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15. “三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的，借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任一角.如图②所示，这个三等分角仪由两根有槽的木棒OA、OB组成，两根木棒在点O处相连并可绕点O转动，点C固定，$OC=CD=DE$，点D、E可在槽中滑动.
（1）图②中，$∠$
（2）试说明（1）中的结论是正确的.
（1）图②中，$∠$
O(或AOB)
$=\dfrac{1}{3}∠$ EDB
；（2）试说明（1）中的结论是正确的.
答案
15. (1) O(或AOB) EDB (2)
∵ OC = CD,
∴ ∠O = ∠CDO.
∵ ∠ECD 是 △CDO 的一个外角,
∴ ∠ECD = ∠O + ∠CDO = 2∠O. 又
∵ CD = DE,
∴ ∠DEC = ∠ECD = 2∠O.
∵ ∠EDB 是 △EDO 的一个外角,
∴ ∠EDB = ∠O + ∠DEO = 3∠O.
∴ ∠O = $\frac{1}{3}$∠EDB
∵ OC = CD,
∴ ∠O = ∠CDO.
∵ ∠ECD 是 △CDO 的一个外角,
∴ ∠ECD = ∠O + ∠CDO = 2∠O. 又
∵ CD = DE,
∴ ∠DEC = ∠ECD = 2∠O.
∵ ∠EDB 是 △EDO 的一个外角,
∴ ∠EDB = ∠O + ∠DEO = 3∠O.
∴ ∠O = $\frac{1}{3}$∠EDB
解析
【分析】
解决本题首先从已知的线段相等条件入手，首先根据OC=CD、CD=DE可得到两个等腰三角形，利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到相等的角，再结合三角形外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，逐步推导对应角的倍数关系，即可得到结论。
【解析】
（1）根据角的倍数关系推导结果，依次填入对应角即可。
（2）证明过程：
$\because OC = CD$，
$\therefore ∠ O = ∠ CDO$。
$\because ∠ ECD$是$△ CDO$的一个外角，
$\therefore ∠ ECD = ∠ O + ∠ CDO = 2∠ O$。
又$\because CD = DE$，
$\therefore ∠ DEC = ∠ ECD = 2∠ O$。
$\because ∠ EDB$是$△ EDO$的一个外角，
$\therefore ∠ EDB = ∠ O + ∠ DEO = ∠ O + 2∠ O=3∠ O$，
$\therefore ∠ O = \dfrac{1}{3}∠ EDB$。
【答案】
(1) $O$（或$AOB$）；$EDB$
(2) 证明过程见上述解析。
【知识点】
等腰三角形等边对等角；三角形外角的性质
【点评】
本题以古希腊“三等分角”问题为背景，考查等腰三角形性质与三角形外角性质的综合运用，解题的核心是通过等边转化等角，再利用外角性质建立角的倍数关系，能有效提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先从已知的线段相等条件入手，首先根据OC=CD、CD=DE可得到两个等腰三角形，利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到相等的角，再结合三角形外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，逐步推导对应角的倍数关系，即可得到结论。
【解析】
（1）根据角的倍数关系推导结果，依次填入对应角即可。
（2）证明过程：
$\because OC = CD$，
$\therefore ∠ O = ∠ CDO$。
$\because ∠ ECD$是$△ CDO$的一个外角，
$\therefore ∠ ECD = ∠ O + ∠ CDO = 2∠ O$。
又$\because CD = DE$，
$\therefore ∠ DEC = ∠ ECD = 2∠ O$。
$\because ∠ EDB$是$△ EDO$的一个外角，
$\therefore ∠ EDB = ∠ O + ∠ DEO = ∠ O + 2∠ O=3∠ O$，
$\therefore ∠ O = \dfrac{1}{3}∠ EDB$。
【答案】
(1) $O$（或$AOB$）；$EDB$
(2) 证明过程见上述解析。
【知识点】
等腰三角形等边对等角；三角形外角的性质
【点评】
本题以古希腊“三等分角”问题为背景，考查等腰三角形性质与三角形外角性质的综合运用，解题的核心是通过等边转化等角，再利用外角性质建立角的倍数关系，能有效提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
1. 在$△ ABC$中，若$∠ A=40°$，$∠ B=70°$，则$△ ABC$的形状是 【 】
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
答案
B
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，首先利用三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再根据角的数量关系结合各类三角形的判定条件逐一验证选项即可。第一步先根据三角形内角和为180°，用180°减去已知的∠A、∠B的度数算出∠C的度数；第二步对比三个角的大小，判断是否存在等角、直角或三个角全相等的情况，对应匹配三角形类型。
【解析】
解：根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 40° - 70° = 70°$
$\therefore ∠ B = ∠ C = 70°$
根据等腰三角形判定定理“等角对等边”，可得$AB=AC$，因此△ABC是等腰三角形。
其余选项分析：
A选项：三角形三个内角均不等于90°，不是直角三角形，排除；
C选项：等边三角形三个内角均为60°，与题意不符，排除；
D选项：等腰直角三角形需同时存在直角和两个等角，本题无90°角，排除。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查内角和的应用与等腰三角形的判定方法，熟练掌握基础定理即可快速作答，解题时注意区分不同类型三角形的角的特征，避免误选。
【难度系数】
0.9
要判断△ABC的形状，首先利用三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再根据角的数量关系结合各类三角形的判定条件逐一验证选项即可。第一步先根据三角形内角和为180°，用180°减去已知的∠A、∠B的度数算出∠C的度数；第二步对比三个角的大小，判断是否存在等角、直角或三个角全相等的情况，对应匹配三角形类型。
【解析】
解：根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 40° - 70° = 70°$
$\therefore ∠ B = ∠ C = 70°$
根据等腰三角形判定定理“等角对等边”，可得$AB=AC$，因此△ABC是等腰三角形。
其余选项分析：
A选项：三角形三个内角均不等于90°，不是直角三角形，排除；
C选项：等边三角形三个内角均为60°，与题意不符，排除；
D选项：等腰直角三角形需同时存在直角和两个等角，本题无90°角，排除。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查内角和的应用与等腰三角形的判定方法，熟练掌握基础定理即可快速作答，解题时注意区分不同类型三角形的角的特征，避免误选。
【难度系数】
0.9
2.（宁波期中）下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是 【 】
A.∠B=40°, ∠C=80°
B.∠A:∠B:∠C=1:2:3
C.2∠A=∠B+∠C
D.三个角的度数之比是2:2:1
A.∠B=40°, ∠C=80°
B.∠A:∠B:∠C=1:2:3
C.2∠A=∠B+∠C
D.三个角的度数之比是2:2:1
答案
D
解析
【分析】
要判定一个三角形是等腰三角形，核心依据是“有两个内角相等的三角形是等腰三角形”，结合三角形内角和为180°的性质，我们只需要逐个计算每个选项中三角形的三个内角度数，判断是否存在两个相等的角即可。
【解析】
根据三角形内角和为180°，逐一分析选项：
A选项：∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-80°=60°，三个角分别为40°、60°、80°，无相等内角，不能判定为等腰三角形；
B选项：设三个角的度数分别为x、2x、3x，可得x+2x+3x=180°，解得x=30°，三个角分别为30°、60°、90°，无相等内角，不能判定为等腰三角形；
C选项：将2∠A=∠B+∠C代入内角和公式，得∠A+2∠A=180°，解得∠A=60°，仅能推出∠B+∠C=120°，无法确定∠B和∠C是否相等，不能判定为等腰三角形；
D选项：设三个角的度数分别为2x、2x、x，可得2x+2x+x=180°，解得x=36°，三个角分别为72°、72°、36°，有两个相等的内角，可以判定为等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，重点考查等腰三角形的判定方法，解题的关键是熟练运用三角形内角和计算各内角度数，逐一验证选项即可，计算时需细心避免角度计算错误。
【难度系数】
0.8
要判定一个三角形是等腰三角形，核心依据是“有两个内角相等的三角形是等腰三角形”，结合三角形内角和为180°的性质，我们只需要逐个计算每个选项中三角形的三个内角度数，判断是否存在两个相等的角即可。
【解析】
根据三角形内角和为180°，逐一分析选项：
A选项：∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-80°=60°，三个角分别为40°、60°、80°，无相等内角，不能判定为等腰三角形；
B选项：设三个角的度数分别为x、2x、3x，可得x+2x+3x=180°，解得x=30°，三个角分别为30°、60°、90°，无相等内角，不能判定为等腰三角形；
C选项：将2∠A=∠B+∠C代入内角和公式，得∠A+2∠A=180°，解得∠A=60°，仅能推出∠B+∠C=120°，无法确定∠B和∠C是否相等，不能判定为等腰三角形；
D选项：设三个角的度数分别为2x、2x、x，可得2x+2x+x=180°，解得x=36°，三个角分别为72°、72°、36°，有两个相等的内角，可以判定为等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，重点考查等腰三角形的判定方法，解题的关键是熟练运用三角形内角和计算各内角度数，逐一验证选项即可，计算时需细心避免角度计算错误。
【难度系数】
0.8
3. 在$△ ABC$中,若$AB=AC=5$,$∠ B=60°$,则$BC$的值为 【 】
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
解析
【分析】
首先读题提取已知条件：△ABC中AB=AC，∠B=60°。第一步，由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得∠C=∠B=60°；第二步，结合三角形内角和为180°，可计算出顶角∠A=180°-60°-60°=60°，三个内角都是60°的三角形是等边三角形；第三步，根据等边三角形三边相等的性质，可得BC=AB=AC=5，即可选出正确答案。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠B=60°，
∵三角形内角和为180°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°，
∴△ABC的三个内角均为60°，是等边三角形，
∴BC=AB=AC=5，
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质；等边三角形判定；等边三角形性质
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查等腰三角形与等边三角形的转化规则，只要熟记“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理，就能快速得出结论。
【难度系数】
0.9
首先读题提取已知条件：△ABC中AB=AC，∠B=60°。第一步，由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得∠C=∠B=60°；第二步，结合三角形内角和为180°，可计算出顶角∠A=180°-60°-60°=60°，三个内角都是60°的三角形是等边三角形；第三步，根据等边三角形三边相等的性质，可得BC=AB=AC=5，即可选出正确答案。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠B=60°，
∵三角形内角和为180°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°，
∴△ABC的三个内角均为60°，是等边三角形，
∴BC=AB=AC=5，
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质；等边三角形判定；等边三角形性质
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查等腰三角形与等边三角形的转化规则，只要熟记“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理，就能快速得出结论。
【难度系数】
0.9
