4. 如图,上午8时,一条船从海岛A出发,以15kn的速度向正北航行,10时到达海岛B处,从A、B望灯塔C,测得∠NAC=42°,∠NBC=84°,则从海岛B到灯塔C的距离为(“kn”是单位“海里/时”的符号,“n mile”是单位“海里”的符号)
【 】

A.15 n mile
B.20 n mile
C.30 n mile
D.60 n mile

C

【分析】
解题时首先根据船的航行速度和航行时间计算出海岛A到海岛B的距离；再利用三角形外角的性质，求出∠C的度数，发现∠C与∠BAC相等，最后根据等腰三角形“等角对等边”的判定，即可得到海岛B到灯塔C的距离等于AB的长度。
【解析】
1. 计算AB的长度：
船从A到B的航行时间为：$10时 - 8时 = 2\mathrm{h}$
根据路程公式$s=vt$，可得$AB = 15\mathrm{kn} × 2\mathrm{h} = 30\mathrm{n mile}$
2. 求∠C的度数：
∵∠NBC是△ABC的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴$∠ NBC = ∠ BAC + ∠ C$
已知$∠ NBC = 84°$，$∠ BAC = ∠ NAC = 42°$，代入得：
$∠ C = 84° - 42° = 42°$
3. 判定等腰三角形求BC：
∵$∠ C = ∠ BAC = 42°$
根据等腰三角形“等角对等边”的判定，可得$BC = AB = 30\mathrm{n mile}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质，等腰三角形的判定，路程计算
【点评】
本题是几何与行程相结合的基础题，主要考查对基础定理的应用能力，解题核心是通过角的等量关系推导得到边的等量关系，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7

5. 在$△ ABC$中，$AB=AC=10\ \mathrm{cm}$，$∠ A=60°$，则$BC=$。

5. 10cm

【分析】
解题时首先根据已知条件AB=AC判断出△ABC是等腰三角形，再结合顶角∠A=60°，联系等边三角形的判定定理，可推出△ABC是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等的性质即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC=10cm，
∴△ABC是等腰三角形，
又
∵∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴BC=AB=10cm。
【答案】
10cm
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查等边三角形的判定定理与性质，熟练掌握特殊三角形的判定规则是解题的关键。
【难度系数】
0.9

6. 如图，在$△ ABC$中，$BD$平分$∠ ABC$，$DE // BC$，交$AB$于点$E$。若$AB = 9\ \mathrm{cm}$，$AE = 5\ \mathrm{cm}$，则$DE$的长为$\mathrm{cm}$。

6. 4

【分析】
解题思路可按以下步骤梳理：第一步先利用已知的AB和AE长度，计算出BE的长度；第二步结合角平分线的定义得到∠EBD=∠CBD，再根据DE//BC的平行线性质推出内错角∠EDB=∠CBD，等量代换后可得∠EBD=∠EDB，从而判定△EBD为等腰三角形，得到DE=BE，代入BE的数值即可求出DE的长度。
【解析】
首先计算BE的长度：
已知$AB=9\ \mathrm{cm}$，$AE=5\ \mathrm{cm}$，因此$BE=AB-AE=9-5=4\ \mathrm{cm}$。
再推导边的等量关系：
∵$BD$平分$∠ABC$，根据角平分线的定义，可得$∠EBD=∠CBD$。
又
∵$DE// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠EDB=∠CBD$。
通过等量代换得$∠EBD=∠EDB$，根据“等角对等边”，可判定$△ EBD$是等腰三角形，因此$DE=BE=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，将平行线性质、角平分线定义和等腰三角形判定结合考查，解题的核心是通过角的等量代换得到等角，进而推出等腰三角形，掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8

7. 在$△ ABC$中，$∠ A = 80°$，当$∠ B = \underline{\hspace{10cm}}$时，$△ ABC$是等腰三角形。

80°、50°或20°

【分析】
要判断△ABC为等腰三角形，需结合等腰三角形“等角对等边”的性质，分情况讨论已知角∠A是顶角还是底角，再利用三角形内角和为180°计算∠B的度数，注意每种情况要验证是否符合三角形内角和要求，避免漏解。
【解析】
已知△ABC中∠A=80°，分三种情况讨论：
1. 当∠A为等腰三角形的顶角时，两个底角∠B与∠C相等，根据三角形内角和定理：
$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-80°)÷2=50°$；
2. 当∠A与∠B为等腰三角形的两个底角时：
$∠ B=∠ A=80°$，此时顶角$∠ C=180°-80°×2=20°$，符合三角形内角和要求；
3. 当∠A与∠C为等腰三角形的两个底角时，$∠ C=∠ A=80°$，则：
$∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-80°-80°=20°$，符合要求。
综上，∠B的度数为80°、50°或20°。
【答案】
80°、50°或20°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形判定的常考题型，解题的关键是明确已知角的位置（顶角或底角），分情况讨论，避免因遗漏情况导致丢解，同时要注意检验计算结果是否符合三角形的内角性质。
【难度系数】
0.6

8. 如图，在△AOB中，点C在边OA上，点E、D在边OB上，且AB=AD，CD//AB，CE//AD。问：△CDE是否等腰三角形？为什么？

是等腰三角形.理由如下: $\because CD // AB,\therefore ∠ CDE = ∠ B. \because CE // AD,\therefore ∠ CED = ∠ ADB. \because AB = AD,\therefore ∠ B = ∠ ADB. \therefore ∠ CDE = ∠ CED. \therefore △ CDE$ 是等腰三角形

【分析】
要判断△CDE是否为等腰三角形，核心思路是证明该三角形有两个内角相等（依据等腰三角形“等角对等边”的判定定理）。首先根据已知的两组平行关系，利用平行线同位角相等的性质，将△CDE的∠CDE、∠CED分别和△ABD的底角∠B、∠ADB建立等量关系；再结合AB=AD的条件，可得△ABD的两个底角相等，通过等量代换即可推出△CDE中两个内角相等，进而得出结论。
【解析】
△CDE是等腰三角形，理由如下：
∵ CD//AB，根据两直线平行，同位角相等，
∴ ∠CDE = ∠B。
∵ CE//AD，根据两直线平行，同位角相等，
∴ ∠CED = ∠ADB。
∵ AB=AD，根据等腰三角形等边对等角的性质，
∴ ∠B = ∠ADB。
通过等量代换可得∠CDE = ∠CED，根据等角对等边，可得CD=CE，因此△CDE是等腰三角形。
【答案】
△CDE是等腰三角形。理由：$\because CD// AB,\therefore ∠ CDE=∠ B$；$\because CE// AD,\therefore ∠ CED=∠ ADB$；$\because AB=AD,\therefore ∠ B=∠ ADB$，$\therefore ∠ CDE=∠ CED$，故$△ CDE$是等腰三角形。
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是借助平行线的性质完成角的转化，再结合等腰三角形的性质与判定完成推导，熟练掌握角的等量代换是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8

9. 如图，在$△ ABC$中，$AB=BC$，$BD ⊥ AC$于点$D$，$∠ ABD=30°$. 求证：$△ ABC$为等边三角形.

$\because AB = BC$，$BD ⊥ AC$ 于点 $D$，$\therefore ∠ ABC = 2∠ ABD = 60°$. 又$\because AB = BC,\therefore △ ABC$ 为等边三角形

【分析】
要证明$△ ABC$是等边三角形，首先已知$AB=BC$，可确定$△ ABC$是等腰三角形，根据等边三角形的判定规则，只需证明该等腰三角形有一个内角为$60°$即可。结合已知$BD⊥ AC$，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，得到$BD$是$∠ ABC$的角平分线，结合$∠ ABD=30°$就能求出$∠ ABC$的度数，进而完成证明。
【解析】
证明：
$\because AB = BC$，$BD ⊥ AC$ 于点 $D$，
$\therefore ∠ ABC = 2∠ ABD = 2×30°=60°$，
又$\because AB = BC$，
$\therefore △ ABC$ 为等边三角形。
【答案】
$△ ABC$为等边三角形
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，结合等边三角形的判定定理即可快速推导结论，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8