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三、解答题(共75分)
16. (8分)计算:
(1) $(-2)^2 - \sqrt{81} + \sqrt[3]{-64}$；
(2) $\sqrt[3]{(-1)^3} + \sqrt[3]{-27} + \sqrt{(-2)^2} - |1 - \sqrt{3}|$。
16. (8分)计算:
(1) $(-2)^2 - \sqrt{81} + \sqrt[3]{-64}$；
(2) $\sqrt[3]{(-1)^3} + \sqrt[3]{-27} + \sqrt{(-2)^2} - |1 - \sqrt{3}|$。
答案
解：
(1) 原式$=4 - 9 + (-4)$
$=4 - 9 - 4$
$=-9$
(2) 原式$=-1 + (-3) + 2 - (\sqrt{3} - 1)$
$=-1 - 3 + 2 - \sqrt{3} + 1$
$=-1 - \sqrt{3}$
(1) 原式$=4 - 9 + (-4)$
$=4 - 9 - 4$
$=-9$
(2) 原式$=-1 + (-3) + 2 - (\sqrt{3} - 1)$
$=-1 - 3 + 2 - \sqrt{3} + 1$
$=-1 - \sqrt{3}$
解析
【分析】
这两道题均属于实数混合运算题，解题遵循“先算乘方、开方、绝对值，再算加减”的运算顺序：
(1) 先分别计算出(-2)的平方、81的算术平方根、-64的立方根，再依次进行加减运算即可；
(2) 先分别计算出立方根、算术平方根，再根据绝对值的性质化简绝对值（需先判断绝对值内式子的正负），最后去括号合并得到结果。
【解析】
(1) 先计算各部分运算结果：
$(-2)^2=4$，$\sqrt{81}=9$，$\sqrt[3]{-64}=-4$
原式$=4 - 9 + (-4)$
$=4 - 9 - 4$
$=-9$
(2) 先计算各部分运算结果：
$\sqrt[3]{(-1)^3}=-1$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，$\sqrt{(-2)^2}=2$
因为$1-\sqrt{3}＜0$，所以$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$
原式$=-1 + (-3) + 2 - (\sqrt{3} - 1)$
$=-1 - 3 + 2 - \sqrt{3} + 1$
$=-1 - \sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boxed{-9}$；(2) $\boxed{-1-\sqrt{3}}$
【知识点】
实数混合运算，开方运算，绝对值化简
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，重点考查对乘方、开方、绝对值运算规则的掌握程度，解题时需注意去绝对值、去括号时的符号变化，避免因符号出错丢分。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于实数混合运算题，解题遵循“先算乘方、开方、绝对值，再算加减”的运算顺序：
(1) 先分别计算出(-2)的平方、81的算术平方根、-64的立方根，再依次进行加减运算即可；
(2) 先分别计算出立方根、算术平方根，再根据绝对值的性质化简绝对值（需先判断绝对值内式子的正负），最后去括号合并得到结果。
【解析】
(1) 先计算各部分运算结果：
$(-2)^2=4$，$\sqrt{81}=9$，$\sqrt[3]{-64}=-4$
原式$=4 - 9 + (-4)$
$=4 - 9 - 4$
$=-9$
(2) 先计算各部分运算结果：
$\sqrt[3]{(-1)^3}=-1$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，$\sqrt{(-2)^2}=2$
因为$1-\sqrt{3}＜0$，所以$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$
原式$=-1 + (-3) + 2 - (\sqrt{3} - 1)$
$=-1 - 3 + 2 - \sqrt{3} + 1$
$=-1 - \sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boxed{-9}$；(2) $\boxed{-1-\sqrt{3}}$
【知识点】
实数混合运算，开方运算，绝对值化简
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，重点考查对乘方、开方、绝对值运算规则的掌握程度，解题时需注意去绝对值、去括号时的符号变化，避免因符号出错丢分。
【难度系数】
0.8
17. (9分)求下列等式中$x$的值：
(1)$4x^2 -49=0$；
(2)$8(x-1)^3=-\dfrac{125}{8}$；
(3)$2(2x-1)^2 -14=0$。
(1)$4x^2 -49=0$；
(2)$8(x-1)^3=-\dfrac{125}{8}$；
(3)$2(2x-1)^2 -14=0$。
答案
解：
(1) 移项，得$4x^2=49$，
两边同时除以4，得$x^2=\dfrac{49}{4}$，
由平方根的定义，得$x=\pm\dfrac{7}{2}$，
即$x_1=\dfrac{7}{2}$，$x_2=-\dfrac{7}{2}$。
(2) 两边同时除以8，得$(x-1)^3=-\dfrac{125}{64}$，
由立方根的定义，得$x-1=-\dfrac{5}{4}$，
计算得$x=-\dfrac{1}{4}$。
(3) 移项，得$2(2x-1)^2=14$，
两边同时除以2，得$(2x-1)^2=7$，
由平方根的定义，得$2x-1=\pm\sqrt{7}$，
移项得$2x=1\pm\sqrt{7}$，
两边同时除以2，得$x_1=\dfrac{1+\sqrt{7}}{2}$，$x_2=\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}$。
(1) 移项，得$4x^2=49$，
两边同时除以4，得$x^2=\dfrac{49}{4}$，
由平方根的定义，得$x=\pm\dfrac{7}{2}$，
即$x_1=\dfrac{7}{2}$，$x_2=-\dfrac{7}{2}$。
(2) 两边同时除以8，得$(x-1)^3=-\dfrac{125}{64}$，
由立方根的定义，得$x-1=-\dfrac{5}{4}$，
计算得$x=-\dfrac{1}{4}$。
(3) 移项，得$2(2x-1)^2=14$，
两边同时除以2，得$(2x-1)^2=7$，
由平方根的定义，得$2x-1=\pm\sqrt{7}$，
移项得$2x=1\pm\sqrt{7}$，
两边同时除以2，得$x_1=\dfrac{1+\sqrt{7}}{2}$，$x_2=\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}$。
解析
【分析】
这三道题均是利用开方运算求解未知数的方程，解题思路统一：先通过移项、系数化为1，将方程变形为“含未知数的式子的平方/立方等于常数”的形式，再根据平方根、立方根的定义开方，最后化简计算得到x的值。注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解；任意实数的立方根只有1个，符号与被开方数一致。
【解析】
(1) 移项，得$4x^2=49$，
两边同时除以4，得$x^2=\dfrac{49}{4}$，
由平方根的定义，得$x=\pm\dfrac{7}{2}$，
即$x_1=\dfrac{7}{2}$，$x_2=-\dfrac{7}{2}$。
(2) 两边同时除以8，得$(x-1)^3=-\dfrac{125}{64}$，
由立方根的定义，得$x-1=-\dfrac{5}{4}$，
计算得$x=-\dfrac{1}{4}$。
(3) 移项，得$2(2x-1)^2=14$，
两边同时除以2，得$(2x-1)^2=7$，
由平方根的定义，得$2x-1=\pm\sqrt{7}$，
移项得$2x=1\pm\sqrt{7}$，
两边同时除以2，得$x_1=\dfrac{1+\sqrt{7}}{2}$，$x_2=\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\dfrac{7}{2},x_2=-\dfrac{7}{2}$；(2)$x=-\dfrac{1}{4}$；(3)$x_1=\dfrac{1+\sqrt{7}}{2},x_2=\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}$
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查平方根、立方根定义的应用，解题时需注意正数开平方有两个解，不要漏写负根，开立方时注意结果的符号与被开方数保持一致。
【难度系数】
0.8
这三道题均是利用开方运算求解未知数的方程，解题思路统一：先通过移项、系数化为1，将方程变形为“含未知数的式子的平方/立方等于常数”的形式，再根据平方根、立方根的定义开方，最后化简计算得到x的值。注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解；任意实数的立方根只有1个，符号与被开方数一致。
【解析】
(1) 移项，得$4x^2=49$，
两边同时除以4，得$x^2=\dfrac{49}{4}$，
由平方根的定义，得$x=\pm\dfrac{7}{2}$，
即$x_1=\dfrac{7}{2}$，$x_2=-\dfrac{7}{2}$。
(2) 两边同时除以8，得$(x-1)^3=-\dfrac{125}{64}$，
由立方根的定义，得$x-1=-\dfrac{5}{4}$，
计算得$x=-\dfrac{1}{4}$。
(3) 移项，得$2(2x-1)^2=14$，
两边同时除以2，得$(2x-1)^2=7$，
由平方根的定义，得$2x-1=\pm\sqrt{7}$，
移项得$2x=1\pm\sqrt{7}$，
两边同时除以2，得$x_1=\dfrac{1+\sqrt{7}}{2}$，$x_2=\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\dfrac{7}{2},x_2=-\dfrac{7}{2}$；(2)$x=-\dfrac{1}{4}$；(3)$x_1=\dfrac{1+\sqrt{7}}{2},x_2=\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}$
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查平方根、立方根定义的应用，解题时需注意正数开平方有两个解，不要漏写负根，开立方时注意结果的符号与被开方数保持一致。
【难度系数】
0.8
