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18.(9分)图5①是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB、BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD.
(1)在图5①中，拼成的大正方形ABCD的面积为，边AD的长为；
(2)现将图5①水平放置在如图5②所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示-1的点重合，若以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数.
(1)在图5①中，拼成的大正方形ABCD的面积为，边AD的长为；
(2)现将图5①水平放置在如图5②所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示-1的点重合，若以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数.
答案
解：
(1) 拼成的大正方形ABCD的面积等于10个边长为1的小正方形的面积之和，即$10× 1^2 = 10$。
设边$AD$的长为$a$，则$a^2=10$，由$a＞0$得$a=\sqrt{10}$。
故答案依次为：$\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{\sqrt{10}}$。
(2) 由(1)可知，大正方形的边长$BC=\sqrt{10}$。
已知点$B$与数轴上表示$-1$的点重合，以点$B$为圆心，$BC$的长为半径画圆，因此点$E$到点$B$的距离为$\sqrt{10}$。
结合图形可知点$E$位于点$B$的左侧，
所以点$E$表示的数为$-1-\sqrt{10}$。
(1) 拼成的大正方形ABCD的面积等于10个边长为1的小正方形的面积之和，即$10× 1^2 = 10$。
设边$AD$的长为$a$，则$a^2=10$，由$a＞0$得$a=\sqrt{10}$。
故答案依次为：$\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{\sqrt{10}}$。
(2) 由(1)可知，大正方形的边长$BC=\sqrt{10}$。
已知点$B$与数轴上表示$-1$的点重合，以点$B$为圆心，$BC$的长为半径画圆，因此点$E$到点$B$的距离为$\sqrt{10}$。
结合图形可知点$E$位于点$B$的左侧，
所以点$E$表示的数为$-1-\sqrt{10}$。
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先要明确：图形剪拼前后总面积保持不变，因此大正方形ABCD的面积等于原来10个小正方形的面积之和，算出面积后，结合正方形面积公式，边长为面积的算术平方根，即可求出AD的长度。
(2) 解决第二问首先由第一问结论可得大正方形边长BC的长度，以B为圆心、BC为半径画弧，则交点E到B的距离等于半径长度；再结合数轴特征，E在B左侧，数轴上左侧的数小于右侧的数，用点B表示的数减去半径长度，即可得到点E表示的数。
【解析】
(1) 图形剪拼前后总面积不变，原来10个小正方形的边长均为1，因此大正方形ABCD的面积为：
$10×1^2=10$
设AD的长为$a$，由正方形面积公式得$a^2=10$，因为边长$a＞0$，因此$a=\sqrt{10}$。
(2) 由(1)可知大正方形的边长$BC=\sqrt{10}$，因此所作圆的半径为$\sqrt{10}$，即$BE=\sqrt{10}$。
已知点B在数轴上表示的数为-1，且点E位于点B的左侧，因此点E表示的数为：
$-1-\sqrt{10}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{\sqrt{10}}$
(2) $\boldsymbol{-1-\sqrt{10}}$
【知识点】
1. 剪拼面积不变
2. 算术平方根
3. 数轴与距离
【点评】
本题将图形剪拼和数轴知识结合，难度适中，既考查了学生对几何变换中面积不变性质的掌握，也考查了无理数在数轴上的表示方法，有助于提升学生数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问首先要明确：图形剪拼前后总面积保持不变，因此大正方形ABCD的面积等于原来10个小正方形的面积之和，算出面积后，结合正方形面积公式，边长为面积的算术平方根，即可求出AD的长度。
(2) 解决第二问首先由第一问结论可得大正方形边长BC的长度，以B为圆心、BC为半径画弧，则交点E到B的距离等于半径长度；再结合数轴特征，E在B左侧，数轴上左侧的数小于右侧的数，用点B表示的数减去半径长度，即可得到点E表示的数。
【解析】
(1) 图形剪拼前后总面积不变，原来10个小正方形的边长均为1，因此大正方形ABCD的面积为：
$10×1^2=10$
设AD的长为$a$，由正方形面积公式得$a^2=10$，因为边长$a＞0$，因此$a=\sqrt{10}$。
(2) 由(1)可知大正方形的边长$BC=\sqrt{10}$，因此所作圆的半径为$\sqrt{10}$，即$BE=\sqrt{10}$。
已知点B在数轴上表示的数为-1，且点E位于点B的左侧，因此点E表示的数为：
$-1-\sqrt{10}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{\sqrt{10}}$
(2) $\boldsymbol{-1-\sqrt{10}}$
【知识点】
1. 剪拼面积不变
2. 算术平方根
3. 数轴与距离
【点评】
本题将图形剪拼和数轴知识结合，难度适中，既考查了学生对几何变换中面积不变性质的掌握，也考查了无理数在数轴上的表示方法，有助于提升学生数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.7
19. (9分)已知某正数的两个平方根分别是$3a-14$和$a-2$，$b-15$的立方根为$-3$.
(1)求$a$、$b$的值；
(2)求$4a+b$的平方根.
(1)求$a$、$b$的值；
(2)求$4a+b$的平方根.
答案
解：
(1) ∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，
∴ $(3a-14)+(a-2)=0$，
整理得$4a-16=0$，
解得$a=4$。
∵ $b-15$的立方根为$-3$，
∴ $b-15=(-3)^3=-27$，
解得$b=-12$。
(2) 将$a=4$，$b=-12$代入$4a+b$，得：
$4a+b=4×4 + (-12)=4$，
∵ 4的平方根是$\pm2$，
∴ $4a+b$的平方根是$\pm2$。
(1) ∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，
∴ $(3a-14)+(a-2)=0$，
整理得$4a-16=0$，
解得$a=4$。
∵ $b-15$的立方根为$-3$，
∴ $b-15=(-3)^3=-27$，
解得$b=-12$。
(2) 将$a=4$，$b=-12$代入$4a+b$，得：
$4a+b=4×4 + (-12)=4$，
∵ 4的平方根是$\pm2$，
∴ $4a+b$的平方根是$\pm2$。
解析
【分析】
对于第(1)问，首先根据正数平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，可列关于a的一元一次方程求解a；再结合立方根的定义，若一个数的立方根为-3，则这个数等于(-3)³，据此列等式求解b即可。对于第(2)问，先将求得的a、b代入4a+b算出数值，再根据平方根的定义求出该数的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
(1)
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，
∴ $(3a-14)+(a-2)=0$，
整理得$4a-16=0$，
解得$a=4$。
∵ $b-15$的立方根为$-3$，
∴ $b-15=(-3)^3=-27$，
解得$b=-12$。
(2) 将$a=4$，$b=-12$代入$4a+b$，得：
$4a+b=4×4 + (-12)=4$，
∵ 4的平方根是$\pm2$，
∴ $4a+b$的平方根是$\pm2$。
【答案】
(1) $a=4$，$b=-12$；(2) $\pm2$
【知识点】
平方根的性质；立方根的定义；平方根的计算
【点评】
本题属于平方根、立方根相关的基础题型，解题核心是熟练掌握平方根、立方根的基本性质，求解正数的平方根时要注意有正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.8
对于第(1)问，首先根据正数平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，可列关于a的一元一次方程求解a；再结合立方根的定义，若一个数的立方根为-3，则这个数等于(-3)³，据此列等式求解b即可。对于第(2)问，先将求得的a、b代入4a+b算出数值，再根据平方根的定义求出该数的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
(1)
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，
∴ $(3a-14)+(a-2)=0$，
整理得$4a-16=0$，
解得$a=4$。
∵ $b-15$的立方根为$-3$，
∴ $b-15=(-3)^3=-27$，
解得$b=-12$。
(2) 将$a=4$，$b=-12$代入$4a+b$，得：
$4a+b=4×4 + (-12)=4$，
∵ 4的平方根是$\pm2$，
∴ $4a+b$的平方根是$\pm2$。
【答案】
(1) $a=4$，$b=-12$；(2) $\pm2$
【知识点】
平方根的性质；立方根的定义；平方根的计算
【点评】
本题属于平方根、立方根相关的基础题型，解题核心是熟练掌握平方根、立方根的基本性质，求解正数的平方根时要注意有正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.8
20. (9分)根据下表回答问题：
(1)272.25的平方根是；
(2)$\sqrt{259.21} =$,$\sqrt{27889} =$,$\sqrt{2.6244} =$；
(3)设$\sqrt{270}$的整数部分为$a$,求$-4a$的立方根。
(1)272.25的平方根是；
(2)$\sqrt{259.21} =$,$\sqrt{27889} =$,$\sqrt{2.6244} =$；
(3)设$\sqrt{270}$的整数部分为$a$,求$-4a$的立方根。
答案
解：
(1) 由表格可知$16.5^2=272.25$，因此272.25的平方根是$\pm16.5$；
(2) 由表格得$16.1^2=259.21$，故$\sqrt{259.21}=16.1$；
由$16.7^2=278.89$，可得$167^2=27889$，故$\sqrt{27889}=167$；
由$16.2^2=262.44$，可得$1.62^2=2.6244$，故$\sqrt{2.6244}=1.62$；
(3) 由表格可知：$16.4^2=268.96$，$16.5^2=272.25$，
$\therefore 16.4＜\sqrt{270}＜16.5$，
$\therefore \sqrt{270}$的整数部分$a=16$，
$\therefore -4a=-4×16=-64$，
$\because (-4)^3=-64$，
$\therefore -4a$的立方根是$-4$。
(1) 由表格可知$16.5^2=272.25$，因此272.25的平方根是$\pm16.5$；
(2) 由表格得$16.1^2=259.21$，故$\sqrt{259.21}=16.1$；
由$16.7^2=278.89$，可得$167^2=27889$，故$\sqrt{27889}=167$；
由$16.2^2=262.44$，可得$1.62^2=2.6244$，故$\sqrt{2.6244}=1.62$；
(3) 由表格可知：$16.4^2=268.96$，$16.5^2=272.25$，
$\therefore 16.4＜\sqrt{270}＜16.5$，
$\therefore \sqrt{270}$的整数部分$a=16$，
$\therefore -4a=-4×16=-64$，
$\because (-4)^3=-64$，
$\therefore -4a$的立方根是$-4$。
解析
【分析】
(1) 求一个数的平方根，需先找到平方等于该数的数，且平方根有正负两个值。可直接查找表格中$x^2$为272.25对应的$x$值，注意结果要带正负号。
(2) 求算术平方根时，可利用算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动2位，对应的算术平方根的小数点向右（或向左）移动1位。先从表格中找到对应基准数的平方，再根据小数点移动规律计算结果。
(3) 要计算$-4a$的立方根，首先需要确定$\sqrt{270}$的整数部分$a$：先在表格中找到270介于哪两个相邻的平方数之间，得到$\sqrt{270}$的取值范围，即可确定其整数部分$a$，再代入计算$-4a$，最后求该值的立方根即可。
【解析】
(1) 由表格可知$16.5^2=272.25$，根据平方根的定义，272.25的平方根是$\pm16.5$；
(2) 由表格得$16.1^2=259.21$，故$\sqrt{259.21}=16.1$；
由$16.7^2=278.89$，被开方数27889是278.89的小数点向右移动2位得到的，因此算术平方根向右移动1位，可得$\sqrt{27889}=167$；
由$16.2^2=262.44$，被开方数2.6244是262.44的小数点向左移动2位得到的，因此算术平方根向左移动1位，可得$\sqrt{2.6244}=1.62$；
(3) 由表格可知：$16.4^2=268.96$，$16.5^2=272.25$，
$\therefore 16.4＜\sqrt{270}＜16.5$，
$\therefore \sqrt{270}$的整数部分$a=16$，
$\therefore -4a=-4×16=-64$，
$\because (-4)^3=-64$，
$\therefore -4a$的立方根是$-4$。
【答案】
(1)$\pm16.5$；(2)$16.1$，$167$，$1.62$；(3)$-4$
【知识点】
平方根与算术平方根，无理数的估算，立方根计算
【点评】
本题结合表格考查实数相关运算，重点考查平方根、算术平方根的性质以及无理数估算的方法，解题时要注意区分平方根和算术平方根的概念，熟练掌握被开方数与算术平方根的小数点移动规律，避免出现符号错误或小数点移动错误。
【难度系数】
0.7
(1) 求一个数的平方根，需先找到平方等于该数的数，且平方根有正负两个值。可直接查找表格中$x^2$为272.25对应的$x$值，注意结果要带正负号。
(2) 求算术平方根时，可利用算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动2位，对应的算术平方根的小数点向右（或向左）移动1位。先从表格中找到对应基准数的平方，再根据小数点移动规律计算结果。
(3) 要计算$-4a$的立方根，首先需要确定$\sqrt{270}$的整数部分$a$：先在表格中找到270介于哪两个相邻的平方数之间，得到$\sqrt{270}$的取值范围，即可确定其整数部分$a$，再代入计算$-4a$，最后求该值的立方根即可。
【解析】
(1) 由表格可知$16.5^2=272.25$，根据平方根的定义，272.25的平方根是$\pm16.5$；
(2) 由表格得$16.1^2=259.21$，故$\sqrt{259.21}=16.1$；
由$16.7^2=278.89$，被开方数27889是278.89的小数点向右移动2位得到的，因此算术平方根向右移动1位，可得$\sqrt{27889}=167$；
由$16.2^2=262.44$，被开方数2.6244是262.44的小数点向左移动2位得到的，因此算术平方根向左移动1位，可得$\sqrt{2.6244}=1.62$；
(3) 由表格可知：$16.4^2=268.96$，$16.5^2=272.25$，
$\therefore 16.4＜\sqrt{270}＜16.5$，
$\therefore \sqrt{270}$的整数部分$a=16$，
$\therefore -4a=-4×16=-64$，
$\because (-4)^3=-64$，
$\therefore -4a$的立方根是$-4$。
【答案】
(1)$\pm16.5$；(2)$16.1$，$167$，$1.62$；(3)$-4$
【知识点】
平方根与算术平方根，无理数的估算，立方根计算
【点评】
本题结合表格考查实数相关运算，重点考查平方根、算术平方根的性质以及无理数估算的方法，解题时要注意区分平方根和算术平方根的概念，熟练掌握被开方数与算术平方根的小数点移动规律，避免出现符号错误或小数点移动错误。
【难度系数】
0.7
