15. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，$AD ⊥ BC$，垂足为$G$，且$AD=AB$，$∠ EDF =60°$，其两边$DE$、$DF$分别交边$AB$、$AC$于点$E$、$F$. 求证：
(1) $△ ABD$是等边三角形；
(2) $BE=AF$.

(1) $\because AB = AC, AD ⊥ BC,\therefore ∠ BAD = ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC. \because ∠ BAC = 120°,\therefore ∠ BAD = ∠ DAC = \frac{1}{2} × 120° = 60°. \because AD = AB,\therefore △ ABD$ 是等边三角形
(2) $\because △ ABD$ 是等边三角形,$\therefore ∠ ABD = ∠ ADB = 60°, BD = AD. \because ∠ EDF = 60°,\therefore ∠ ADB = ∠ EDF. \therefore ∠ ADB - ∠ ADE = ∠ EDF - ∠ ADE. \therefore ∠ BDE = ∠ ADF. 在△ BDE 与△ ADF 中,\because \begin{cases} ∠ DBE = ∠ DAF = 60°, \\ BD = AD, \\ ∠ BDE = ∠ ADF, \end{cases}$ $\therefore △ BDE ≌ △ ADF. \therefore BE = AF$

【分析】
(1) 要证△ABD是等边三角形，已知AD=AB，仅需证明∠BAD=60°即可。结合AB=AC、AD⊥BC的条件，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD平分∠BAC，结合∠BAC=120°即可求出∠BAD=60°，满足等边三角形的判定条件。
(2) 要证BE=AF，可通过证明两条线段所在的△BDE和△ADF全等来推导。由(1)的等边三角形结论可得BD=AD、∠DBE=∠DAF=60°，再结合∠EDF=∠ADB=60°，同时减去公共角∠ADE即可得到相等的∠BDE和∠ADF，满足ASA全等判定条件，全等后对应边相等即可得证。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB = AC, AD ⊥ BC$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC$（等腰三角形三线合一）。
$\because ∠ BAC = 120°$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ DAC = \frac{1}{2} × 120° = 60°$。
又$\because AD = AB$，
$\therefore △ ABD$是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
(2) 证明：
$\because △ ABD$是等边三角形，
$\therefore ∠ ABD = ∠ ADB = 60°, BD = AD$。
$\because ∠ EDF = 60°$，
$\therefore ∠ ADB = ∠ EDF$，
$\therefore ∠ ADB - ∠ ADE = ∠ EDF - ∠ ADE$，即$∠ BDE = ∠ ADF$。
在$△ BDE$与$△ ADF$中，
$\begin{cases} ∠ DBE = ∠ DAF = 60°, \\ BD = AD, \\ ∠ BDE = ∠ ADF, \end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ ADF$（ASA），
$\therefore BE = AF$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
(1) $△ ABD$是等边三角形，成立；
(2) $BE=AF$，成立。
【知识点】
等腰三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于等腰三角形章节的基础综合题，核心考查学生对等腰三角形三线合一、等边三角形判定、全等三角形判定性质的综合运用能力，解题的关键是通过角度转换推导相等的角，构造全等三角形完成线段相等的证明。
【难度系数】
0.7

16.（沈丘期中）如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$BE$平分$∠ ABC$，$AM ⊥ BC$于点$M$，交$BE$于点$G$，$AD$平分$∠ MAC$，交$BC$于点$D$，交$BE$于点$F$.
（1）求证：$△ ABD$是等腰三角形.
（2）若$∠ C=30°$，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出并证明；若不存在，请说明理由.

(1) $\because AM ⊥ BC,\therefore ∠ ABC + ∠ 5 = 90°. \because ∠ BAC = 90°,\therefore ∠ ABC + ∠ C = 90°. \therefore ∠ 5 = ∠ C. \because AD$ 平分 $∠ MAC,\therefore ∠ 3 = ∠ 4$. 又$\because ∠ BAD = ∠ 5 + ∠ 3, ∠ ADB = ∠ C + ∠ 4, ∠ 5 = ∠ C,\therefore ∠ BAD = ∠ ADB. \therefore △ ABD$ 是等腰三角形
(2) $△ ABD$、$△ AEG$ 是等边三角形. 理由如下: $\because ∠ C = 30°, ∠ BAC = 90°,\therefore ∠ ABD = 60°$. 又$\because △ ABD$ 是等腰三角形,$\therefore △ ABD$ 是等边三角形. $\because BE$ 平分 $∠ ABC,\therefore ∠ 1 = ∠ 2 = 30°. \therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BGM$ 中,$∠ BGM = 60° = ∠ AGE$; 在$\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$∠ AEB = 60°. \because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACM$ 中,$∠ C = 30°$,$\therefore ∠ CAM = 60°. \therefore ∠ AEG = ∠ AGE = ∠ EAG. \therefore △ AEG$ 是等边三角形

【分析】
（1）要证明△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形“等角对等边”的判定规则，只需推导得到∠BAD=∠ADB即可。首先利用直角三角形两锐角互余的性质，可推出∠5=∠C；再结合AD平分∠MAC得到∠3=∠4，最后通过三角形外角的性质分别表示∠BAD和∠ADB，经等量代换即可得到两角相等，完成证明。
（2）当∠C=30°时，先由直角三角形两锐角互余计算得∠ABC=60°，结合（1）中已证的△ABD是等腰三角形，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△ABD是等边三角形；再通过角平分线定义、直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质，推导△AEG的三个内角均为60°，即可判定△AEG也为等边三角形。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AM ⊥ BC$，
∴ $∠AMB=90°$，可得 $∠ABC + ∠5 = 90°$，
∵ $∠BAC=90°$，
∴ $∠ABC + ∠C = 90°$，
∴ $∠5 = ∠C$（同角的余角相等）。
∵ AD平分$∠MAC$，
∴ $∠3 = ∠4$，
又
∵ $∠BAD = ∠5 + ∠3$，$∠ADB = ∠C + ∠4$（三角形外角等于与它不相邻的两个内角和），且$∠5=∠C$，
∴ $∠BAD = ∠ADB$，
∴ $AB=AD$，即$△ABD$是等腰三角形。
(2) 存在等边三角形，证明如下：
∵ $∠C=30°$，$∠BAC=90°$，
∴ $∠ABD=90°-∠C=60°$，
又
∵ $△ABD$是等腰三角形，
∴ $△ABD$是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
∵ BE平分$∠ABC$，
∴ $∠1 = ∠2 = \frac{1}{2}∠ABC = 30°$，
在$\mathrm{Rt}△ BGM$中，$∠BGM=90°-∠2=60°$，
∴ $∠AGE=∠BGM=60°$（对顶角相等），
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠AEB=90°-∠1=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$∠CAM=90°-∠C=60°$，即$∠EAG=60°$，
∴ $∠AEG = ∠AGE = ∠EAG = 60°$，
∴ $△AEG$是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）。
【答案】
(1) $△ABD$是等腰三角形，得证；
(2) 存在等边三角形，为$△ABD$、$△AEG$。
【知识点】
等腰三角形的判定、等边三角形的判定、直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线的定义、直角三角形两锐角互余、三角形外角性质以及特殊三角形的判定，解题核心是通过角的等量代换找到角的相等关系，是三角形章节的典型综合题。
【难度系数】
0.6