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21. (9分)【综合探究】实践:把一张长方形纸片进行两次连续对折后得到边长为a、b(a＞b)的小长方形(图3①),再展开还原(图3②)沿着折痕(虚线部分)剪开,拼成一个大正方形(图3③).
(1)猜想:①图3③中间小正方形的边长为;(用含a、b的式子表示)
②根据材料,直接写出式子ab、$(a-b)^2$、$(a+b)^2$之间的等量关系:.
(2)应用:若$x+y=7,xy=2$,求$(x-y)^2$的值.
(3)拓展:若$(2m-5)^2+(3-2m)^2=8$,求$(2m-5)(3-2m)$的值.
(1)猜想:①图3③中间小正方形的边长为;(用含a、b的式子表示)
②根据材料,直接写出式子ab、$(a-b)^2$、$(a+b)^2$之间的等量关系:.
(2)应用:若$x+y=7,xy=2$,求$(x-y)^2$的值.
(3)拓展:若$(2m-5)^2+(3-2m)^2=8$,求$(2m-5)(3-2m)$的值.
答案
解：
(1) ① $a-b$
② $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2) 由完全平方公式变形可得：
$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$
将$x+y=7$，$xy=2$代入得：
$(x-y)^2=7^2 - 4×2=49-8=41$
(3) 设$A=2m-5$，$B=3-2m$，则$A+B=(2m-5)+(3-2m)=-2$
由完全平方公式得：
$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
将$A+B=-2$，$A^2+B^2=8$代入得：
$(-2)^2=8 + 2AB$
即$4=8+2AB$
解得$AB=-2$
即$(2m-5)(3-2m)=-2$
(1) ① $a-b$
② $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2) 由完全平方公式变形可得：
$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$
将$x+y=7$，$xy=2$代入得：
$(x-y)^2=7^2 - 4×2=49-8=41$
(3) 设$A=2m-5$，$B=3-2m$，则$A+B=(2m-5)+(3-2m)=-2$
由完全平方公式得：
$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
将$A+B=-2$，$A^2+B^2=8$代入得：
$(-2)^2=8 + 2AB$
即$4=8+2AB$
解得$AB=-2$
即$(2m-5)(3-2m)=-2$
解析
【分析】
（1）①观察图③的边长构成：大正方形边长为$a+b$，中间阴影小正方形的边长等于长为$a$的边减去小长方形的宽$b$，即可得到结果；②结合面积关系推导：大正方形的面积可以直接用边长平方表示，也可以拆分为中间阴影小正方形的面积加4个小长方形的面积，联立即可得到三个式子的等量关系。
（2）直接利用（1）推导的完全平方变形公式，将$(x-y)^2$转化为含$x+y$和$xy$的形式，代入已知数值计算即可。
（3）采用换元法简化计算：设两个含$m$的式子分别为$A$、$B$，先求出$A+B$的定值，再结合完全平方公式，代入已知的$A^2+B^2$的值，即可求出$AB$即所求式子的值。
【解析】
(1) ①观察图③的边长关系，中间小正方形的边长为$a-b$；
②大正方形面积为$(a+b)^2$，中间阴影小正方形面积为$(a-b)^2$，4个小长方形的总面积为$4ab$，因此三者的等量关系为：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$；
(2) 由完全平方公式变形可得：
$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$
将$x+y=7$，$xy=2$代入上式：
$(x-y)^2=7^2 - 4×2=49-8=41$
(3) 设$A=2m-5$，$B=3-2m$，则：
$A+B=(2m-5)+(3-2m)=-2$
由完全平方公式得：$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
将$A+B=-2$，$A^2+B^2=8$代入上式：
$(-2)^2=8 + 2AB$
整理得$4=8+2AB$，解得$AB=-2$
即$(2m-5)(3-2m)=-2$
【答案】
(1) ①$\boxed{a-b}$；②$\boxed{(a+b)^2=(a-b)^2+4ab}$
(2) $\boxed{41}$
(3) $\boxed{-2}$
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、换元法
【点评】
本题以图形拼接为背景考查完全平方公式的变形应用，题目设置由浅入深，既考查了对完全平方公式几何意义的理解，也考查了公式的灵活变形能力和换元思想的运用，能有效锻炼数形结合能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
（1）①观察图③的边长构成：大正方形边长为$a+b$，中间阴影小正方形的边长等于长为$a$的边减去小长方形的宽$b$，即可得到结果；②结合面积关系推导：大正方形的面积可以直接用边长平方表示，也可以拆分为中间阴影小正方形的面积加4个小长方形的面积，联立即可得到三个式子的等量关系。
（2）直接利用（1）推导的完全平方变形公式，将$(x-y)^2$转化为含$x+y$和$xy$的形式，代入已知数值计算即可。
（3）采用换元法简化计算：设两个含$m$的式子分别为$A$、$B$，先求出$A+B$的定值，再结合完全平方公式，代入已知的$A^2+B^2$的值，即可求出$AB$即所求式子的值。
【解析】
(1) ①观察图③的边长关系，中间小正方形的边长为$a-b$；
②大正方形面积为$(a+b)^2$，中间阴影小正方形面积为$(a-b)^2$，4个小长方形的总面积为$4ab$，因此三者的等量关系为：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$；
(2) 由完全平方公式变形可得：
$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$
将$x+y=7$，$xy=2$代入上式：
$(x-y)^2=7^2 - 4×2=49-8=41$
(3) 设$A=2m-5$，$B=3-2m$，则：
$A+B=(2m-5)+(3-2m)=-2$
由完全平方公式得：$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
将$A+B=-2$，$A^2+B^2=8$代入上式：
$(-2)^2=8 + 2AB$
整理得$4=8+2AB$，解得$AB=-2$
即$(2m-5)(3-2m)=-2$
【答案】
(1) ①$\boxed{a-b}$；②$\boxed{(a+b)^2=(a-b)^2+4ab}$
(2) $\boxed{41}$
(3) $\boxed{-2}$
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、换元法
【点评】
本题以图形拼接为背景考查完全平方公式的变形应用，题目设置由浅入深，既考查了对完全平方公式几何意义的理解，也考查了公式的灵活变形能力和换元思想的运用，能有效锻炼数形结合能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
22. (10分)对于任意有理数$a$、$b$、$c$、$d$,我们规定符号$(a,b)\otimes(c,d)=ad-bc$.
例如:$(1,3)\otimes(2,4)=1×4-2×3=-2$.
(1)$(-2,3)\otimes(4,5)$的值为;
(2)求$(3a+1,a-2)\otimes(a+2,a-3)$的值,其中$a^2-4a+1=0$.
例如:$(1,3)\otimes(2,4)=1×4-2×3=-2$.
(1)$(-2,3)\otimes(4,5)$的值为;
(2)求$(3a+1,a-2)\otimes(a+2,a-3)$的值,其中$a^2-4a+1=0$.
答案
解：
(1) 根据规定的运算规则：
$(-2,3)\otimes(4,5)=(-2)×5 - 3×4=-10-12=-22$
(2) 根据运算规则展开化简：
$\begin{aligned}&(3a+1,a-2)\otimes(a+2,a-3)\\=&(3a+1)(a-3)-(a-2)(a+2)\\=&3a^2 -9a +a -3 -(a^2 -4)\\=&3a^2 -8a -3 -a^2 +4\\=&2a^2 -8a +1\end{aligned}$
由$a^2-4a+1=0$，可得$a^2-4a=-1$，
将$2a^2-8a+1$变形为$2(a^2-4a)+1$，代入得：
$2×(-1)+1=-1$
综上，(1)的结果为$\boldsymbol{-22}$；(2)的结果为$\boldsymbol{-1}$。
(1) 根据规定的运算规则：
$(-2,3)\otimes(4,5)=(-2)×5 - 3×4=-10-12=-22$
(2) 根据运算规则展开化简：
$\begin{aligned}&(3a+1,a-2)\otimes(a+2,a-3)\\=&(3a+1)(a-3)-(a-2)(a+2)\\=&3a^2 -9a +a -3 -(a^2 -4)\\=&3a^2 -8a -3 -a^2 +4\\=&2a^2 -8a +1\end{aligned}$
由$a^2-4a+1=0$，可得$a^2-4a=-1$，
将$2a^2-8a+1$变形为$2(a^2-4a)+1$，代入得：
$2×(-1)+1=-1$
综上，(1)的结果为$\boldsymbol{-22}$；(2)的结果为$\boldsymbol{-1}$。
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题思路如下：①第(1)问直接套用题目给出的⊗运算规则，对应匹配a、b、c、d的数值，代入ad-bc计算即可；②第(2)问首先同样按照运算规则将式子展开，再根据整式混合运算法则化简，最后观察化简结果与已知条件的关联，用整体代入的方法求值，无需单独求解a的数值，可简化计算过程。
【解析】
(1) 根据规定的运算规则$(a,b)\otimes(c,d)=ad-bc$，取$a=-2,b=3,c=4,d=5$，代入得：
$(-2,3)\otimes(4,5)=(-2)×5 - 3×4=-10-12=-22$
(2) 先按照运算规则展开式子：
$\begin{aligned}&(3a+1,a-2)\otimes(a+2,a-3)\\=&(3a+1)(a-3)-(a-2)(a+2)\\=&3a^2 -9a +a -3 -(a^2 -4)\\=&3a^2 -8a -3 -a^2 +4\\=&2a^2 -8a +1\end{aligned}$
由$a^2-4a+1=0$，可得$a^2-4a=-1$，将化简后的式子变形为$2(a^2-4a)+1$，整体代入得：
$2×(-1)+1=-2+1=-1$
【答案】
(1)$\boldsymbol{-22}$；(2)$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
新定义运算、整式化简、整体代入求值
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解应用能力和整式运算的掌握程度，第二问运用整体代入思想可避免复杂计算，是解题的核心技巧，能有效锻炼学生的代数化简和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义运算类题目，解题思路如下：①第(1)问直接套用题目给出的⊗运算规则，对应匹配a、b、c、d的数值，代入ad-bc计算即可；②第(2)问首先同样按照运算规则将式子展开，再根据整式混合运算法则化简，最后观察化简结果与已知条件的关联，用整体代入的方法求值，无需单独求解a的数值，可简化计算过程。
【解析】
(1) 根据规定的运算规则$(a,b)\otimes(c,d)=ad-bc$，取$a=-2,b=3,c=4,d=5$，代入得：
$(-2,3)\otimes(4,5)=(-2)×5 - 3×4=-10-12=-22$
(2) 先按照运算规则展开式子：
$\begin{aligned}&(3a+1,a-2)\otimes(a+2,a-3)\\=&(3a+1)(a-3)-(a-2)(a+2)\\=&3a^2 -9a +a -3 -(a^2 -4)\\=&3a^2 -8a -3 -a^2 +4\\=&2a^2 -8a +1\end{aligned}$
由$a^2-4a+1=0$，可得$a^2-4a=-1$，将化简后的式子变形为$2(a^2-4a)+1$，整体代入得：
$2×(-1)+1=-2+1=-1$
【答案】
(1)$\boldsymbol{-22}$；(2)$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
新定义运算、整式化简、整体代入求值
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解应用能力和整式运算的掌握程度，第二问运用整体代入思想可避免复杂计算，是解题的核心技巧，能有效锻炼学生的代数化简和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
