13. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,AD为△ABC的角平分线.以点A圆心、AD长为半径作弧,与AB、AC分别交于点E、F,连结DE、DF,求∠BDE的度数.

在△ABC 中,
∵ AB=AC, ∠BAC=80°, AD 为△ABC 的角平分线,
∴ AD ⊥ BC, ∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°.
∴ ∠ADB=∠ADC=90°.
∵ 以点 A 圆心、AD 长为半径作弧,与 AB、AC 分别交于点 E、F,
∴ AD=AE=AF.
∴ ∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAD)=70°.
∴ ∠BDE=∠ADB-∠ADE=20°

【分析】
解题首先结合等腰△ABC和角平分线AD的条件，调用等腰三角形“三线合一”的性质，可得到AD垂直BC，同时算出∠BAD的度数、∠ADB的度数；再根据“以A为圆心AD为半径画弧”的条件，可知同圆半径相等，即AE=AD，得到△ADE是等腰三角形，利用三角形内角和定理即可算出∠ADE的度数；最后根据角的和差关系，用∠ADB减去∠ADE就能求出∠BDE的度数。
【解析】
在△ABC中，
∵ AB=AC，∠BAC=80°，AD为△ABC的角平分线，
∴ AD⊥BC，$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=40°$，
∴ $∠ ADB=90°$。
∵ 以点A为圆心、AD长为半径作弧，与AB、AC分别交于点E、F，
∴ AE=AD，△ADE为等腰三角形，
∴ $∠ ADE=∠ AED=\frac{1}{2}×(180°-∠ BAD)=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$，
∴ $∠ BDE=∠ ADB-∠ ADE=90°-70°=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础常考题，解题关键是熟练掌握等腰三角形的相关性质，能挖掘“同圆半径相等”这一隐含条件得到等腰三角形，再结合角的和差关系求解即可。
【难度系数】
0.7

14. 如图,在$△ ABC$中, $AC=BC$, $∠ ACB=120°$, $BE ⊥ AB$, $D$ 为边 $BC$ 上一点, 且 $CD=BE$, $AD$、$CE$ 相交于点 $P$.
(1) 求证: $△ ACD ≌ △ CBE$;
(2) 猜想$∠ APC$的度数,并证明.

(1)
∵ AC = BC, ∠ACB = 120°,
∴ ∠CAB = ∠CBA = 30°.
∵ BE ⊥ AB,
∴ ∠CBE = ∠CBA + ∠ABE = 30° + 90° = 120°.
∴ ∠ACB = ∠CBE. 在 △ACD 和 △CBE 中,
∵ $\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACB=∠CBA, \\ CD=BE, \end{cases}$
∴ △ACD ≌ △CBE (2) ∠APC = 60°. 证明如下:
∵ △ACD ≌ △CBE,
∴ ∠CAP = ∠PCD.
∵ ∠ACP + ∠PCD = 120°,
∴ ∠CAP + ∠ACP = 120°.
∴ ∠APC = 180° - (∠CAP + ∠ACP) = 60°

【分析】
(1) 要证明△ACD≌△CBE，已知两组边相等：AC=BC、CD=BE，结合全等三角形的SAS判定定理，只需证明两组边的夹角∠ACD和∠CBE相等即可。首先根据等腰△ABC的顶角∠ACB=120°，计算出底角∠CBA=30°，再结合BE⊥AB得到∠ABE=90°，可推出∠CBE=120°，即和∠ACD相等，即可满足SAS判定条件完成证明。
(2) 猜想∠APC的度数为60°，可利用(1)的全等结论得到对应角相等，将△APC中的内角进行代换，结合三角形内角和定理即可求出∠APC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AC = BC$，$∠ ACB = 120°$，
∴ $∠ CAB = ∠ CBA = \frac{1}{2}×(180° - 120°) = 30°$，
∵ $BE ⊥ AB$，
∴ $∠ ABE = 90°$，
∴ $∠ CBE = ∠ CBA + ∠ ABE = 30° + 90° = 120°$，
∴ $∠ ACD = ∠ CBE = 120°$，
在$△ ACD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}AC = BC \\∠ ACD = ∠ CBE \\CD = BE\end{cases}$
∴ $△ ACD ≌ △ CBE$（SAS）
(2) 猜想$∠ APC = 60°$，证明如下：
∵ $△ ACD ≌ △ CBE$，
∴ $∠ CAP = ∠ BCE$，
∵ $∠ ACB = ∠ ACP + ∠ BCE = 120°$，
∴ $∠ CAP + ∠ ACP = 120°$，
在$△ APC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ APC = 180° - (∠ CAP + ∠ ACP) = 180° - 120° = 60°$
【答案】
(1) 已证$△ ACD ≌ △ CBE$；
(2) $∠ APC = 60°$
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形模块的基础综合题，解题关键是先利用等腰三角形性质推导角的等量关系，结合已知边相等的条件证明三角形全等，再通过全等的性质进行角的代换求解角度，掌握全等三角形的判定和性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7