°,
∴ ∠EAB=∠B=25°.
∴ ∠AEC=∠EAB+∠B=50°.
∵ AE=AC,
∴ ∠C=∠AEC=50°
【知识点】
线段垂直平分线性质；等腰三角形性质；三角形外角性质
【点评】
本题属于几何基础常考题，解题核心是正确添加辅助线构造等腰三角形，结合线段垂直平分线、等腰三角形的相关定理推导边角关系，侧重考查学生对基础几何性质的理解与应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AD⊥BC，已知D是CE的中点，若能证△AEC为等腰三角形，即可用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论。首先连接AE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，结合已知BE=AC，可推出AE=AC，即△AEC是等腰三角形，结合D是CE中点即可得证。
(2) 求∠C的度数，由AE=BE可根据等边对等角得∠EAB=∠B，再利用三角形外角的性质求出∠AEC的度数，最后根据AE=AC，利用等边对等角即可得∠C=∠AEC，算出结果。
【解析】
(1) 证明：连接AE，
∵ EF是AB的垂直平分线，
∴ AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
又
∵ BE=AC，
∴ AE=AC，△AEC为等腰三角形。
∵ D为线段CE的中点，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC。
(2) 解：
∵ AE=BE，∠B=25°，
∴ ∠EAB=∠B=25°（等边对等角）。
∵ ∠AEC是△ABE的外角，
∴ ∠AEC=∠EAB+∠B=25°+25°=50°。
又
∵ AE=AC，
∴ ∠C=∠AEC=50°（等边对等角）。
【答案】
(1) 如图,连结AE.
∵ EF是AB的垂直平分线,
∴ AE=BE.
∵ BE=AC,
∴ AE=AC.
∵ D为线段CE的中点,
∴ AD ⊥ BC
(2)
∵ AE=BE,∠B=25°,
∴ ∠EAB=∠B=25°.
∴ ∠AEC=∠EAB+∠B=50°.
∵ AE=AC,
∴ ∠C=∠AEC=50°
【知识点】
线段垂直平分线性质；等腰三角形性质；三角形外角性质
【点评】
本题属于几何基础常考题，解题核心是正确添加辅助线构造等腰三角形，结合线段垂直平分线、等腰三角形的相关定理推导边角关系，侧重考查学生对基础几何性质的理解与应用能力。
【难度系数】
0.7
14. 如图，在$△ ABC$中，边$AB$、$AC$的垂直平分线分别交$BC$于点$D$、$E$，直线$DM$、$EN$相交于点$O$.
（1）若$∠ DAE＝60°$，求$∠ BAC$的度数；
（2）试判断点$O$是否在$BC$的垂直平分线上，并说明理由.
（1）若$∠ DAE＝60°$，求$∠ BAC$的度数；
（2）试判断点$O$是否在$BC$的垂直平分线上，并说明理由.
答案
(1)
∵ ∠DAE=60°,
∴ ∠ADE+∠AED=180°-∠DAE=120°.
∵ MD是AB的垂直平分线,EN是AC的垂直平分线,
∴ DA=DB,EA=EC.
∴ ∠B=∠DAB,∠C=∠EAC.又
∵ ∠DAB+∠B=∠ADE,∠EAC+∠C=∠AED,
∴ 2∠DAB+2∠EAC=∠ADE+∠AED=120°.
∴ ∠DAB+∠EAC=60°.
∴ ∠BAC=∠DAB+∠DAE+∠EAC=120°
(2) 点O在BC的垂直平分线上.理由如下:如图,连结AO、BO、CO.
∵ MD是线段AB的垂直平分线,EN是线段AC的垂直平分线,
∴ AO=BO,CO=AO.
∴ BO=CO.
∴ 点O在BC的垂直平分线上
解析
【分析】
（1）求解∠BAC的度数，首先利用三角形内角和求出△ADE中另外两个内角的和；再根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB、EA=EC，结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质，推出∠DAB与∠EAC的和，最后加上已知的∠DAE的度数即可得到∠BAC的度数。
（2）判断点O是否在BC的垂直平分线上，依据“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，只需证明OB=OC即可；连接AO、BO、CO，利用线段垂直平分线的性质可得AO=BO、CO=AO，等量代换得到OB=OC，即可得出结论。
【解析】
(1)
∵ ∠DAE=60°，
∴ ∠ADE+∠AED=180°-∠DAE=120°。
∵ MD是AB的垂直平分线，EN是AC的垂直平分线，
∴ DA=DB，EA=EC。
∴ ∠B=∠DAB，∠C=∠EAC。
又
∵ ∠DAB+∠B=∠ADE，∠EAC+∠C=∠AED，
∴ 2∠DAB+2∠EAC=∠ADE+∠AED=120°，
∴ ∠DAB+∠EAC=60°，
∴ ∠BAC=∠DAB+∠DAE+∠EAC=60°+60°=120°。
(2) 点O在BC的垂直平分线上，理由如下：
如图，连结AO、BO、CO。
∵ MD是线段AB的垂直平分线，EN是线段AC的垂直平分线，
∴ AO=BO，CO=AO，
∴ BO=CO，
∴ 点O在BC的垂直平分线上。
【答案】
(1) ∠BAC的度数为$120°$；
(2) 点O在BC的垂直平分线上，理由见解析。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是线段垂直平分线相关的典型题型，综合考查了线段垂直平分线的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形内角和与外角的性质，解题时要注意合理转化角度关系，牢记垂直平分线的判定条件，能较好地考查学生对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）求解∠BAC的度数，首先利用三角形内角和求出△ADE中另外两个内角的和；再根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB、EA=EC，结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质，推出∠DAB与∠EAC的和，最后加上已知的∠DAE的度数即可得到∠BAC的度数。
（2）判断点O是否在BC的垂直平分线上，依据“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，只需证明OB=OC即可；连接AO、BO、CO，利用线段垂直平分线的性质可得AO=BO、CO=AO，等量代换得到OB=OC，即可得出结论。
【解析】
(1)
∵ ∠DAE=60°，
∴ ∠ADE+∠AED=180°-∠DAE=120°。
∵ MD是AB的垂直平分线，EN是AC的垂直平分线，
∴ DA=DB，EA=EC。
∴ ∠B=∠DAB，∠C=∠EAC。
又
∵ ∠DAB+∠B=∠ADE，∠EAC+∠C=∠AED，
∴ 2∠DAB+2∠EAC=∠ADE+∠AED=120°，
∴ ∠DAB+∠EAC=60°，
∴ ∠BAC=∠DAB+∠DAE+∠EAC=60°+60°=120°。
(2) 点O在BC的垂直平分线上，理由如下：
如图，连结AO、BO、CO。
∵ MD是线段AB的垂直平分线，EN是线段AC的垂直平分线，
∴ AO=BO，CO=AO，
∴ BO=CO，
∴ 点O在BC的垂直平分线上。
【答案】
(1) ∠BAC的度数为$120°$；
(2) 点O在BC的垂直平分线上，理由见解析。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是线段垂直平分线相关的典型题型，综合考查了线段垂直平分线的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形内角和与外角的性质，解题时要注意合理转化角度关系，牢记垂直平分线的判定条件，能较好地考查学生对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
