登录
21. (10分)已知$3a+b-1$的算术平方根是1，$\sqrt{13}$的整数部分是$c$，求$3a+b-c$的值.
答案
解：
∵ $3a+b-1$的算术平方根是1，
∴ $3a+b-1 = 1^2 = 1$，
∴ $3a+b = 2$。
∵ $9 ＜ 13 ＜ 16$，
∴ $\sqrt{9} ＜ \sqrt{13} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$，
∴ $\sqrt{13}$的整数部分$c=3$。
将$3a+b=2$，$c=3$代入$3a+b-c$，得：
$3a+b-c = 2 - 3 = -1$。
综上，$3a+b-c$的值为$-1$。
∵ $3a+b-1$的算术平方根是1，
∴ $3a+b-1 = 1^2 = 1$，
∴ $3a+b = 2$。
∵ $9 ＜ 13 ＜ 16$，
∴ $\sqrt{9} ＜ \sqrt{13} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$，
∴ $\sqrt{13}$的整数部分$c=3$。
将$3a+b=2$，$c=3$代入$3a+b-c$，得：
$3a+b-c = 2 - 3 = -1$。
综上，$3a+b-c$的值为$-1$。
解析
【分析】
解题时从两个已知条件逐步推导：首先根据算术平方根的定义，一个数的算术平方根为1时，这个数本身等于1的平方，据此可求出3a+b的值；其次估算√13的整数部分，找到和13相邻的两个完全平方数，确定√13的取值范围即可得到整数c的值；最后把求得的3a+b和c的值代入待求式子计算即可得到结果。
【解析】
∵ $3a+b-1$的算术平方根是1，
∴ $3a+b-1 = 1^2 = 1$，
∴ $3a+b = 2$。
∵ $9 ＜ 13 ＜ 16$，
∴ $\sqrt{9} ＜ \sqrt{13} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$，
∴ $\sqrt{13}$的整数部分$c=3$。
将$3a+b=2$，$c=3$代入$3a+b-c$，得：
$3a+b-c = 2 - 3 = -1$。
综上，$3a+b-c$的值为$-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
算术平方根的定义；无理数的估算；代数式求值
【点评】
本题属于基础类考题，结合了算术平方根性质和无理数估算两个核心基础知识点，解题逻辑清晰，掌握相关概念即可顺利求解，计算时注意避免符号错误。
【难度系数】
0.8
解题时从两个已知条件逐步推导：首先根据算术平方根的定义，一个数的算术平方根为1时，这个数本身等于1的平方，据此可求出3a+b的值；其次估算√13的整数部分，找到和13相邻的两个完全平方数，确定√13的取值范围即可得到整数c的值；最后把求得的3a+b和c的值代入待求式子计算即可得到结果。
【解析】
∵ $3a+b-1$的算术平方根是1，
∴ $3a+b-1 = 1^2 = 1$，
∴ $3a+b = 2$。
∵ $9 ＜ 13 ＜ 16$，
∴ $\sqrt{9} ＜ \sqrt{13} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$，
∴ $\sqrt{13}$的整数部分$c=3$。
将$3a+b=2$，$c=3$代入$3a+b-c$，得：
$3a+b-c = 2 - 3 = -1$。
综上，$3a+b-c$的值为$-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
算术平方根的定义；无理数的估算；代数式求值
【点评】
本题属于基础类考题，结合了算术平方根性质和无理数估算两个核心基础知识点，解题逻辑清晰，掌握相关概念即可顺利求解，计算时注意避免符号错误。
【难度系数】
0.8
22. (10分)已知$\sqrt{3}$是无理数,我们不可能全部写出$\sqrt{3}$的小数部分,于是就用$\sqrt{3}-1$来表示$\sqrt{3}$的小数部分.
请用这种表示方法解答下列问题:
(1)如果$\sqrt{13}$的小数部分为$a$,整数部分是$b$,求$a-b-\sqrt{13}$的值;
(2)已知$10+\sqrt{23}=2x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1$,求$3x-y$的值.
请用这种表示方法解答下列问题:
(1)如果$\sqrt{13}$的小数部分为$a$,整数部分是$b$,求$a-b-\sqrt{13}$的值;
(2)已知$10+\sqrt{23}=2x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1$,求$3x-y$的值.
答案
解：
(1) 因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，
所以$3＜\sqrt{13}＜4$，
因此$\sqrt{13}$的整数部分$b=3$，小数部分$a=\sqrt{13}-3$。
将$a$、$b$代入$a-b-\sqrt{13}$：
$\begin{aligned}a-b-\sqrt{13}&=(\sqrt{13}-3)-3-\sqrt{13}\\&=-6\end{aligned}$
(2) 因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜23＜25$，
所以$4＜\sqrt{23}＜5$，
因此$14＜10+\sqrt{23}＜15$。
又因为$10+\sqrt{23}=2x+y$，$x$是整数，$0＜y＜1$，
所以$2x=14$，$y=10+\sqrt{23}-14=\sqrt{23}-4$，
解得$x=7$。
将$x=7$，$y=\sqrt{23}-4$代入$3x-y$：
$\begin{aligned}3x-y&=3×7 - (\sqrt{23}-4)\\&=21-\sqrt{23}+4\\&=25-\sqrt{23}\end{aligned}$
综上，(1) $a-b-\sqrt{13}$的值为$-6$；(2) $3x-y$的值为$25-\sqrt{23}$。
(1) 因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，
所以$3＜\sqrt{13}＜4$，
因此$\sqrt{13}$的整数部分$b=3$，小数部分$a=\sqrt{13}-3$。
将$a$、$b$代入$a-b-\sqrt{13}$：
$\begin{aligned}a-b-\sqrt{13}&=(\sqrt{13}-3)-3-\sqrt{13}\\&=-6\end{aligned}$
(2) 因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜23＜25$，
所以$4＜\sqrt{23}＜5$，
因此$14＜10+\sqrt{23}＜15$。
又因为$10+\sqrt{23}=2x+y$，$x$是整数，$0＜y＜1$，
所以$2x=14$，$y=10+\sqrt{23}-14=\sqrt{23}-4$，
解得$x=7$。
将$x=7$，$y=\sqrt{23}-4$代入$3x-y$：
$\begin{aligned}3x-y&=3×7 - (\sqrt{23}-4)\\&=21-\sqrt{23}+4\\&=25-\sqrt{23}\end{aligned}$
综上，(1) $a-b-\sqrt{13}$的值为$-6$；(2) $3x-y$的值为$25-\sqrt{23}$。
解析
【分析】
解决本题的核心思路是先通过相邻完全平方数估算无理数的取值范围，确定其整数部分和小数部分，再代入代数式化简计算：①对于第(1)问，先找到和13相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{13}$介于哪两个相邻整数之间，即可得到它的整数部分$b$，再用“小数部分=原数-整数部分”得到$a$，最后代入$a-b-\sqrt{13}$计算即可；②对于第(2)问，同理先估算$\sqrt{23}$的取值范围，进而得到$10+\sqrt{23}$的取值范围，结合$x$是整数、$0＜y＜1$的条件，确定$2x$是$10+\sqrt{23}$的整数部分，$y$是它的小数部分，求出$x$、$y$后代入$3x-y$计算即可。
【解析】
(1) 因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，
所以$3＜\sqrt{13}＜4$，
因此$\sqrt{13}$的整数部分$b=3$，小数部分$a=\sqrt{13}-3$。
将$a$、$b$代入$a-b-\sqrt{13}$：
$\begin{aligned}a-b-\sqrt{13}&=(\sqrt{13}-3)-3-\sqrt{13}\\&=-6\end{aligned}$
(2) 因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜23＜25$，
所以$4＜\sqrt{23}＜5$，
因此$14＜10+\sqrt{23}＜15$。
又因为$10+\sqrt{23}=2x+y$，$x$是整数，$0＜y＜1$，
所以$2x=14$，$y=10+\sqrt{23}-14=\sqrt{23}-4$，
解得$x=7$。
将$x=7$，$y=\sqrt{23}-4$代入$3x-y$：
$\begin{aligned}3x-y&=3×7 - (\sqrt{23}-4)\\&=21-\sqrt{23}+4\\&=25-\sqrt{23}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6}$；(2) $\boldsymbol{25-\sqrt{23}}$
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；实数的运算
【点评】
本题是无理数相关的常考基础题，解题关键是掌握用相邻完全平方数估算无理数范围的方法，准确确定无理数的整数部分和小数部分，计算时注意遵守去括号的符号规则即可。
【难度系数】
0.75
解决本题的核心思路是先通过相邻完全平方数估算无理数的取值范围，确定其整数部分和小数部分，再代入代数式化简计算：①对于第(1)问，先找到和13相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{13}$介于哪两个相邻整数之间，即可得到它的整数部分$b$，再用“小数部分=原数-整数部分”得到$a$，最后代入$a-b-\sqrt{13}$计算即可；②对于第(2)问，同理先估算$\sqrt{23}$的取值范围，进而得到$10+\sqrt{23}$的取值范围，结合$x$是整数、$0＜y＜1$的条件，确定$2x$是$10+\sqrt{23}$的整数部分，$y$是它的小数部分，求出$x$、$y$后代入$3x-y$计算即可。
【解析】
(1) 因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，
所以$3＜\sqrt{13}＜4$，
因此$\sqrt{13}$的整数部分$b=3$，小数部分$a=\sqrt{13}-3$。
将$a$、$b$代入$a-b-\sqrt{13}$：
$\begin{aligned}a-b-\sqrt{13}&=(\sqrt{13}-3)-3-\sqrt{13}\\&=-6\end{aligned}$
(2) 因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜23＜25$，
所以$4＜\sqrt{23}＜5$，
因此$14＜10+\sqrt{23}＜15$。
又因为$10+\sqrt{23}=2x+y$，$x$是整数，$0＜y＜1$，
所以$2x=14$，$y=10+\sqrt{23}-14=\sqrt{23}-4$，
解得$x=7$。
将$x=7$，$y=\sqrt{23}-4$代入$3x-y$：
$\begin{aligned}3x-y&=3×7 - (\sqrt{23}-4)\\&=21-\sqrt{23}+4\\&=25-\sqrt{23}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6}$；(2) $\boldsymbol{25-\sqrt{23}}$
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；实数的运算
【点评】
本题是无理数相关的常考基础题，解题关键是掌握用相邻完全平方数估算无理数范围的方法，准确确定无理数的整数部分和小数部分，计算时注意遵守去括号的符号规则即可。
【难度系数】
0.75
