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23. (10分)【例题讲解】仔细阅读下面的例题,解答问题.
例:已知二次三项式$x^2 -4x +m$有一个因式是$(x+3)$,求另一个因式以及m的值.
解:设另一个因式为$(x+n)$,得$x^2 -4x +m=(x+3)(x+n)$,则$x^2 -4x +m=x^2 +(n+3)x +3n$,
∴ $\begin{cases} n+3=-4, \\ m=3n, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} n=-7, \\ m=-21, \end{cases}$
∴ 另一个因式为$(x-7)$,m的值为-21.
【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数,利用“当两个多项式为恒等式时,同类项系数相等”的原理确定这些系数,从而得到待求的值,这种方法叫待定系数法.
【学以致用】(1)若$x^2 -mx -12=(x+3)(x-4)$,则$m=$;
(2)已知二次三项式$2x^2 -5x +k$有一个因式是$(2x-3)$,求另一个因式以及k的值;
(3)若多项式$x^2 -mx +n$(m、n是常数)分解因式后,有一个因式是$(x-2)$,求代数式$\frac{9^m}{3^n}$的值.
例:已知二次三项式$x^2 -4x +m$有一个因式是$(x+3)$,求另一个因式以及m的值.
解:设另一个因式为$(x+n)$,得$x^2 -4x +m=(x+3)(x+n)$,则$x^2 -4x +m=x^2 +(n+3)x +3n$,
∴ $\begin{cases} n+3=-4, \\ m=3n, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} n=-7, \\ m=-21, \end{cases}$
∴ 另一个因式为$(x-7)$,m的值为-21.
【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数,利用“当两个多项式为恒等式时,同类项系数相等”的原理确定这些系数,从而得到待求的值,这种方法叫待定系数法.
【学以致用】(1)若$x^2 -mx -12=(x+3)(x-4)$,则$m=$;
(2)已知二次三项式$2x^2 -5x +k$有一个因式是$(2x-3)$,求另一个因式以及k的值;
(3)若多项式$x^2 -mx +n$(m、n是常数)分解因式后,有一个因式是$(x-2)$,求代数式$\frac{9^m}{3^n}$的值.
答案
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) 另一个因式为$\boldsymbol{x-1}$，$k=\boldsymbol{3}$；(3) 代数式的值为$\boldsymbol{81}$。
解析
【分析】
本题全部采用待定系数法求解，核心依据是多项式恒等时同类项系数相等的性质：
(1) 直接将等式右侧的乘积展开，对比左右两边一次项的系数即可求出m的值；
(2) 参考例题思路，设另一个一次因式为(x+a)，将右侧乘积展开后，对应同类项系数列方程组，求解得到a和k的值；
(3) 先设另一个因式为(x+p)，展开后得到m、n的数量关系，再将所求代数式转化为同底数幂的除法形式，代入m、n的关系即可计算结果。
【解析】
(1) 先展开等式右侧：
$(x+3)(x-4)=x^2 -4x +3x -12 = x^2 -x -12$
已知$x^2 -mx -12 = x^2 -x -12$，对比一次项系数可得：$-m=-1$，解得$m=1$。
(2) 设另一个因式为$(x+a)$，根据题意得：
$2x^2 -5x +k = (2x-3)(x+a)$
展开右侧得：$2x^2 + 2ax -3x -3a = 2x^2 + (2a-3)x -3a$
对比同类项系数可得方程组：
$\begin{cases}2a - 3 = -5 \\ k = -3a \end{cases}$
解第一个方程：$2a = -5 +3 = -2$，得$a=-1$
将$a=-1$代入第二个方程：$k=-3×(-1)=3$
所以另一个因式为$(x-1)$，$k$的值为3。
(3) 设另一个因式为$(x+p)$，根据题意得：
$x^2 -mx +n = (x-2)(x+p)$
展开右侧得：$x^2 + px -2x -2p = x^2 + (p-2)x -2p$
对比同类项系数可得：
$\begin{cases}-m = p - 2 \\ n = -2p \end{cases}$
由第一个式子得$p=2 - m$，代入第二个式子：$n=-2(2 - m) = 2m -4$，整理得$2m - n = 4$
化简所求代数式：
$\frac{9^m}{3^n} = \frac{(3^2)^m}{3^n} = \frac{3^{2m}}{3^n} = 3^{2m -n}$
将$2m -n=4$代入得：$3^4=81$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) 另一个因式为$\boldsymbol{x-1}$，$k=\boldsymbol{3}$；(3) $\boldsymbol{81}$
【知识点】
待定系数法的应用；多项式恒等性质；同底数幂的运算
【点评】
本题围绕因式分解和待定系数法展开，解题核心是抓住多项式恒等时同类项系数对应相等的规律列等式求解，第三问结合幂的运算考查参数关系的应用，只要掌握待定系数法的基本思路，就能顺利完成所有问题的解答。
【难度系数】
0.7
本题全部采用待定系数法求解，核心依据是多项式恒等时同类项系数相等的性质：
(1) 直接将等式右侧的乘积展开，对比左右两边一次项的系数即可求出m的值；
(2) 参考例题思路，设另一个一次因式为(x+a)，将右侧乘积展开后，对应同类项系数列方程组，求解得到a和k的值；
(3) 先设另一个因式为(x+p)，展开后得到m、n的数量关系，再将所求代数式转化为同底数幂的除法形式，代入m、n的关系即可计算结果。
【解析】
(1) 先展开等式右侧：
$(x+3)(x-4)=x^2 -4x +3x -12 = x^2 -x -12$
已知$x^2 -mx -12 = x^2 -x -12$，对比一次项系数可得：$-m=-1$，解得$m=1$。
(2) 设另一个因式为$(x+a)$，根据题意得：
$2x^2 -5x +k = (2x-3)(x+a)$
展开右侧得：$2x^2 + 2ax -3x -3a = 2x^2 + (2a-3)x -3a$
对比同类项系数可得方程组：
$\begin{cases}2a - 3 = -5 \\ k = -3a \end{cases}$
解第一个方程：$2a = -5 +3 = -2$，得$a=-1$
将$a=-1$代入第二个方程：$k=-3×(-1)=3$
所以另一个因式为$(x-1)$，$k$的值为3。
(3) 设另一个因式为$(x+p)$，根据题意得：
$x^2 -mx +n = (x-2)(x+p)$
展开右侧得：$x^2 + px -2x -2p = x^2 + (p-2)x -2p$
对比同类项系数可得：
$\begin{cases}-m = p - 2 \\ n = -2p \end{cases}$
由第一个式子得$p=2 - m$，代入第二个式子：$n=-2(2 - m) = 2m -4$，整理得$2m - n = 4$
化简所求代数式：
$\frac{9^m}{3^n} = \frac{(3^2)^m}{3^n} = \frac{3^{2m}}{3^n} = 3^{2m -n}$
将$2m -n=4$代入得：$3^4=81$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) 另一个因式为$\boldsymbol{x-1}$，$k=\boldsymbol{3}$；(3) $\boldsymbol{81}$
【知识点】
待定系数法的应用；多项式恒等性质；同底数幂的运算
【点评】
本题围绕因式分解和待定系数法展开，解题核心是抓住多项式恒等时同类项系数对应相等的规律列等式求解，第三问结合幂的运算考查参数关系的应用，只要掌握待定系数法的基本思路，就能顺利完成所有问题的解答。
【难度系数】
0.7
