8.（温州中考）如图，BE是△ABC的角平分线，在边AB上取点D，使DB=DE.
（1）求证：DE // BC；
（2）若∠A=65°，∠AED=45°，求∠EBC的度数.

(1)
∵ BE 是 △ABC 的角平分线,
∴ ∠DBE = ∠EBC.
∵ DB = DE,
∴ ∠DEB = ∠DBE.
∴ ∠DEB = ∠EBC.
∴ DE // BC (2)
∵ DE // BC,
∴ ∠C = ∠AED = 45°. 在 △ABC 中,∠A + ∠ABC + ∠C = 180°,
∴ ∠ABC = 180° - ∠A - ∠C = 70°.
∵ BE 是 △ABC 的角平分线,
∴ ∠DBE = ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 35°

【分析】
（1）要证DE//BC，可通过证明内错角相等推导：首先利用角平分线的定义得到∠DBE=∠EBC，再结合等腰三角形等边对等角的性质得到∠DEB=∠DBE，等量代换后得到∠DEB=∠EBC，即可判定两直线平行；
（2）首先利用（1）中平行的结论，由平行线的性质得到∠C=∠AED，再根据三角形内角和为180°，结合已知的∠A和求得的∠C算出∠ABC的度数，最后利用角平分线的性质，∠EBC为∠ABC的一半，计算即可得到结果。
【解析】
（1）证明：
∵ BE是△ABC的角平分线，
∴ ∠DBE = ∠EBC，
∵ DB = DE，
∴ ∠DEB = ∠DBE（等腰三角形等边对等角），
∴ ∠DEB = ∠EBC，
∴ DE // BC（内错角相等，两直线平行）。
（2）解：
∵ DE // BC，
∴ ∠C = ∠AED = 45°（两直线平行，同位角相等），
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∴ ∠ABC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 65° - 45° = 70°，
∵ BE是△ABC的角平分线，
∴ ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
【答案】
（1）DE//BC，证明见解析；
（2）∠EBC的度数为35°
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.平行线的判定与性质
3.三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类几何综合题，将角平分线、等腰三角形、平行线的性质及三角形内角和定理结合考查，解题核心是梳理清楚角之间的等量关系，做好等量代换，是巩固几何基础的典型习题。
【难度系数】
0.7

9. 如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，$∠ E=45°$，$∠ B=30°$，$AC // EF$，$CA=CF$，连结$AF$，则$∠ BAF$的度数是 【 】

A.$127.5°$
B.$135°$
C.$120°$
D.$105°$

A

【分析】
解题可分三步思考：首先，已知$AC// EF$，$∠ E=45°$，可根据平行线的同位角相等先求出$∠ ACF$的度数；其次，已知$CA=CF$，说明$△ CAF$是等腰三角形，结合三角形内角和定理就能算出底角$∠ CAF$的度数；最后，结合$30°$直角三角板的内角特征得到$∠ BAC$的度数，将$∠ BAC$与$∠ CAF$相加即可得到$∠ BAF$的度数。
【解析】
1. 由$AC // EF$，$∠ E=45°$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ ACF = ∠ E = 45°$。
2. 因为$CA=CF$，所以$△ CAF$为等腰三角形，$∠ CAF = ∠ CFA$。根据三角形内角和为$180°$，计算得：
$∠ CAF = \frac{180° - ∠ ACF}{2} = \frac{180° - 45°}{2} = 67.5°$。
3. 在含$30°$角的直角三角板$ABC$中，$∠ B=30°$，$∠ ACB=90°$，因此$∠ BAC = 180° - 90° - 30° = 60°$。
4. 因此$∠ BAF = ∠ BAC + ∠ CAF = 60° + 67.5° = 127.5°$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合三角板的特征考查几何基础性质的综合应用，解题的关键是准确识别平行线的同位角、等腰三角形的底角关系，熟记相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

10. 如图，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB=AC，∠CAD=20°，则∠AEC的度数是 【 】

A.95°
B.100°
C.105°
D.110°

C

【分析】
首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，AD是△ABC的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD同时是顶角∠BAC的角平分线，由此可先求出∠BAC的度数；再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理求出底角∠ACB的度数；接下来CE是∠ACB的角平分线，根据角平分线定义求出∠ACE的度数；最后在△AEC中利用三角形内角和定理，即可求出∠AEC的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线
∴AD平分∠BAC，∠B=∠ACB（等腰三角形三线合一、两底角相等）
∵∠CAD=20°
∴∠BAC=2∠CAD=2×20°=40°
∴$∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$
∵CE是△ABC的角平分线
∴$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×70°=35°$
在△AEC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ AEC=180°-∠ BAC-∠ ACE=180°-40°-35°=105°$
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质，结合角平分线定义和三角形内角和定理逐步推导角度，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

11. 如图,已知$△ ABC$是等边三角形,点$B$、$C$、$D$、$E$在同一条直线上,且$CG=CD$,$DF=DE$,则$∠ E$的度数为.

11. 15°

【分析】
解题时首先从已知的等边三角形入手，利用等边三角形内角为60°的性质求出∠ACB的度数，进而得到其邻补角∠ACD的度数；再结合CG=CD可知△CDG为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质可求出底角∠CDG的度数；最后根据DF=DE可知△DFE为等腰三角形，结合三角形外角等于不相邻两内角和的性质，即可推出∠E与∠CDG的数量关系，代入计算得到∠E的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°，
∵CG=CD，
∴∠CGD=∠CDG，
∴∠CDG = $\frac{180° - ∠ ACD}{2} = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$，
∵DF=DE，
∴∠DFE=∠E，
又
∵∠CDG是△DFE的外角，
∴∠CDG=∠DFE+∠E=2∠E，
∴∠E = $\frac{1}{2}∠ CDG = \frac{1}{2} × 30° = 15°$。
【答案】
15°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，综合考查了特殊三角形的性质和三角形外角定理，解题的关键是理清各个角之间的推导关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

12. 如图，在$△ ABC$中，E是边AB上一点，连结CE，且$BE=CE$，过点E作$ED ⊥ BC$于点D，若$△ ACE$的周长为20，$BD=3$，则$△ ABC$的周长为。

12. 26

【分析】
解题时先从已知条件BE=CE、ED⊥BC入手，利用等腰三角形三线合一的性质可推出D为BC中点，先计算出BC的长度；再观察△ACE的周长构成，将其中的CE等量替换为BE，就能得到AB与AC的长度和，最后结合三角形周长公式，将AB+AC的和与BC的长度相加，即可求出△ABC的周长。
【解析】
解：
∵BE=CE，ED⊥BC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得D是BC的中点，
∴BC=2BD，
∵BD=3，
∴BC=2×3=6。
∵△ACE的周长为20，
∴AC+AE+CE=20，
又
∵CE=BE，
∴AC+AE+BE=AC+AB=20，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=20+6=26。
【答案】
26
【知识点】
等腰三角形三线合一，三角形周长计算，等量代换
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质的应用，解题的核心是通过等量代换把未知线段和转化为已知的周长条件，结合等腰三角形三线合一求出底边长度，是几何基础应用类题目。
【难度系数】
0.7