2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为边$BC$的中点，则下列结论中不正确的是 【 】

A.$△ ABD ≌ △ ACD$
B.$∠ B = ∠ C$
C.$AD$平分$∠ BAC$
D.$AD = BD$
（第2题）

D

【分析】
首先由已知AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，结合D是BC中点的条件，依次结合等腰三角形性质、全等三角形判定定理分析各选项：利用SSS可判断三角形全等，由等边对等角可判断底角关系，由三线合一可判断角平分线，AD=BD需要顶角为直角的特殊条件，题目未给出，即可锁定错误选项。
【解析】
已知$AB=AC$，因此$△ ABC$是等腰三角形：
1. 根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得$∠ B=∠ C$，故B选项结论正确；
2. $\because D$是$BC$中点，$\therefore BD=CD$，
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ BD=CD\\ AD=AD(\mathrm{公共边})\end{array} $
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SSS})$，故A选项结论正确；
3. 由$△ ABD ≌ △ ACD$可得$∠ BAD=∠ CAD$，即$AD$平分$∠ BAC$，符合等腰三角形“三线合一”性质，故C选项结论正确；
4. 仅当$∠ BAC=90°$时才有$AD=BD$，题目未给出该条件，因此D选项结论不成立。
题目要求选择不正确的结论，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三线合一
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形相关性质和全等三角形的判定，熟练掌握对应知识点即可快速判断各选项正误。
【难度系数】
0.9

3. 如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在边AC上，AE=AD，则∠EDC=
【 】

A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$

A

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先等边三角形的三个内角都是60°，且中线同时具备角平分线、高的性质（三线合一），可先求出∠DAC和∠ADC的度数；再根据AE=AD可知△ADE是等腰三角形，结合三角形内角和定理算出底角∠ADE的度数；最后用∠ADC减去∠ADE即可得到∠EDC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°，且根据等边三角形三线合一的性质，AD⊥BC，AD平分∠BAC
∴∠ADC=90°，$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$
又
∵AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形
根据等腰三角形等边对等角、三角形内角和为180°可得：
$∠ ADE=∠ AED=\frac{180°-∠ DAC}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$
∴$∠ EDC=∠ ADC-∠ ADE=90°-75°=15°$
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础类几何计算题，解题核心是灵活运用等腰（等边）三角形的三线合一、等边对等角等性质推导角度关系，是三角形性质考查的常见题型。
【难度系数】
0.8

4. 如果等腰三角形的一个内角为$40°$,那么它的底角是 【 】

A.$100°$
B.$70°$
C.$70°$或$100°$
D.$40°$或$70°$

D

【分析】
解题时首先回忆两个核心知识点：一是等腰三角形两底角相等的性质，二是三角形内角和为180°。由于题目仅说明有一个内角是40°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①40°为顶角；②40°为底角。分别计算两种情况下的底角度数，再验证是否符合三角形内角和要求，最终汇总得到结果。
【解析】
已知等腰三角形的一个内角为40°，分两种情况讨论：
1. 当40°的角为等腰三角形的顶角时：
根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可得底角的度数为：$\frac{180° - 40°}{2} = 70°$；
2. 当40°的角为等腰三角形的底角时：
此时顶角为$180° - 40° × 2 = 100°$，符合三角形内角和定理，底角即为40°。
综上，该等腰三角形的底角为40°或70°，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型习题，核心考查分类讨论思想，解题时需注意未明确是顶角还是底角的内角要分情况讨论，同时要验证所得结果是否符合三角形内角和的约束，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.8

5. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,CD是边AB上的高,若∠A=42°,则∠DCB的度数为。

5. 21°

【分析】
解题时先从已知条件入手：①已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=42°，根据等腰三角形“两底角相等”的性质，结合三角形内角和为180°，可先求出底角∠B的度数；②已知CD是AB边上的高，可得△CDB是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠B的度数即可求出∠DCB的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠A=42°，
∴∠B=∠ACB=(180°−∠A)÷2=(180°−42°)÷2=69°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDB=90°，
在Rt△CDB中，∠DCB + ∠B = 90°，
∴∠DCB=90°−∠B=90°−69°=21°。
【答案】
21°
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查等腰三角形和直角三角形的基础性质，解题的关键是先求出等腰三角形底角的度数，再结合直角三角形的锐角关系计算待求角度，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6. 如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的中线，以点D为圆心、DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠CDE=。

6. 30°

【分析】
要计算∠CDE的度数，我们可以分步推导：首先利用等边三角形的性质和中线的特点，求出∠DBC的度数；再根据同圆半径相等得到DB=DE，推出△DBE是等腰三角形，得到∠E的度数；最后利用三角形外角的性质，用∠ACB减去∠E就能求出∠CDE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD是AC边上的中线，根据等边三角形三线合一的性质，
∴BD平分∠ABC，即$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，
由作图可知DB=DE，
∴△DBE为等腰三角形，$∠ E=∠ DBC=30°$，
又
∵∠ACB是△DCE的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和，
∴$∠ ACB=∠ CDE+∠ E$，
∴$∠ CDE=∠ ACB-∠ E=60°-30°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
等边三角形性质，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是熟练掌握特殊三角形的性质，找到已知角和未知角的数量关系即可快速求解，考查学生对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7

7. 如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，∠A=40°，若以点B为圆心、BC长为半径作弧，交腰AC于点E，求∠ABE的度数.

∵ AB = AC, ∠A = 40°,
∴ ∠ABC = ∠ACB = $\frac{180°-∠A}{2}=70°$. 由作图方法可知,BE = BC,
∴ ∠BEC = ∠ACB = 70°.
∴ ∠ABE = ∠BEC - ∠A = 30°

【分析】
解题时先从已知条件出发：首先，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC且给出顶角∠A的度数，根据等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和为180°，可先计算出两个底角∠ABC、∠ACB的度数；其次，根据作图规则，以B为圆心、BC为半径画弧得到的线段BE与BC长度相等，因此△BEC也是等腰三角形，可推出∠BEC与∠ACB相等；最后，∠BEC是△ABE的外角，根据三角形外角的性质即可推导计算出∠ABE的度数。
【解析】
∵ AB = AC，∠A = 40°，
∴ ∠ABC = ∠ACB = $\frac{180°-∠A}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
由作图方法可知，BE = BC，
∴ ∠BEC = ∠ACB = 70°，
又
∵ ∠BEC是△ABE的外角，满足∠BEC = ∠A + ∠ABE，
∴ ∠ABE = ∠BEC - ∠A = 70° - 40° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算类题目，解题核心是准确理解作图含义得到相等的边，再结合等腰三角形和三角形外角的相关性质逐步推导角的度数，只要熟练掌握基础几何性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7