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7. 如图，$AB=AC$，$DB=DC$，$E$是$AD$延长线上的一点.问:$BE$与$CE$相等吗？请说明理由. 
答案
相等.理由如下:如图,连结BC,交AE于点F.
∵ AB=AC,
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上.同理可得,点D也在线段BC的垂直平分线上.
∴ AD是线段BC的垂直平分线.
∵ E是AD延长线上的一点,
∴ BE=CE
解析
【分析】
要判断BE与CE是否相等，可结合线段垂直平分线的性质思考：若能证明点E在BC的垂直平分线上，即可得到BE=CE。已知AB=AC，根据线段垂直平分线的判定，可知点A在BC的垂直平分线上；同理DB=DC，说明点D也在BC的垂直平分线上，由“两点确定一条直线”可得AD所在直线就是BC的垂直平分线，而E在AD的延长线上，因此可推出BE=CE。
【解析】
解：相等，理由如下：
如图，连结BC，交AE于点F。
∵ AB=AC，
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上。
同理可得，点D也在线段BC的垂直平分线上。
∴ 直线AD是线段BC的垂直平分线。
∵ E是AD延长线上的一点，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴ BE=CE。
【答案】
相等.理由如下:如图,连结BC,交AE于点F.
∵ AB=AC,
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上.同理可得,点D也在线段BC的垂直平分线上.
∴ AD是线段BC的垂直平分线.
∵ E是AD延长线上的一点,
∴ BE=CE
【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查线段垂直平分线相关定理的应用，解题的关键是利用已知条件证明AD是BC的垂直平分线，既巩固了基础定理的记忆，也锻炼了逻辑推理的能力。
【难度系数】
0.8
要判断BE与CE是否相等，可结合线段垂直平分线的性质思考：若能证明点E在BC的垂直平分线上，即可得到BE=CE。已知AB=AC，根据线段垂直平分线的判定，可知点A在BC的垂直平分线上；同理DB=DC，说明点D也在BC的垂直平分线上，由“两点确定一条直线”可得AD所在直线就是BC的垂直平分线，而E在AD的延长线上，因此可推出BE=CE。
【解析】
解：相等，理由如下：
如图，连结BC，交AE于点F。
∵ AB=AC，
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上。
同理可得，点D也在线段BC的垂直平分线上。
∴ 直线AD是线段BC的垂直平分线。
∵ E是AD延长线上的一点，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴ BE=CE。
【答案】
相等.理由如下:如图,连结BC,交AE于点F.
∵ AB=AC,
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上.同理可得,点D也在线段BC的垂直平分线上.
∴ AD是线段BC的垂直平分线.
∵ E是AD延长线上的一点,
∴ BE=CE
【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查线段垂直平分线相关定理的应用，解题的关键是利用已知条件证明AD是BC的垂直平分线，既巩固了基础定理的记忆，也锻炼了逻辑推理的能力。
【难度系数】
0.8
8. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的角平分线，$FE$是$AC$的垂直平分线，交$AD$于点$F$，连结$BF$。求证：$AF=BF$。
（第8题）
（第8题）答案
如图,连结CF.
∵ AB=AC,AD平分∠BAC,
∴ BD=CD,AD ⊥ BC.
∴ BF=CF.
∵ FE垂直平分AC,
∴ AF=CF.
∴ AF=BF
解析
【分析】
要证明AF=BF，直接证明两条线段相等的条件不足，因此需要寻找中间线段搭建等量关系的桥梁：首先观察到FE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AF=CF，因此只需证明BF=CF即可；已知△ABC是等腰三角形，AD是角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可知AD是BC的垂直平分线，进而可得BF=CF，最后通过等量代换即可完成证明，证明前需先作辅助线连接CF。
【解析】
证明：如图，连结CF。
∵ AB=AC，AD平分∠BAC，
∴ BD=CD，AD⊥BC，即AD是BC的垂直平分线，
∵ 点F在AD上，
∴ BF=CF。
又
∵ FE是AC的垂直平分线，点F在FE上，
∴ AF=CF。
∴ AF=BF。
【答案】
如图,连结CF.
∵ AB=AC,AD平分∠BAC,
∴ BD=CD,AD ⊥ BC.
∴ BF=CF.
∵ FE垂直平分AC,
∴ AF=CF.
∴ AF=BF
【知识点】
等腰三角形三线合一；线段垂直平分线的性质；等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过作辅助线CF建立待证线段的等量联系，熟练掌握等腰三角形和线段垂直平分线的相关性质，就能快速梳理出证明思路完成解答。
【难度系数】
0.7
要证明AF=BF，直接证明两条线段相等的条件不足，因此需要寻找中间线段搭建等量关系的桥梁：首先观察到FE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AF=CF，因此只需证明BF=CF即可；已知△ABC是等腰三角形，AD是角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可知AD是BC的垂直平分线，进而可得BF=CF，最后通过等量代换即可完成证明，证明前需先作辅助线连接CF。
【解析】
证明：如图，连结CF。
∵ AB=AC，AD平分∠BAC，
∴ BD=CD，AD⊥BC，即AD是BC的垂直平分线，
∵ 点F在AD上，
∴ BF=CF。
又
∵ FE是AC的垂直平分线，点F在FE上，
∴ AF=CF。
∴ AF=BF。
【答案】
如图,连结CF.
∵ AB=AC,AD平分∠BAC,
∴ BD=CD,AD ⊥ BC.
∴ BF=CF.
∵ FE垂直平分AC,
∴ AF=CF.
∴ AF=BF
【知识点】
等腰三角形三线合一；线段垂直平分线的性质；等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过作辅助线CF建立待证线段的等量联系，熟练掌握等腰三角形和线段垂直平分线的相关性质，就能快速梳理出证明思路完成解答。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在△ABC中,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,AB=AE,且AD⊥BC,若△ABC的周长为16,AC=6,则DC为 【 】
A.5
B.8
C.9
D.10
A.5
B.8
C.9
D.10
答案
A
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件推导边的等量关系：首先由EF垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC，再结合AB=AE可得AB=AE=EC；接着由AB=AE且AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=DE；最后结合△ABC的周长和AC的长度，将AB、BC用与DC相关的线段替换，即可推导出DC的长度。
【解析】
解：
1.
∵EF垂直平分AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴AE=EC。
2. 又
∵AB=AE，
∴AB=AE=EC。
3.
∵AB=AE，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴BD=DE。
4. 已知△ABC周长为16，AC=6，
∴AB+BC+AC=16，代入AC=6得：$AB+BC=16-6=10$。
5. 线段BC可表示为$BC=BD+DE+EC$，且$DC=DE+EC$，将$BD=DE$、$AB=EC$代入$AB+BC=10$：
$EC + (DE+DE+EC)=10$
整理得$2(DE+EC)=10$，即$2DC=10$，解得$DC=5$。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是利用线段垂直平分线和等腰三角形的性质得到边的等量关系，再结合周长条件转化求解，熟练掌握相关几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件推导边的等量关系：首先由EF垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC，再结合AB=AE可得AB=AE=EC；接着由AB=AE且AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=DE；最后结合△ABC的周长和AC的长度，将AB、BC用与DC相关的线段替换，即可推导出DC的长度。
【解析】
解：
1.
∵EF垂直平分AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴AE=EC。
2. 又
∵AB=AE，
∴AB=AE=EC。
3.
∵AB=AE，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴BD=DE。
4. 已知△ABC周长为16，AC=6，
∴AB+BC+AC=16，代入AC=6得：$AB+BC=16-6=10$。
5. 线段BC可表示为$BC=BD+DE+EC$，且$DC=DE+EC$，将$BD=DE$、$AB=EC$代入$AB+BC=10$：
$EC + (DE+DE+EC)=10$
整理得$2(DE+EC)=10$，即$2DC=10$，解得$DC=5$。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是利用线段垂直平分线和等腰三角形的性质得到边的等量关系，再结合周长条件转化求解，熟练掌握相关几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10.（浙江期中）如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ B=36°$，$AC$的垂直平分线分别交$AC$、$BC$于$D$、$E$两点，$F$是$BE$上一点，且$FE=CE$，连结$AE$、$AF$。有下列说法：①$EA=EF$；②$∠ B=2∠ FAB$；③$AC=BE$。其中，正确的是 【 】
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
D
解析
【分析】
要判断三个说法的正误，可按以下步骤思考：首先根据等腰三角形等边对等角的性质，求出△ABC各内角的度数；再利用线段垂直平分线的性质得到EA=EC，推导得出△ABE中角的关系，得到边的等量关系；最后结合FE=CE的已知条件，推导△AEF的内角度数，逐一验证三个结论即可。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠B=36°，
∴ ∠C=∠B=36°，∠BAC=180°-∠B-∠C=108°，
∵ DE是AC的垂直平分线，
∴ EA=EC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴ ∠EAC=∠C=36°，
∴ ∠AEB=∠C+∠EAC=36°+36°=72°，∠BAE=∠BAC-∠EAC=108°-36°=72°，
∴ ∠BAE=∠AEB，
∴ AB=BE，又
∵ AB=AC，
∴ AC=BE，故③正确；
∵ FE=CE，且已证EA=EC，
∴ EA=EF，故①正确；
∵ EA=EF，∠AEF=72°，
∴ ∠EAF=∠EFA=(180°-∠AEF)÷2=54°，
∴ ∠FAB=∠BAE-∠EAF=72°-54°=18°，
∴ ∠B=36°=2×18°=2∠FAB，故②正确。
综上，①②③均正确。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是通过角度的逐步推导，结合等腰三角形和垂直平分线的性质得到边、角的等量关系，推导过程中要注意外角、内角和等性质的正确运用。
【难度系数】
0.7
要判断三个说法的正误，可按以下步骤思考：首先根据等腰三角形等边对等角的性质，求出△ABC各内角的度数；再利用线段垂直平分线的性质得到EA=EC，推导得出△ABE中角的关系，得到边的等量关系；最后结合FE=CE的已知条件，推导△AEF的内角度数，逐一验证三个结论即可。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠B=36°，
∴ ∠C=∠B=36°，∠BAC=180°-∠B-∠C=108°，
∵ DE是AC的垂直平分线，
∴ EA=EC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴ ∠EAC=∠C=36°，
∴ ∠AEB=∠C+∠EAC=36°+36°=72°，∠BAE=∠BAC-∠EAC=108°-36°=72°，
∴ ∠BAE=∠AEB，
∴ AB=BE，又
∵ AB=AC，
∴ AC=BE，故③正确；
∵ FE=CE，且已证EA=EC，
∴ EA=EF，故①正确；
∵ EA=EF，∠AEF=72°，
∴ ∠EAF=∠EFA=(180°-∠AEF)÷2=54°，
∴ ∠FAB=∠BAE-∠EAF=72°-54°=18°，
∴ ∠B=36°=2×18°=2∠FAB，故②正确。
综上，①②③均正确。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是通过角度的逐步推导，结合等腰三角形和垂直平分线的性质得到边、角的等量关系，推导过程中要注意外角、内角和等性质的正确运用。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$的平分线与$BC$的垂直平分线交于点$P$，连结$CP$。若$∠ A=75°$，$∠ ABC=62°$，则$∠ ACP$的度数为
12
°。答案
11. 12
解析
【分析】
解题思路可分为四步：第一步，根据三角形内角和为180°，结合已知的∠A、∠ABC的度数，先计算出∠ACB的度数；第二步，利用角平分线的定义，由BP平分∠ABC求出∠PBC的度数；第三步，根据线段垂直平分线的性质，点P在BC的垂直平分线上可得PB=PC，再由等边对等角推出∠PBC=∠PCB；第四步，用∠ACB的度数减去∠PCB的度数，即可求出∠ACP的度数。
【解析】
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ ABC=180°-75°-62°=43°$
$\because BP$平分$∠ ABC$
$\therefore ∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×62°=31°$
$\because$点$P$在$BC$的垂直平分线上
$\therefore PB=PC$
$\therefore ∠ PCB=∠ PBC=31°$
$\therefore ∠ ACP=∠ ACB-∠ PCB=43°-31°=12°$
【答案】
12
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，综合考查了多个基础几何性质的应用，解题的关键是熟练掌握各性质，逐步推导对应角度即可得到结果。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为四步：第一步，根据三角形内角和为180°，结合已知的∠A、∠ABC的度数，先计算出∠ACB的度数；第二步，利用角平分线的定义，由BP平分∠ABC求出∠PBC的度数；第三步，根据线段垂直平分线的性质，点P在BC的垂直平分线上可得PB=PC，再由等边对等角推出∠PBC=∠PCB；第四步，用∠ACB的度数减去∠PCB的度数，即可求出∠ACP的度数。
【解析】
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ ABC=180°-75°-62°=43°$
$\because BP$平分$∠ ABC$
$\therefore ∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×62°=31°$
$\because$点$P$在$BC$的垂直平分线上
$\therefore PB=PC$
$\therefore ∠ PCB=∠ PBC=31°$
$\therefore ∠ ACP=∠ ACB-∠ PCB=43°-31°=12°$
【答案】
12
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，综合考查了多个基础几何性质的应用，解题的关键是熟练掌握各性质，逐步推导对应角度即可得到结果。
【难度系数】
0.7
