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19. (9分)小刚碰到这么一道题:“分解因式$x^2+2x-3.$”他不会做,就去问老师,老师说:“能否变成平方差的形式? 将原式加上1,再减去1,这样原式可化为$(x^2+2x+1)-4······$”老师话没讲完,小刚就恍然大悟,他马上就做完了此题. 请你仔细领会小刚的做法,将$a^2-2ab-3b^2$分解因式.
答案
解：
$\begin{aligned}a^2 - 2ab - 3b^2&=a^2 - 2ab + b^2 - b^2 - 3b^2\\&=(a - b)^2 - 4b^2\\&=(a - b)^2 - (2b)^2\\&=(a - b + 2b)(a - b - 2b)\\&=(a + b)(a - 3b)\end{aligned}$
$\begin{aligned}a^2 - 2ab - 3b^2&=a^2 - 2ab + b^2 - b^2 - 3b^2\\&=(a - b)^2 - 4b^2\\&=(a - b)^2 - (2b)^2\\&=(a - b + 2b)(a - b - 2b)\\&=(a + b)(a - 3b)\end{aligned}$
解析
【分析】
本题需要用配凑法将原式转化为平方差的形式进行因式分解。首先观察式子前两项$a^2-2ab$，符合完全平方公式的前两项特征，要凑成完全平方需要加上$b^2$，为了不改变原式的大小，加上$b^2$的同时要减去$b^2$，之后将凑出的完全平方部分和剩余的含$b^2$的项合并，即可得到平方差的形式，再利用平方差公式分解，最后合并同类项得到最终结果。
【解析】
通过配凑完全平方，再用平方差公式逐步分解：
$\begin{aligned}a^2 - 2ab - 3b^2&=a^2 - 2ab + b^2 - b^2 - 3b^2\\&=(a - b)^2 - 4b^2\\&=(a - b)^2 - (2b)^2\\&=(a - b + 2b)(a - b - 2b)\\&=(a + b)(a - 3b)\end{aligned}$
【答案】
$(a+b)(a-3b)$
【知识点】
配方法因式分解；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题属于因式分解的灵活应用类题目，核心是掌握“凑项不改变原式值”的原则，通过配凑完全平方将陌生的二次三项式转化为熟悉的平方差结构来分解，分解完成后要注意检查是否分解彻底。
【难度系数】
0.7
本题需要用配凑法将原式转化为平方差的形式进行因式分解。首先观察式子前两项$a^2-2ab$，符合完全平方公式的前两项特征，要凑成完全平方需要加上$b^2$，为了不改变原式的大小，加上$b^2$的同时要减去$b^2$，之后将凑出的完全平方部分和剩余的含$b^2$的项合并，即可得到平方差的形式，再利用平方差公式分解，最后合并同类项得到最终结果。
【解析】
通过配凑完全平方，再用平方差公式逐步分解：
$\begin{aligned}a^2 - 2ab - 3b^2&=a^2 - 2ab + b^2 - b^2 - 3b^2\\&=(a - b)^2 - 4b^2\\&=(a - b)^2 - (2b)^2\\&=(a - b + 2b)(a - b - 2b)\\&=(a + b)(a - 3b)\end{aligned}$
【答案】
$(a+b)(a-3b)$
【知识点】
配方法因式分解；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题属于因式分解的灵活应用类题目，核心是掌握“凑项不改变原式值”的原则，通过配凑完全平方将陌生的二次三项式转化为熟悉的平方差结构来分解，分解完成后要注意检查是否分解彻底。
【难度系数】
0.7
20. (9分)如图8, $AB=AE$, $AB// DE$, $∠ DAB=70°$, $∠ E=40°$.
(1)求$∠ DAE$的度数；
(2)若$∠ B=30°$,求证:$AD=BC$.
(1)求$∠ DAE$的度数；
(2)若$∠ B=30°$,求证:$AD=BC$.
答案
解：(1)
∵ $AB// DE$，
∴ $∠ EAB = ∠ E = 40°$，
又∵ $∠ DAB = 70°$，
∴ $∠ DAE = ∠ DAB - ∠ EAB = 70° - 40° = 30°$。
(2) 证明：
由(1)得 $∠ DAE = 30°$，
∵ $∠ B = 30°$，
∴ $∠ DAE = ∠ B$，
∵ $AB// DE$，
∴ $∠ CAB = ∠ E = 40°$，
在$△ ADE$和$△ BCA$中：
$\begin{cases}∠ E = ∠ CAB \\AE = BA \\∠ DAE = ∠ B\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ BCA \ (\mathrm{ASA})$，
∴ $AD = BC$。
∵ $AB// DE$，
∴ $∠ EAB = ∠ E = 40°$，
又∵ $∠ DAB = 70°$，
∴ $∠ DAE = ∠ DAB - ∠ EAB = 70° - 40° = 30°$。
(2) 证明：
由(1)得 $∠ DAE = 30°$，
∵ $∠ B = 30°$，
∴ $∠ DAE = ∠ B$，
∵ $AB// DE$，
∴ $∠ CAB = ∠ E = 40°$，
在$△ ADE$和$△ BCA$中：
$\begin{cases}∠ E = ∠ CAB \\AE = BA \\∠ DAE = ∠ B\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ BCA \ (\mathrm{ASA})$，
∴ $AD = BC$。
解析
【分析】
(1) 求∠DAE的度数时，先利用平行线的内错角相等性质，由$AB// DE$得到$∠EAB=∠E$，再结合已知的$∠DAB$的度数，用$∠DAB$减去$∠EAB$即可算出$∠DAE$的度数。
(2) 要证明$AD=BC$，可通过证明两条边所在的$△ ADE$和$△ BCA$全等实现。先结合第一问结论和已知条件找到两组相等的对应角，再搭配已知的$AB=AE$的边相等条件，用ASA判定三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
(1) 解：
$\because AB// DE$，
$\therefore ∠EAB = ∠E = 40°$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠DAB = 70°$，
$\therefore ∠DAE = ∠DAB - ∠EAB = 70° - 40° = 30°$。
(2) 证明：
由(1)得$∠DAE = 30°$，
$\because ∠B = 30°$，
$\therefore ∠DAE = ∠B$，
$\because AB// DE$，
$\therefore ∠CAB = ∠E = 40°$（两直线平行，内错角相等），
在$△ ADE$和$△ BCA$中：
$\begin{cases}∠E = ∠CAB \\AE = BA \\∠DAE = ∠B\end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ BCA \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore AD = BC$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$
(2) 证明成立，$AD=BC$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定（ASA）；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，侧重考察基础性质的应用，解题关键是准确匹配全等三角形的对应条件，注意书写全等判定时角和边的对应关系，属于常规得分题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠DAE的度数时，先利用平行线的内错角相等性质，由$AB// DE$得到$∠EAB=∠E$，再结合已知的$∠DAB$的度数，用$∠DAB$减去$∠EAB$即可算出$∠DAE$的度数。
(2) 要证明$AD=BC$，可通过证明两条边所在的$△ ADE$和$△ BCA$全等实现。先结合第一问结论和已知条件找到两组相等的对应角，再搭配已知的$AB=AE$的边相等条件，用ASA判定三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
(1) 解：
$\because AB// DE$，
$\therefore ∠EAB = ∠E = 40°$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠DAB = 70°$，
$\therefore ∠DAE = ∠DAB - ∠EAB = 70° - 40° = 30°$。
(2) 证明：
由(1)得$∠DAE = 30°$，
$\because ∠B = 30°$，
$\therefore ∠DAE = ∠B$，
$\because AB// DE$，
$\therefore ∠CAB = ∠E = 40°$（两直线平行，内错角相等），
在$△ ADE$和$△ BCA$中：
$\begin{cases}∠E = ∠CAB \\AE = BA \\∠DAE = ∠B\end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ BCA \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore AD = BC$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$
(2) 证明成立，$AD=BC$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定（ASA）；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，侧重考察基础性质的应用，解题关键是准确匹配全等三角形的对应条件，注意书写全等判定时角和边的对应关系，属于常规得分题型。
【难度系数】
0.7
