10. 将两张如图1所示的边长分别为$a$和$b(a＞b)$的正方形纸片按图2①②两种方式放置在长方形$ABCD$内(图2①②中两张正方形纸片均有部分重叠),长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图2①中阴影部分的面积为$S_1$,图2②中阴影部分的面积为$S_2$,当$AD - AB = 2$时,$S_2 - S_1$的值为 ()


A.$2a$
B.$2b$
C.$2a - 2b$
D.$-2b$

B

【分析】
要计算$S_2 - S_1$的值，我们可以先设长方形$ABCD$的长$AB=x$，宽$AD=y$，由题可知$y-x=2$。接下来分别用$x、y、a、b$表示出$S_1$和$S_2$的面积，再将两个代数式作差化简，最后代入$y-x=2$即可求出结果，作差过程中多数项会相互抵消，无需知道$x、y、a$的具体数值。
【解析】
设长方形$ABCD$中，$AB=x$，$AD=y$，由题意得$AD-AB=y-x=2$。
先表示$S_1$：
$S_1 = y(x-a) + (y-b)(a-b)$
展开得：$S_1 = xy - ay + ay - by - ab + b^2 = xy - by - ab + b^2$
再表示$S_2$：
$S_2 = x(y-a) + (x-b)(a-b)$
展开得：$S_2 = xy - ax + ax - bx - ab + b^2 = xy - bx - ab + b^2$
计算$S_2 - S_1$：
$\begin{aligned}S_2 - S_1&=(xy - bx - ab + b^2) - (xy - by - ab + b^2)\\&=xy - bx - ab + b^2 - xy + by + ab - b^2\\&= -bx + by\\&=b(y - x)\end{aligned}$
代入$y-x=2$，得$S_2 - S_1 = b×2=2b$。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；整体代入求值
【点评】
本题考查整式加减的实际应用，解题核心是正确根据图形拆分阴影部分，列出对应的面积代数式，作差计算时注意去括号的符号规则，最终利用整体代入的思想代入已知条件即可求解，无需计算各边长的具体值。
【难度系数】
0.6

二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 计算:$(-a^2b)(-ab^3)^2 =$ .

$\boldsymbol{-a^4b^7}$

【分析】
本题是整式的混合运算题，需遵循先乘方、后乘法的运算顺序求解：第一步先计算$(-ab^3)^2$，运用积的乘方法则把每个因式分别乘方，再用幂的乘方法则计算$b$的指数，注意负号平方后为正；第二步计算单项式乘单项式，将系数、同底数幂分别相乘，同底数幂相乘时底数不变、指数相加，最后合并各部分结果即可，运算时要注意符号和指数规则不要混淆。
【解析】
解：先计算乘方运算：
根据积的乘方和幂的乘方法则，$(-ab^3)^2=(-a)^2·(b^3)^2=a^2b^{3×2}=a^2b^6$
再计算单项式乘法：
$(-a^2b)· a^2b^6=(-1×1)·(a^2· a^2)·(b· b^6)=-a^{2+2}b^{1+6}=-a^4b^7$
【答案】
$\boldsymbol{-a^4b^7}$
【知识点】
积的乘方运算、同底数幂的乘法、单项式乘单项式
【点评】
本题属于整式运算的基础常考题，核心考查幂的运算法则和整式乘法的运算顺序，解题时需特别注意符号的处理，不要混淆幂的乘方、同底数幂乘法的指数运算规则，熟练掌握基础法则即可快速得分。
【难度系数】
0.7

12.已知$a^2+2a+b^2-6b+10=0$，那么$a=$，$b=$。

$\boldsymbol{a=-1}$，$\boldsymbol{b=3}$

【分析】
观察等式左边的结构，包含a的二次项、一次项，b的二次项、一次项和常数项10，可想到用配方法，将常数项10拆分为1和9，分别与a的相关项、b的相关项组合成完全平方公式，再利用“若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解a、b的值。
【解析】
对原式进行变形拆分常数项：
$\begin{aligned}a^2+2a+b^2-6b+10&=0\\(a^2+2a+1)+(b^2-6b+9)&=0\end{aligned}$
根据完全平方公式得：
$(a+1)^2+(b-3)^2=0$
∵ 平方数具有非负性，即$(a+1)^2≥0$，$(b-3)^2≥0$，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0
∴ $a+1=0$，$b-3=0$
解得：$a=-1$，$b=3$
【答案】
$\boldsymbol{a=-1}$，$\boldsymbol{b=3}$
【知识点】
配方法；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题是整式运算章节的典型基础题，核心考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是准确拆分常数项，将原式转化为两个完全平方式的和，掌握配方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8

13.若$a+b=4,a-b=1$,则$(a+1)^2-(b-1)^2$的值为.

$\boldsymbol{12}$

【分析】
观察所求代数式的结构是两个整式的平方差，优先考虑用平方差公式进行因式分解，将分解后的式子化简整理为含有已知条件$a+b$、$a-b$的形式，再整体代入已知数值计算即可，无需单独求解$a$、$b$的值，简化计算过程。
【解析】
根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}(a+1)^2-(b-1)^2&=[(a+1)+(b-1)][(a+1)-(b-1)]\\&=(a+1+b-1)(a+1-b+1)\\&=(a+b)(a-b+2)\end{aligned}$
已知$a+b=4$，$a-b=1$，将其代入上式得：
原式$=4×(1+2)=4×3=12$
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整体代入
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，选择整体代入的方法可大幅降低计算量，是整式化简求值类题目的常用解题思路，熟练掌握乘法公式是解题的基础。
【难度系数】
0.7

14.若$x^2+2(m-3)x+16$是关于$x$的完全平方式，则$m=$.

解：
由完全平方公式的结构特征可知，若$x^2+2(m-3)x+16$是关于$x$的完全平方式，则：
$2(m-3)=\pm 2×4$
化简得$m-3=\pm4$
当$m-3=4$时，解得$m=7$；
当$m-3=-4$时，解得$m=-1$。
所以$m=7$或$-1$。

【分析】
解题时首先回忆完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式。本题给出的二次三项式首项为$x^2$，对应公式里的$a^2$，常数项16是$4^2$，对应公式里的$b^2$，因此中间项$2(m-3)x$需要对应$\pm2ab$（即$\pm2× x×4$），据此列关于m的方程求解即可，注意要同时考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
由完全平方公式的结构特征可知，若$x^2+2(m-3)x+16$是关于$x$的完全平方式，则：
$2(m-3)=\pm 2×4$
化简得$m-3=\pm4$
当$m-3=4$时，解得$m=7$；
当$m-3=-4$时，解得$m=-1$。
所以$m=7$或$-1$。
【答案】
7或-1
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征；解一元一次方程
【点评】
本题主要考查完全平方式的结构特点，易错点是容易只考虑“和的完全平方”这一种情况，遗漏“差的完全平方”的情况导致漏解，解题时需全面考虑两种可能性。
【难度系数】
0.6

15. (2025·广东)因式分解：$a^2b+ab^2=$ ；$mx-2my=$

解：
$a^2b+ab^2 = ab(a+b)$；
$mx-2my = m(x-2y)$。
答案依次为：$\boldsymbol{ab(a+b)}$；$\boldsymbol{m(x-2y)}$。

【分析】
本题考查用提公因式法进行因式分解，解题思路如下：第一步先确定每个多项式各项的公因式：公因式是多项式各项都含有的公共因式，确定时先找各项系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，两者的乘积就是公因式；第二步将公因式提取出来，用原多项式除以公因式得到的结果作为另一个因式，写成两个因式乘积的形式即可。
第一个多项式$a^2b+ab^2$：系数的最大公约数是1，相同字母a的最低次是1次，b的最低次是1次，所以公因式是$ab$；第二个多项式$mx-2my$：系数的最大公约数是1，相同字母只有m，最低次是1次，所以公因式是$m$。
【解析】
1. 分解$a^2b+ab^2$：
提取公因式$ab$，可得：
$a^2b+ab^2 = ab · a + ab · b = ab(a+b)$
2. 分解$mx-2my$：
提取公因式$m$，可得：
$mx-2my = m · x - m · 2y = m(x-2y)$
【答案】
$ab(a+b)$；$m(x-2y)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题核心是准确识别多项式各项的公因式，掌握提公因式的运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9

三、解答题(共75分)
16. (10分)(2025·河南)(1)计算:$\sqrt[3]{8}+(π -1)^0 - \sqrt{3} × \sqrt{3}$；
(2)化简:$(x+1)^2 - x(x+2)$.

解：
(1) 计算：
$\sqrt[3]{8}+(π-1)^0-\sqrt{3}×\sqrt{3}$
$=2 + 1 - 3$
$=0$
(2) 化简：
$(x+1)^2 - x(x+2)$
$=x^2 + 2x + 1 - x^2 - 2x$
$=1$

【分析】
本题包含实数运算和整式化简两类基础运算题型，解题思路如下：(1)实数运算部分先拆分计算每一项：先根据立方根的定义求$\sqrt[3]{8}$的结果，再根据零指数幂的性质计算$(π-1)^0$，接着按照二次根式乘法规则计算$\sqrt{3}×\sqrt{3}$，最后将三项结果相加减即可。(2)整式化简部分先利用完全平方公式展开$(x+1)^2$，再根据单项式乘多项式的法则计算$x(x+2)$，最后去括号合并同类项得到最简结果。
【解析】
(1) 计算：
$\sqrt[3]{8}+(π -1)^0 - \sqrt{3} × \sqrt{3}$
分别计算各项：$\sqrt[3]{8}=2$，非零数的零次幂为1，故$(π-1)^0=1$，$\sqrt{3}×\sqrt{3}=(\sqrt{3})^2=3$，代入得：
$=2 + 1 - 3$
$=0$
(2) 化简：
$(x+1)^2 - x(x+2)$
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开第一项，单项式乘多项式法则计算第二项，得：
$=x^2 + 2x + 1 - x^2 - 2x$
合并同类项后得：
$=1$
【答案】
(1)$\boxed{0}$；(2)$\boxed{1}$
【知识点】
实数的运算、整式的混合运算、零指数幂的性质
【点评】
本题是基础运算类题目，侧重考察对基础运算法则、公式的掌握程度和运算的细心程度，属于考试中常见的送分类题型，只要熟记相关规则，认真计算即可拿到全部分数。
【难度系数】
0.9