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17. (9分)(1)计算:$3013^2 - 3014 × 3012$.
(2)雯雯在计算$m(1+m)-(m-1)^2$时,解答过程如下:
雯雯的解答从第步开始出错,请写出正确的解题过程.
(2)雯雯在计算$m(1+m)-(m-1)^2$时,解答过程如下:
雯雯的解答从第步开始出错,请写出正确的解题过程.
答案
解：
(1) 计算：
原式$=3013^2 - (3013+1)×(3013-1)$
$=3013^2 - (3013^2 - 1^2)$
$=3013^2 - 3013^2 +1$
$=1$
(2) 雯雯的解答从第一步开始出错，正确解题过程如下：
$m(1+m)-(m-1)^2$
$=m + m^2 - (m^2 - 2m +1)$
$=m + m^2 - m^2 + 2m -1$
$=3m -1$
(1) 计算：
原式$=3013^2 - (3013+1)×(3013-1)$
$=3013^2 - (3013^2 - 1^2)$
$=3013^2 - 3013^2 +1$
$=1$
(2) 雯雯的解答从第一步开始出错，正确解题过程如下：
$m(1+m)-(m-1)^2$
$=m + m^2 - (m^2 - 2m +1)$
$=m + m^2 - m^2 + 2m -1$
$=3m -1$
解析
【分析】
(1) 计算$3013^2 - 3014 × 3012$时，观察数字特征：3014=3013+1，3012=3013-1，可将乘积项转化为平方差公式的形式，避免大数直接运算，简化计算流程。
(2) 分析雯雯的解题过程，需结合完全平方公式判断：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，雯雯第一步展开$(m-1)^2$时漏了$-2m$项，因此从第一步就出现错误。正确解题时先按运算法则分别展开两项，再去括号、合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 计算$3013^2 - 3014 × 3012$：
$\begin{aligned}原式&=3013^2 - (3013+1)×(3013-1)\\&=3013^2 - (3013^2 - 1^2)\\&=3013^2 - 3013^2 +1\\&=1\end{aligned}$
(2) 雯雯的解答从第一步开始出错，正确解题过程如下：
$\begin{aligned}m(1+m)-(m-1)^2&=m + m^2 - (m^2 - 2m +1)\\&=m + m^2 - m^2 + 2m -1\\&=3m -1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) 一，正确结果为$\boxed{3m-1}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式混合运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的正确应用，解题时需牢记两个乘法公式的展开形式，去括号时注意符号变化，合理使用乘法公式可简化运算、降低出错率。
【难度系数】
0.8
(1) 计算$3013^2 - 3014 × 3012$时，观察数字特征：3014=3013+1，3012=3013-1，可将乘积项转化为平方差公式的形式，避免大数直接运算，简化计算流程。
(2) 分析雯雯的解题过程，需结合完全平方公式判断：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，雯雯第一步展开$(m-1)^2$时漏了$-2m$项，因此从第一步就出现错误。正确解题时先按运算法则分别展开两项，再去括号、合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 计算$3013^2 - 3014 × 3012$：
$\begin{aligned}原式&=3013^2 - (3013+1)×(3013-1)\\&=3013^2 - (3013^2 - 1^2)\\&=3013^2 - 3013^2 +1\\&=1\end{aligned}$
(2) 雯雯的解答从第一步开始出错，正确解题过程如下：
$\begin{aligned}m(1+m)-(m-1)^2&=m + m^2 - (m^2 - 2m +1)\\&=m + m^2 - m^2 + 2m -1\\&=3m -1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) 一，正确结果为$\boxed{3m-1}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式混合运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的正确应用，解题时需牢记两个乘法公式的展开形式，去括号时注意符号变化，合理使用乘法公式可简化运算、降低出错率。
【难度系数】
0.8
18. (9分)(1)计算: $100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + \dots + 2^2 - 1^2$.
(2)先化简,再求值:已知 $x - y = 1$,求 $(x + y)(x - y) + (y - 1)^2 - x(x - 2)$ 的值.
(2)先化简,再求值:已知 $x - y = 1$,求 $(x + y)(x - y) + (y - 1)^2 - x(x - 2)$ 的值.
答案
解：(1) 原式
$=(100^2 - 99^2)+(98^2 - 97^2)+\dots+(2^2 - 1^2)$
由平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$得：
$=(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+\dots+(2+1)×(2-1)$
$=100+99+98+97+\dots+2+1$
$=\frac{(1+100)×100}{2}$
$=5050$
(2) 化简原式：
$(x+y)(x-y)+(y-1)^2 -x(x-2)$
$=x^2 - y^2 + y^2 - 2y + 1 - x^2 + 2x$
$=2x - 2y + 1$
$=2(x-y)+1$
将$x-y=1$代入得：
原式$=2×1 +1=3$
$=(100^2 - 99^2)+(98^2 - 97^2)+\dots+(2^2 - 1^2)$
由平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$得：
$=(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+\dots+(2+1)×(2-1)$
$=100+99+98+97+\dots+2+1$
$=\frac{(1+100)×100}{2}$
$=5050$
(2) 化简原式：
$(x+y)(x-y)+(y-1)^2 -x(x-2)$
$=x^2 - y^2 + y^2 - 2y + 1 - x^2 + 2x$
$=2x - 2y + 1$
$=2(x-y)+1$
将$x-y=1$代入得：
原式$=2×1 +1=3$
解析
【分析】
(1) 观察算式特征，发现是相邻两个正整数的平方差依次相加，可先将相邻两个平方作为一组分组，再利用平方差公式分解每一组，计算后可转化为从1到100的连续整数求和，最后用等差数列求和公式计算即可。
(2) 本题属于整式化简求值题，先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项，整理成含有已知条件$x-y$的形式，最后整体代入$x-y=1$计算即可，无需单独求解$x、y$的值，简化运算。
【解析】
(1) 原式
$=(100^2 - 99^2)+(98^2 - 97^2)+\dots+(2^2 - 1^2)$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$=(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+\dots+(2+1)×(2-1)$
每一组的差均为1，因此化简得：
$=100+99+98+97+\dots+2+1$
根据等差数列求和公式$S_n=\frac{(a_1+a_n)×n}{2}$，代入得：
$=\frac{(1+100)×100}{2}=5050$
(2) 先化简原式：
$(x+y)(x-y)+(y-1)^2 -x(x-2)$
分别展开各项：
$=x^2 - y^2 + (y^2 - 2y + 1) - (x^2 - 2x)$
去括号后合并同类项：
$=x^2 - y^2 + y^2 - 2y + 1 - x^2 + 2x$
$=2x - 2y + 1$
提取公因式整理为含$x-y$的形式：
$=2(x-y)+1$
将$x-y=1$代入上式：
原式$=2×1 +1=3$
【答案】
(1) $\boxed{5050}$；(2) $\boxed{3}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题重点考查乘法公式在整式运算中的灵活运用，第一问通过分组法结合平方差公式将复杂的平方运算转化为常见的连续整数求和，大幅降低运算量；第二问运用整体代入的思想求值，避免了单独求解未知数的繁琐，是整式运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 观察算式特征，发现是相邻两个正整数的平方差依次相加，可先将相邻两个平方作为一组分组，再利用平方差公式分解每一组，计算后可转化为从1到100的连续整数求和，最后用等差数列求和公式计算即可。
(2) 本题属于整式化简求值题，先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项，整理成含有已知条件$x-y$的形式，最后整体代入$x-y=1$计算即可，无需单独求解$x、y$的值，简化运算。
【解析】
(1) 原式
$=(100^2 - 99^2)+(98^2 - 97^2)+\dots+(2^2 - 1^2)$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$=(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+\dots+(2+1)×(2-1)$
每一组的差均为1，因此化简得：
$=100+99+98+97+\dots+2+1$
根据等差数列求和公式$S_n=\frac{(a_1+a_n)×n}{2}$，代入得：
$=\frac{(1+100)×100}{2}=5050$
(2) 先化简原式：
$(x+y)(x-y)+(y-1)^2 -x(x-2)$
分别展开各项：
$=x^2 - y^2 + (y^2 - 2y + 1) - (x^2 - 2x)$
去括号后合并同类项：
$=x^2 - y^2 + y^2 - 2y + 1 - x^2 + 2x$
$=2x - 2y + 1$
提取公因式整理为含$x-y$的形式：
$=2(x-y)+1$
将$x-y=1$代入上式：
原式$=2×1 +1=3$
【答案】
(1) $\boxed{5050}$；(2) $\boxed{3}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题重点考查乘法公式在整式运算中的灵活运用，第一问通过分组法结合平方差公式将复杂的平方运算转化为常见的连续整数求和，大幅降低运算量；第二问运用整体代入的思想求值，避免了单独求解未知数的繁琐，是整式运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
