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23. (11分)如图6,将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上,使正方形一个顶点和原点O重合,一条边恰好落在数轴上,其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B.
(1)点A表示的数为,点B表示的数为,线段AB的长度为.
(2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点C,设点C表示的数为c.
①实数c的值为;
②求|c+1|+|c−1|的值.
(3)在数轴上,还有D、E两点分别表示m、n,且有|2m+n|与$\sqrt{n^2 -16}$互为相反数,求2m−3n的平方根.
(1)点A表示的数为,点B表示的数为,线段AB的长度为.
(2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点C,设点C表示的数为c.
①实数c的值为;
②求|c+1|+|c−1|的值.
(3)在数轴上,还有D、E两点分别表示m、n,且有|2m+n|与$\sqrt{n^2 -16}$互为相反数,求2m−3n的平方根.
答案
解：
(1) 面积为2的正方形边长为$\sqrt{2}$，点A在原点左侧，故点A表示的数为$\boldsymbol{-\sqrt{2}}$；
面积为3的正方形边长为$\sqrt{3}$，点B在原点右侧，故点B表示的数为$\boldsymbol{\sqrt{3}}$；
线段AB的长度为$\sqrt{3}-(-\sqrt{2})=\boldsymbol{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$。
(2) ① 蚂蚁从点A向右爬行2个单位，故$c=-\sqrt{2}+2=\boldsymbol{2-\sqrt{2}}$。
② 由$c=2-\sqrt{2}$，可得$c+1=3-\sqrt{2}＞0$，$c-1=1-\sqrt{2}＜0$，
$|c+1|+|c-1|$
$=(c+1)+(1-c)$
$=2$
(3) 由题意得$|2m+n|+\sqrt{n^2-16}=0$，
$\because |2m+n|≥0$，$\sqrt{n^2-16}≥0$，
$\therefore \begin{cases}2m+n=0 \\ n^2-16=0 \end{cases}$
由$n^2-16=0$得$n=\pm4$。
当$n=4$时，代入$2m+n=0$得$2m=-4$，此时$2m-3n=-4-12=-16＜0$，负数没有平方根，舍去；
当$n=-4$时，代入$2m+n=0$得$2m=4$，此时$2m-3n=4-3×(-4)=16$，
16的平方根为$\pm4$。
$\therefore 2m-3n$的平方根为$\pm4$。
(1) 面积为2的正方形边长为$\sqrt{2}$，点A在原点左侧，故点A表示的数为$\boldsymbol{-\sqrt{2}}$；
面积为3的正方形边长为$\sqrt{3}$，点B在原点右侧，故点B表示的数为$\boldsymbol{\sqrt{3}}$；
线段AB的长度为$\sqrt{3}-(-\sqrt{2})=\boldsymbol{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$。
(2) ① 蚂蚁从点A向右爬行2个单位，故$c=-\sqrt{2}+2=\boldsymbol{2-\sqrt{2}}$。
② 由$c=2-\sqrt{2}$，可得$c+1=3-\sqrt{2}＞0$，$c-1=1-\sqrt{2}＜0$，
$|c+1|+|c-1|$
$=(c+1)+(1-c)$
$=2$
(3) 由题意得$|2m+n|+\sqrt{n^2-16}=0$，
$\because |2m+n|≥0$，$\sqrt{n^2-16}≥0$，
$\therefore \begin{cases}2m+n=0 \\ n^2-16=0 \end{cases}$
由$n^2-16=0$得$n=\pm4$。
当$n=4$时，代入$2m+n=0$得$2m=-4$，此时$2m-3n=-4-12=-16＜0$，负数没有平方根，舍去；
当$n=-4$时，代入$2m+n=0$得$2m=4$，此时$2m-3n=4-3×(-4)=16$，
16的平方根为$\pm4$。
$\therefore 2m-3n$的平方根为$\pm4$。
解析
【分析】
解题时可按小问逐步分析：(1) 先根据正方形面积公式$S=a^2$，可得边长为面积的算术平方根，再结合点A在原点左侧、点B在原点右侧，即可得到两点表示的数；数轴上两点间的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数，据此计算AB长度。(2) ①数轴上点向右平移，对应数加上平移的单位长度，即可得到c的值；②先判断$c+1$和$c-1$的正负，再根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号后计算即可。(3) 互为相反数的两个数和为0，结合绝对值和算术平方根的非负性，可得两个非负式子均为0，列方程组求解m、n，再根据平方根的定义（负数没有平方根）舍去不合题意的解，最终计算结果即可。
【解析】
(1) 面积为2的正方形边长为$\sqrt{2}$，点A在原点左侧，故点A表示的数为$-\sqrt{2}$；
面积为3的正方形边长为$\sqrt{3}$，点B在原点右侧，故点B表示的数为$\sqrt{3}$；
线段AB的长度为$\sqrt{3}-(-\sqrt{2})=\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
(2) ① 蚂蚁从点A向右爬行2个单位，故$c=-\sqrt{2}+2=2-\sqrt{2}$。
② 由$c=2-\sqrt{2}$，可得$c+1=3-\sqrt{2}＞0$，$c-1=1-\sqrt{2}＜0$，
$|c+1|+|c-1|$
$=(c+1)+(1-c)$
$=2$
(3) 由题意得$|2m+n|+\sqrt{n^2-16}=0$，
$\because |2m+n|≥0$，$\sqrt{n^2-16}≥0$，
$\therefore \begin{cases}2m+n=0 \\ n^2-16=0 \end{cases}$
由$n^2-16=0$得$n=\pm4$。
当$n=4$时，代入$2m+n=0$得$2m=-4$，此时$2m-3n=-4-12=-16＜0$，负数没有平方根，舍去；
当$n=-4$时，代入$2m+n=0$得$2m=4$，此时$2m-3n=4-3×(-4)=16$，
16的平方根为$\pm4$。
$\therefore 2m-3n$的平方根为$\pm4$。
【答案】
(1) $-\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}+\sqrt{2}$；
(2) ① $2-\sqrt{2}$；② $2$；
(3) $\pm4$
【知识点】
实数与数轴，绝对值的化简，非负数的性质
【点评】
本题是实数相关知识点的基础综合题，解题时需要结合数形结合思想判断数轴上点的符号，化简绝对值时先判断式子的正负，求解平方根时要注意负数没有平方根，需舍去不合题意的解，能较好地考查对实数基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题时可按小问逐步分析：(1) 先根据正方形面积公式$S=a^2$，可得边长为面积的算术平方根，再结合点A在原点左侧、点B在原点右侧，即可得到两点表示的数；数轴上两点间的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数，据此计算AB长度。(2) ①数轴上点向右平移，对应数加上平移的单位长度，即可得到c的值；②先判断$c+1$和$c-1$的正负，再根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号后计算即可。(3) 互为相反数的两个数和为0，结合绝对值和算术平方根的非负性，可得两个非负式子均为0，列方程组求解m、n，再根据平方根的定义（负数没有平方根）舍去不合题意的解，最终计算结果即可。
【解析】
(1) 面积为2的正方形边长为$\sqrt{2}$，点A在原点左侧，故点A表示的数为$-\sqrt{2}$；
面积为3的正方形边长为$\sqrt{3}$，点B在原点右侧，故点B表示的数为$\sqrt{3}$；
线段AB的长度为$\sqrt{3}-(-\sqrt{2})=\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
(2) ① 蚂蚁从点A向右爬行2个单位，故$c=-\sqrt{2}+2=2-\sqrt{2}$。
② 由$c=2-\sqrt{2}$，可得$c+1=3-\sqrt{2}＞0$，$c-1=1-\sqrt{2}＜0$，
$|c+1|+|c-1|$
$=(c+1)+(1-c)$
$=2$
(3) 由题意得$|2m+n|+\sqrt{n^2-16}=0$，
$\because |2m+n|≥0$，$\sqrt{n^2-16}≥0$，
$\therefore \begin{cases}2m+n=0 \\ n^2-16=0 \end{cases}$
由$n^2-16=0$得$n=\pm4$。
当$n=4$时，代入$2m+n=0$得$2m=-4$，此时$2m-3n=-4-12=-16＜0$，负数没有平方根，舍去；
当$n=-4$时，代入$2m+n=0$得$2m=4$，此时$2m-3n=4-3×(-4)=16$，
16的平方根为$\pm4$。
$\therefore 2m-3n$的平方根为$\pm4$。
【答案】
(1) $-\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}+\sqrt{2}$；
(2) ① $2-\sqrt{2}$；② $2$；
(3) $\pm4$
【知识点】
实数与数轴，绝对值的化简，非负数的性质
【点评】
本题是实数相关知识点的基础综合题，解题时需要结合数形结合思想判断数轴上点的符号，化简绝对值时先判断式子的正负，求解平方根时要注意负数没有平方根，需舍去不合题意的解，能较好地考查对实数基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7
