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19. (9分)阅读下面的解答过程：
求$y^2+4y+8$的最小值.
解:$y^2+4y+8=y^2+4y+4+4=(y+2)^2+4$.
∵ $(y+2)^2≥0$,即$(y+2)^2$的最小值为0,
∴ $y^2+4y+8$的最小值为4.
依照上面的解答过程,求$m^2+m+4$的最小值和$4-x^2+2x$的最大值.
求$y^2+4y+8$的最小值.
解:$y^2+4y+8=y^2+4y+4+4=(y+2)^2+4$.
∵ $(y+2)^2≥0$,即$(y+2)^2$的最小值为0,
∴ $y^2+4y+8$的最小值为4.
依照上面的解答过程,求$m^2+m+4$的最小值和$4-x^2+2x$的最大值.
答案
解：
求$m^2+m+4$的最小值：
$m^2+m+4 = m^2+m+\frac{1}{4}+\frac{15}{4} = (m+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}$
∵ $(m+\frac{1}{2})^2≥0$，即$(m+\frac{1}{2})^2$的最小值为0，
∴ $m^2+m+4$的最小值为$\frac{15}{4}$。
求$4-x^2+2x$的最大值：
$4-x^2+2x = -(x^2-2x) +4 = -(x^2-2x+1) +4+1 = -(x-1)^2+5$
∵ $(x-1)^2≥0$，
∴ $-(x-1)^2≤0$，即$-(x-1)^2$的最大值为0，
∴ $4-x^2+2x$的最大值为5。
求$m^2+m+4$的最小值：
$m^2+m+4 = m^2+m+\frac{1}{4}+\frac{15}{4} = (m+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}$
∵ $(m+\frac{1}{2})^2≥0$，即$(m+\frac{1}{2})^2$的最小值为0，
∴ $m^2+m+4$的最小值为$\frac{15}{4}$。
求$4-x^2+2x$的最大值：
$4-x^2+2x = -(x^2-2x) +4 = -(x^2-2x+1) +4+1 = -(x-1)^2+5$
∵ $(x-1)^2≥0$，
∴ $-(x-1)^2≤0$，即$-(x-1)^2$的最大值为0，
∴ $4-x^2+2x$的最大值为5。
解析
【分析】
这是一道材料阅读模仿题，解题核心是运用配方法将二次代数式转化为“完全平方式+常数”的形式，再结合完全平方的非负性求解最值。具体思路如下：①求$m^2+m+4$的最小值时，二次项系数为正，先将常数项拆成一次项系数一半的平方与剩余常数的和，配成完全平方式加常数的结构，根据完全平方≥0，当代数式取最小值时完全平方式为0，最小值即为剩余常数；②求$4-x^2+2x$的最大值时，二次项系数为负，先提取负号将二次项和一次项放在括号内，再对括号内的式子配方，整理为“负的完全平方式+常数”的结构，根据完全平方≥0可得负的完全平方≤0，当代数式取最大值时负的完全平方式为0，最大值即为剩余常数。
【解析】
求$m^2+m+4$的最小值
对代数式配方：
$m^2+m+4 = m^2+m+\frac{1}{4}+\frac{15}{4} = (m+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(m+\frac{1}{2})^2≥0$，其最小值为0
∴ $m^2+m+4$的最小值为$\frac{15}{4}$
求$4-x^2+2x$的最大值
先整理代数式并配方：
$4-x^2+2x = -(x^2-2x) +4 = -(x^2-2x+1) +4+1 = -(x-1)^2+5$
∵ $(x-1)^2≥0$，不等式两边乘-1得$-(x-1)^2≤0$，即$-(x-1)^2$的最大值为0
∴ $4-x^2+2x$的最大值为5
【答案】
$m^2+m+4$的最小值为$\frac{15}{4}$，$4-x^2+2x$的最大值为5
【知识点】
配方法的应用；完全平方的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题属于方法迁移类阅读题，解题关键是准确掌握完全平方公式的结构特征，灵活运用配方法变形代数式，需要注意二次项系数为负时，提取负号后配方不要出现符号错误。
【难度系数】
0.7
这是一道材料阅读模仿题，解题核心是运用配方法将二次代数式转化为“完全平方式+常数”的形式，再结合完全平方的非负性求解最值。具体思路如下：①求$m^2+m+4$的最小值时，二次项系数为正，先将常数项拆成一次项系数一半的平方与剩余常数的和，配成完全平方式加常数的结构，根据完全平方≥0，当代数式取最小值时完全平方式为0，最小值即为剩余常数；②求$4-x^2+2x$的最大值时，二次项系数为负，先提取负号将二次项和一次项放在括号内，再对括号内的式子配方，整理为“负的完全平方式+常数”的结构，根据完全平方≥0可得负的完全平方≤0，当代数式取最大值时负的完全平方式为0，最大值即为剩余常数。
【解析】
求$m^2+m+4$的最小值
对代数式配方：
$m^2+m+4 = m^2+m+\frac{1}{4}+\frac{15}{4} = (m+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(m+\frac{1}{2})^2≥0$，其最小值为0
∴ $m^2+m+4$的最小值为$\frac{15}{4}$
求$4-x^2+2x$的最大值
先整理代数式并配方：
$4-x^2+2x = -(x^2-2x) +4 = -(x^2-2x+1) +4+1 = -(x-1)^2+5$
∵ $(x-1)^2≥0$，不等式两边乘-1得$-(x-1)^2≤0$，即$-(x-1)^2$的最大值为0
∴ $4-x^2+2x$的最大值为5
【答案】
$m^2+m+4$的最小值为$\frac{15}{4}$，$4-x^2+2x$的最大值为5
【知识点】
配方法的应用；完全平方的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题属于方法迁移类阅读题，解题关键是准确掌握完全平方公式的结构特征，灵活运用配方法变形代数式，需要注意二次项系数为负时，提取负号后配方不要出现符号错误。
【难度系数】
0.7
20. (9分)解答问题:
(1)观察下列各式:$3^2 -1^2=8×1,5^2 -3^2=8×2,7^2 -5^2=8×3,···$,探索以上式子的规律,试写出第$n$个等式;
(2)运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性;
(3)请用文字表述这个规律,并用这个规律计算:$5019^2 -5017^2$.
(1)观察下列各式:$3^2 -1^2=8×1,5^2 -3^2=8×2,7^2 -5^2=8×3,···$,探索以上式子的规律,试写出第$n$个等式;
(2)运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性;
(3)请用文字表述这个规律,并用这个规律计算:$5019^2 -5017^2$.
答案
解：
(1) 第$n$个等式为：$\boldsymbol{(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n}$（$n$为正整数）。
(2) 证明：
对等式左边展开化简：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=(4n^2 +4n +1)-(4n^2 -4n +1)\\&=4n^2 +4n +1 -4n^2 +4n -1\\&=8n\end{aligned}$
左边等于右边，因此所写等式成立。
(3) 规律表述：任意两个连续奇数的平方差是8的正整数倍。
计算$5019^2 - 5017^2$：
对比规律可得$2n+1=5019$，解得$n=2509$，
因此$5019^2 - 5017^2=8×2509=20072$。
(1) 第$n$个等式为：$\boldsymbol{(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n}$（$n$为正整数）。
(2) 证明：
对等式左边展开化简：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=(4n^2 +4n +1)-(4n^2 -4n +1)\\&=4n^2 +4n +1 -4n^2 +4n -1\\&=8n\end{aligned}$
左边等于右边，因此所写等式成立。
(3) 规律表述：任意两个连续奇数的平方差是8的正整数倍。
计算$5019^2 - 5017^2$：
对比规律可得$2n+1=5019$，解得$n=2509$，
因此$5019^2 - 5017^2=8×2509=20072$。
解析
【分析】
(1) 找规律时先观察等式左右两边的共性：左边都是相邻两个奇数的平方差，第1个式子两个奇数为2×1-1和2×1+1，右边为8×1；第2个式子两个奇数为2×2-1和2×2+1，右边为8×2，以此类推可推导第n个式子的形式。
(2) 验证等式正确性可利用完全平方公式，将左边的两个完全平方式展开、合并同类项，判断化简结果是否等于右边即可。
(3) 文字表述规律只需总结相邻奇数平方差的特征，计算时先根据规律确定对应n的值，代入即可快速得到结果，避免直接计算大数平方的复杂运算。
【解析】
(1) 根据式子规律，第n个等式的两个连续奇数为$2n-1$、$2n+1$（$n$为正整数），因此第$n$个等式为：$\boldsymbol{(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n}$（$n$为正整数）。
(2) 证明：对等式左边展开化简：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=(4n^2 +4n +1)-(4n^2 -4n +1)\\&=4n^2 +4n +1 -4n^2 +4n -1\\&=8n\end{aligned}$
左边化简结果与右边相等，因此所写等式成立。
(3) 规律表述：任意两个连续奇数的平方差是8的正整数倍。
计算$5019^2 -5017^2$：对比规律可得$2n+1=5019$，解得$n=2509$，因此$5019^2 -5017^2=8×2509=20072$。
【答案】
(1) $(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n$（$n$为正整数）；
(2) 等式成立，证明见解析；
(3) 规律：任意两个连续奇数的平方差是8的正整数倍；计算结果为$\boldsymbol{20072}$。
【知识点】
完全平方公式，规律探究，代数式化简
【点评】
本题将规律探究和整式运算结合考查，既要求学生具备观察归纳的能力，又需要熟练掌握完全平方公式的运算，同时引导学生用发现的规律简化复杂计算，兼具探究性和实用性。
【难度系数】
0.7
(1) 找规律时先观察等式左右两边的共性：左边都是相邻两个奇数的平方差，第1个式子两个奇数为2×1-1和2×1+1，右边为8×1；第2个式子两个奇数为2×2-1和2×2+1，右边为8×2，以此类推可推导第n个式子的形式。
(2) 验证等式正确性可利用完全平方公式，将左边的两个完全平方式展开、合并同类项，判断化简结果是否等于右边即可。
(3) 文字表述规律只需总结相邻奇数平方差的特征，计算时先根据规律确定对应n的值，代入即可快速得到结果，避免直接计算大数平方的复杂运算。
【解析】
(1) 根据式子规律，第n个等式的两个连续奇数为$2n-1$、$2n+1$（$n$为正整数），因此第$n$个等式为：$\boldsymbol{(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n}$（$n$为正整数）。
(2) 证明：对等式左边展开化简：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=(4n^2 +4n +1)-(4n^2 -4n +1)\\&=4n^2 +4n +1 -4n^2 +4n -1\\&=8n\end{aligned}$
左边化简结果与右边相等，因此所写等式成立。
(3) 规律表述：任意两个连续奇数的平方差是8的正整数倍。
计算$5019^2 -5017^2$：对比规律可得$2n+1=5019$，解得$n=2509$，因此$5019^2 -5017^2=8×2509=20072$。
【答案】
(1) $(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n$（$n$为正整数）；
(2) 等式成立，证明见解析；
(3) 规律：任意两个连续奇数的平方差是8的正整数倍；计算结果为$\boldsymbol{20072}$。
【知识点】
完全平方公式，规律探究，代数式化简
【点评】
本题将规律探究和整式运算结合考查，既要求学生具备观察归纳的能力，又需要熟练掌握完全平方公式的运算，同时引导学生用发现的规律简化复杂计算，兼具探究性和实用性。
【难度系数】
0.7
