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10. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ C = 54°$，D是边BC上的中点，连结AD，则$∠ DAC =$
【 】
A.$36°$
B.$45°$
C.$54°$
D.$72°$
【 】
A.$36°$
B.$45°$
C.$54°$
D.$72°$
答案
A
解析
【分析】
解题时先根据已知的两个底角相等，判定△ABC是等腰三角形；再结合D是BC中点的条件，利用等腰三角形“三线合一”的性质，得到AD平分顶角∠BAC；接下来利用三角形内角和算出顶角∠BAC的度数，最后求出∠DAC的度数即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠B=∠C=54°，
∴△ABC为等腰三角形，AB=AC，
∵D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴AD平分∠BAC，
又
∵三角形内角和为180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-54°-54°=72°，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×72°=36°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，重点考查等腰三角形的判定与“三线合一”性质的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形相关性质，结合三角形内角和公式计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先根据已知的两个底角相等，判定△ABC是等腰三角形；再结合D是BC中点的条件，利用等腰三角形“三线合一”的性质，得到AD平分顶角∠BAC；接下来利用三角形内角和算出顶角∠BAC的度数，最后求出∠DAC的度数即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠B=∠C=54°，
∴△ABC为等腰三角形，AB=AC，
∵D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴AD平分∠BAC，
又
∵三角形内角和为180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-54°-54°=72°，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×72°=36°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，重点考查等腰三角形的判定与“三线合一”性质的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形相关性质，结合三角形内角和公式计算即可。
【难度系数】
0.8
11. (天津期中)在$△ ABC$中，$AB=AC$，添加下列一个条件后不能判断$△ ABC$是等边三角形的是
【 】
A.$∠ A=60°$
B.$AC=BC$
C.$∠ B$与$∠ C$互余
D.边$AB$上的高也是边$AB$上的中线
【 】
A.$∠ A=60°$
B.$AC=BC$
C.$∠ B$与$∠ C$互余
D.边$AB$上的高也是边$AB$上的中线
答案
C
解析
【分析】
题干已知△ABC是等腰三角形（AB=AC），需判断哪个选项无法推出它是等边三角形。解题思路为：首先明确等边三角形的2个核心判定规则：①三边相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。再结合等腰三角形性质、互余定义、线段垂直平分线性质，逐一推导每个选项对应的三角形形状，最终筛选出不符合要求的选项。
【解析】
已知AB=AC，因此△ABC为等腰三角形，且底角∠B=∠C。
选项A：若∠A=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可直接判定△ABC是等边三角形，不符合题意；
选项B：若AC=BC，结合已知条件AB=AC，可推出AB=AC=BC，三边相等的三角形是等边三角形，可判定，不符合题意；
选项C：若∠B与∠C互余，即∠B+∠C=90°，又因为∠B=∠C，可得∠B=∠C=45°，因此顶角∠A=180°-90°=90°，此时△ABC是等腰直角三角形，不是等边三角形，无法判定，符合题意；
选项D：若AB边上的高也是AB边上的中线，说明该线段是AB的垂直平分线，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，可推出AC=BC，结合已知AB=AC，得AB=AC=BC，可判定△ABC是等边三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查等腰三角形和等边三角形的关联知识点，需要熟练掌握等边三角形的判定定理，注意区分三线合一的适用场景，避免误判腰上的高与中线重合的情况。
【难度系数】
0.7
题干已知△ABC是等腰三角形（AB=AC），需判断哪个选项无法推出它是等边三角形。解题思路为：首先明确等边三角形的2个核心判定规则：①三边相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。再结合等腰三角形性质、互余定义、线段垂直平分线性质，逐一推导每个选项对应的三角形形状，最终筛选出不符合要求的选项。
【解析】
已知AB=AC，因此△ABC为等腰三角形，且底角∠B=∠C。
选项A：若∠A=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可直接判定△ABC是等边三角形，不符合题意；
选项B：若AC=BC，结合已知条件AB=AC，可推出AB=AC=BC，三边相等的三角形是等边三角形，可判定，不符合题意；
选项C：若∠B与∠C互余，即∠B+∠C=90°，又因为∠B=∠C，可得∠B=∠C=45°，因此顶角∠A=180°-90°=90°，此时△ABC是等腰直角三角形，不是等边三角形，无法判定，符合题意；
选项D：若AB边上的高也是AB边上的中线，说明该线段是AB的垂直平分线，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，可推出AC=BC，结合已知AB=AC，得AB=AC=BC，可判定△ABC是等边三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查等腰三角形和等边三角形的关联知识点，需要熟练掌握等边三角形的判定定理，注意区分三线合一的适用场景，避免误判腰上的高与中线重合的情况。
【难度系数】
0.7
12.（秦皇岛期末）如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹.
步骤1:以点C为圆心、CB为半径作弧①；步骤2:以点A为圆心、AB为半径作弧②，交弧①于点D；步骤3:连结BD，交AC的延长线于点E.下列叙述中，正确的是 【 】
A.BC平分∠ABD
B.$AB=BD$
C.$AE=BD$
D.$BE=DE$
步骤1:以点C为圆心、CB为半径作弧①；步骤2:以点A为圆心、AB为半径作弧②，交弧①于点D；步骤3:连结BD，交AC的延长线于点E.下列叙述中，正确的是 【 】
A.BC平分∠ABD
B.$AB=BD$
C.$AE=BD$
D.$BE=DE$
答案
D
解析
【分析】
首先从题目的尺规作图步骤入手提取隐含的相等线段：以C为圆心CB为半径画弧可得CD=CB，以A为圆心AB为半径画弧可得AD=AB；再结合线段垂直平分线的判定定理“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知点A、C都在线段BD的垂直平分线上，因此直线AC是BD的垂直平分线；最后根据垂直平分线的性质逐一判断选项即可。
【解析】
解：根据作图步骤推导：
1. 以点C为圆心、CB为半径作弧①，因此 $\boldsymbol{CD = CB}$；
2. 以点A为圆心、AB为半径作弧②，因此 $\boldsymbol{AD = AB}$。
根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知点A、点C都在BD的垂直平分线上。
由两点确定一条直线，可得直线AC是线段BD的垂直平分线。
因为E是AC延长线与BD的交点，即E在BD的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得 $BE = DE$，故D选项正确。
其余选项分析：
A选项：无已知条件可证明$∠ CBD=∠ ABC$，无法推出BC平分$∠ ABD$，错误；
B选项：仅可推出$AB=AD$，无条件证明$AB=BD$，错误；
C选项：无对应等量关系可证明$AE=BD$，错误。
【答案】
D
【知识点】
1. 垂直平分线判定
2. 垂直平分线性质
3. 尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查线段垂直平分线的相关知识，解题核心是从作图步骤中挖掘隐含的相等线段，进而判断直线AC的性质，属于基础定理应用的常规考题。
【难度系数】
0.7
首先从题目的尺规作图步骤入手提取隐含的相等线段：以C为圆心CB为半径画弧可得CD=CB，以A为圆心AB为半径画弧可得AD=AB；再结合线段垂直平分线的判定定理“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知点A、C都在线段BD的垂直平分线上，因此直线AC是BD的垂直平分线；最后根据垂直平分线的性质逐一判断选项即可。
【解析】
解：根据作图步骤推导：
1. 以点C为圆心、CB为半径作弧①，因此 $\boldsymbol{CD = CB}$；
2. 以点A为圆心、AB为半径作弧②，因此 $\boldsymbol{AD = AB}$。
根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知点A、点C都在BD的垂直平分线上。
由两点确定一条直线，可得直线AC是线段BD的垂直平分线。
因为E是AC延长线与BD的交点，即E在BD的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得 $BE = DE$，故D选项正确。
其余选项分析：
A选项：无已知条件可证明$∠ CBD=∠ ABC$，无法推出BC平分$∠ ABD$，错误；
B选项：仅可推出$AB=AD$，无条件证明$AB=BD$，错误；
C选项：无对应等量关系可证明$AE=BD$，错误。
【答案】
D
【知识点】
1. 垂直平分线判定
2. 垂直平分线性质
3. 尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查线段垂直平分线的相关知识，解题核心是从作图步骤中挖掘隐含的相等线段，进而判断直线AC的性质，属于基础定理应用的常规考题。
【难度系数】
0.7
13. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=36°$，$∠ B=72°$，$CD$平分$∠ ACB$，$DE // AC$，则图中共有等腰三角形
5
个.答案
13. 5
解析
【分析】
要解决本题，核心是利用“等角对等边”的等腰三角形判定方法，按顺序推导各三角形的角的关系：第一步先计算△ABC的内角，判断第一个等腰三角形；第二步结合角平分线的性质，推导△ACD、△CDB的角的关系，判断这两个是否为等腰三角形；第三步结合平行线的角的性质，推导△CDE、△DEB的角的关系，判断剩余两个等腰三角形，逐一排查避免漏数。
【解析】
1. 计算△ABC的内角：
在△ABC中，$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-36°-72°=72°$，
因此$∠ ACB=∠ B=72°$，故$AC=AB$，$△ ABC$是等腰三角形。
2. 结合角平分线推导：
已知CD平分$∠ ACB$，因此$∠ ACD=∠ BCD=36°$。
对于$△ ACD$：$∠ A=∠ ACD=36°$，故$AD=CD$，$△ ACD$是等腰三角形。
对于$△ CDB$：$∠ CDB=180°-∠ B-∠ BCD=180°-72°-36°=72°$，因此$∠ CDB=∠ B=72°$，故$CD=CB$，$△ CDB$是等腰三角形。
3. 结合平行线性质推导：
已知$DE// AC$，
由内错角相等得$∠ CDE=∠ ACD=36°$，因此$∠ CDE=∠ BCD=36°$，故$CE=DE$，$△ CDE$是等腰三角形。
由同位角相等得$∠ DEB=∠ ACB=72°$，因此$∠ DEB=∠ B=72°$，故$DE=DB$，$△ DEB$是等腰三角形。
综上，共有5个等腰三角形。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理，平行线的性质
【点评】
本题需要综合运用角的相关性质推导角的等量关系，再结合等腰三角形的判定逐个验证，解题时按照从大到小或从小到大的顺序排查三角形，可有效避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.65
要解决本题，核心是利用“等角对等边”的等腰三角形判定方法，按顺序推导各三角形的角的关系：第一步先计算△ABC的内角，判断第一个等腰三角形；第二步结合角平分线的性质，推导△ACD、△CDB的角的关系，判断这两个是否为等腰三角形；第三步结合平行线的角的性质，推导△CDE、△DEB的角的关系，判断剩余两个等腰三角形，逐一排查避免漏数。
【解析】
1. 计算△ABC的内角：
在△ABC中，$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-36°-72°=72°$，
因此$∠ ACB=∠ B=72°$，故$AC=AB$，$△ ABC$是等腰三角形。
2. 结合角平分线推导：
已知CD平分$∠ ACB$，因此$∠ ACD=∠ BCD=36°$。
对于$△ ACD$：$∠ A=∠ ACD=36°$，故$AD=CD$，$△ ACD$是等腰三角形。
对于$△ CDB$：$∠ CDB=180°-∠ B-∠ BCD=180°-72°-36°=72°$，因此$∠ CDB=∠ B=72°$，故$CD=CB$，$△ CDB$是等腰三角形。
3. 结合平行线性质推导：
已知$DE// AC$，
由内错角相等得$∠ CDE=∠ ACD=36°$，因此$∠ CDE=∠ BCD=36°$，故$CE=DE$，$△ CDE$是等腰三角形。
由同位角相等得$∠ DEB=∠ ACB=72°$，因此$∠ DEB=∠ B=72°$，故$DE=DB$，$△ DEB$是等腰三角形。
综上，共有5个等腰三角形。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理，平行线的性质
【点评】
本题需要综合运用角的相关性质推导角的等量关系，再结合等腰三角形的判定逐个验证，解题时按照从大到小或从小到大的顺序排查三角形，可有效避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.65
14. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是边$AB$上一点，过点$D$作$DE ⊥ BC$交$BC$于点$E$，交$CA$的延长线于点$F$.
（1）求证：$△ ADF$是等腰三角形；
（2）若$∠ B = 60°$，$BC = 5$，$BD = 3$，求$CF$的长.
（1）求证：$△ ADF$是等腰三角形；
（2）若$∠ B = 60°$，$BC = 5$，$BD = 3$，求$CF$的长.
答案
14. (1) $\because AB = AC,\therefore ∠ B = ∠ C. \because DE ⊥ BC,\therefore ∠ BDE + ∠ B = 90°, ∠ F + ∠ C = 90°. \therefore ∠ F = ∠ BDE. \because ∠ BDE = ∠ FDA,\therefore ∠ F = ∠ FDA. \therefore AF = AD. \therefore △ ADF$ 是等腰三角形
(2) $\because ∠ B = 60°, \therefore AB = AC = BC = 5. \therefore AD = AF = AB - BD = 5 - 3 = 2. \therefore CF = AC + AF = 5 + 2 = 7$
(2) $\because ∠ B = 60°, \therefore AB = AC = BC = 5. \therefore AD = AF = AB - BD = 5 - 3 = 2. \therefore CF = AC + AF = 5 + 2 = 7$
解析
【分析】
（1）要证明△ADF是等腰三角形，核心是证明三角形有两个内角相等，即证∠F=∠FDA。首先利用等腰△ABC的性质得∠B=∠C，再结合DE⊥BC，根据直角三角形两锐角互余推出∠F与∠BDE相等，最后结合对顶角相等的性质，即可得到∠F=∠FDA，完成判定。
（2）已知AB=AC且∠B=60°，可先判定△ABC是等边三角形，得到三边均等于BC的长度，再结合BD的长度算出AD的长，利用（1）的结论AF=AD得到AF的长度，最后通过线段和的关系计算CF即可。
【解析】
（1）证明：$\because AB = AC$，$\therefore ∠B = ∠C$。
$\because DE ⊥ BC$，$\therefore ∠DEB=∠FEC=90°$，
$\therefore ∠BDE + ∠B = 90°$，$∠F + ∠C = 90°$，
$\therefore ∠F = ∠BDE$（同角的余角相等）。
又$\because ∠BDE = ∠FDA$（对顶角相等），
$\therefore ∠F = ∠FDA$，
$\therefore AF = AD$，
$\therefore △ADF$是等腰三角形。
（2）解：$\because AB=AC$，$∠B = 60°$，
$\therefore △ABC$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
$\therefore AB = AC = BC = 5$。
$\because BD=3$，
$\therefore AD = AB - BD = 5 - 3 = 2$，
由（1）可知$AF=AD$，
$\therefore AF=2$，
$\therefore CF = AC + AF = 5 + 2 = 7$。
【答案】
（1）△ADF是等腰三角形，证明如上；
（2）$CF=7$
【知识点】
等腰三角形判定与性质；等边三角形判定与性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是等腰三角形章节的常规题型，第一问侧重考查角度推导能力，结合余角、对顶角的性质完成等腰三角形的判定；第二问结合等边三角形的性质计算线段长度，解题逻辑清晰，侧重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ADF是等腰三角形，核心是证明三角形有两个内角相等，即证∠F=∠FDA。首先利用等腰△ABC的性质得∠B=∠C，再结合DE⊥BC，根据直角三角形两锐角互余推出∠F与∠BDE相等，最后结合对顶角相等的性质，即可得到∠F=∠FDA，完成判定。
（2）已知AB=AC且∠B=60°，可先判定△ABC是等边三角形，得到三边均等于BC的长度，再结合BD的长度算出AD的长，利用（1）的结论AF=AD得到AF的长度，最后通过线段和的关系计算CF即可。
【解析】
（1）证明：$\because AB = AC$，$\therefore ∠B = ∠C$。
$\because DE ⊥ BC$，$\therefore ∠DEB=∠FEC=90°$，
$\therefore ∠BDE + ∠B = 90°$，$∠F + ∠C = 90°$，
$\therefore ∠F = ∠BDE$（同角的余角相等）。
又$\because ∠BDE = ∠FDA$（对顶角相等），
$\therefore ∠F = ∠FDA$，
$\therefore AF = AD$，
$\therefore △ADF$是等腰三角形。
（2）解：$\because AB=AC$，$∠B = 60°$，
$\therefore △ABC$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
$\therefore AB = AC = BC = 5$。
$\because BD=3$，
$\therefore AD = AB - BD = 5 - 3 = 2$，
由（1）可知$AF=AD$，
$\therefore AF=2$，
$\therefore CF = AC + AF = 5 + 2 = 7$。
【答案】
（1）△ADF是等腰三角形，证明如上；
（2）$CF=7$
【知识点】
等腰三角形判定与性质；等边三角形判定与性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是等腰三角形章节的常规题型，第一问侧重考查角度推导能力，结合余角、对顶角的性质完成等腰三角形的判定；第二问结合等边三角形的性质计算线段长度，解题逻辑清晰，侧重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.7
