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21. (10分)(1)如图9①,已知△ABC,AC＞AB,∠C=45°.请用尺规作图法,在AC边上求作一点P,使∠PBC=45°(保留作图痕迹,不写作法).
(2)如图9②,已知∠ABC,射线BC上一点D.
求作:等腰△PBD,使线段BD为等腰△PBD的底边,点P在∠ABC的内部,且点P到∠ABC两边的距离相等(保留作图痕迹,不写作法).
(2)如图9②,已知∠ABC,射线BC上一点D.
求作:等腰△PBD,使线段BD为等腰△PBD的底边,点P在∠ABC的内部,且点P到∠ABC两边的距离相等(保留作图痕迹,不写作法).
答案
解：
(1) 以点B为顶点，BC为一边，作∠PBC=45°，使该角的另一边与AC交于点P，点P即为所求，保留尺规作图的完整痕迹。
(2) ① 作∠ABC的角平分线；② 作线段BD的垂直平分线，两条线在∠ABC内部的交点即为点P；③ 连接PB、PD，所得△PBD即为所求的等腰三角形，保留尺规作图的完整痕迹。
(1) 以点B为顶点，BC为一边，作∠PBC=45°，使该角的另一边与AC交于点P，点P即为所求，保留尺规作图的完整痕迹。
(2) ① 作∠ABC的角平分线；② 作线段BD的垂直平分线，两条线在∠ABC内部的交点即为点P；③ 连接PB、PD，所得△PBD即为所求的等腰三角形，保留尺规作图的完整痕迹。
解析
【分析】
(1) 要在AC边上找到点P满足∠PBC=45°，已知∠C=45°，可通过“作一个角等于已知角”的尺规作图方法求解：以B为顶点、BC为一边，作度数为45°的角，该角的另一边与AC的交点即为所求点P。
(2) 要构造符合要求的等腰△PBD：①若BD为等腰三角形的底边，则需满足PB=PD，根据线段垂直平分线的性质，点P必然在线段BD的垂直平分线上；②若点P到∠ABC两边的距离相等，根据角平分线的性质，点P必然在∠ABC的角平分线上。因此只需作出上述两条线，取它们在∠ABC内部的交点为P，再连接PB、PD即可得到所求三角形。
【解析】
(1) 先以点C为圆心、任意长为半径画弧，分别交BC、AC于两点；再以点B为圆心、相同长度为半径画弧，交BC于一点；接着以该交点为圆心、C点处两弧交点的距离为半径画弧，两弧的交点与B点连线的射线和AC的交点就是点P，保留作图痕迹即可。
(2) 第一步用尺规作图作出∠ABC的角平分线，第二步用尺规作图作出线段BD的垂直平分线，取两条线在∠ABC内部的交点为P，最后连接PB、PD，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1) 以点B为顶点，BC为一边，作∠PBC=45°，使该角的另一边与AC交于点P，点P即为所求（保留尺规作图的完整痕迹）。
(2) ① 作∠ABC的角平分线；② 作线段BD的垂直平分线，两条线在∠ABC内部的交点即为点P；③ 连接PB、PD，所得△PBD即为所求的等腰三角形（保留尺规作图的完整痕迹）。
【知识点】
尺规作角；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查基础尺规作图的应用，解题的核心是将题目给出的条件转化为对应的基本作图模型，熟练掌握常见基本尺规作图的操作方法和相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 要在AC边上找到点P满足∠PBC=45°，已知∠C=45°，可通过“作一个角等于已知角”的尺规作图方法求解：以B为顶点、BC为一边，作度数为45°的角，该角的另一边与AC的交点即为所求点P。
(2) 要构造符合要求的等腰△PBD：①若BD为等腰三角形的底边，则需满足PB=PD，根据线段垂直平分线的性质，点P必然在线段BD的垂直平分线上；②若点P到∠ABC两边的距离相等，根据角平分线的性质，点P必然在∠ABC的角平分线上。因此只需作出上述两条线，取它们在∠ABC内部的交点为P，再连接PB、PD即可得到所求三角形。
【解析】
(1) 先以点C为圆心、任意长为半径画弧，分别交BC、AC于两点；再以点B为圆心、相同长度为半径画弧，交BC于一点；接着以该交点为圆心、C点处两弧交点的距离为半径画弧，两弧的交点与B点连线的射线和AC的交点就是点P，保留作图痕迹即可。
(2) 第一步用尺规作图作出∠ABC的角平分线，第二步用尺规作图作出线段BD的垂直平分线，取两条线在∠ABC内部的交点为P，最后连接PB、PD，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1) 以点B为顶点，BC为一边，作∠PBC=45°，使该角的另一边与AC交于点P，点P即为所求（保留尺规作图的完整痕迹）。
(2) ① 作∠ABC的角平分线；② 作线段BD的垂直平分线，两条线在∠ABC内部的交点即为点P；③ 连接PB、PD，所得△PBD即为所求的等腰三角形（保留尺规作图的完整痕迹）。
【知识点】
尺规作角；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查基础尺规作图的应用，解题的核心是将题目给出的条件转化为对应的基本作图模型，熟练掌握常见基本尺规作图的操作方法和相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
22. (10分)如图10,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为$a$的大正方形,两块是边长都为$b$的小正方形,五块是长为$a$、宽为$b$的长方形,且$a＞b$.
(1)观察图形,将多项式$2a^2+5ab+2b^2$分解因式.
(2)若每个小长方形的面积为2.5,四个正方形的面积的和为40,求下列代数式的值:
①$a+b$;
②$a^2b+ab^2$.
(1)观察图形,将多项式$2a^2+5ab+2b^2$分解因式.
(2)若每个小长方形的面积为2.5,四个正方形的面积的和为40,求下列代数式的值:
①$a+b$;
②$a^2b+ab^2$.
答案
解：
(1) 由图形可知，多项式$2a^2+5ab+2b^2$表示裁剪后大长方形的总面积，该大长方形的长为$2a+b$，宽为$a+2b$，
因此$2a^2+5ab+2b^2=(2a+b)(a+2b)$。
(2) 由题意得：$ab=2.5$，$2a^2+2b^2=40$，
化简得$a^2+b^2=20$。
① 由完全平方公式可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=20+2×2.5=25$，
$\because a＞b＞0$，
$\therefore a+b＞0$，
$\therefore a+b=5$。
② 对代数式因式分解得：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$，
将$ab=2.5$，$a+b=5$代入得：
原式$=2.5×5=12.5$。
(1) 由图形可知，多项式$2a^2+5ab+2b^2$表示裁剪后大长方形的总面积，该大长方形的长为$2a+b$，宽为$a+2b$，
因此$2a^2+5ab+2b^2=(2a+b)(a+2b)$。
(2) 由题意得：$ab=2.5$，$2a^2+2b^2=40$，
化简得$a^2+b^2=20$。
① 由完全平方公式可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=20+2×2.5=25$，
$\because a＞b＞0$，
$\therefore a+b＞0$，
$\therefore a+b=5$。
② 对代数式因式分解得：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$，
将$ab=2.5$，$a+b=5$代入得：
原式$=2.5×5=12.5$。
解析
【分析】
(1) 本题可借助面积法分解因式：已知裁剪后9块图形的面积总和为$2a^2+5ab+2b^2$，该总和等于拼接后大长方形的总面积，只需要求出大长方形的长和宽，根据长方形面积公式“面积=长×宽”即可完成因式分解。
(2) 首先根据题意转化条件：小长方形面积为$ab$，四个正方形的面积和为$2a^2+2b^2$，先整理得到$ab$和$a^2+b^2$的值；①求$a+b$时，利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入已知值计算后，结合$a、b$均为正数的条件开方即可得到结果；②先对$a^2b+ab^2$提取公因式$ab$变形，再代入$ab$和$a+b$的结果计算即可。
【解析】
(1) 由图可知，9块图形拼接成的大长方形的面积等于各部分面积之和，即总面积为$2a^2+5ab+2b^2$；
观察图形可得大长方形的长为$2a+b$，宽为$a+2b$，根据长方形面积公式可得：
$2a^2+5ab+2b^2=(2a+b)(a+2b)$。
(2) 根据题意得：小长方形面积$ab=2.5$，四个正方形的面积和$2a^2+2b^2=40$，化简得$a^2+b^2=20$。
① 由完全平方公式变形得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
将$a^2+b^2=20$，$ab=2.5$代入得：
$(a+b)^2=20+2×2.5=25$，
$\because a＞b＞0$，$\therefore a+b＞0$，
$\therefore a+b=\sqrt{25}=5$。
② 先对$a^2b+ab^2$因式分解，提取公因式$ab$得：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$，
将$ab=2.5$，$a+b=5$代入得：
原式$=2.5×5=12.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2a^2+5ab+2b^2=(2a+b)(a+2b)}$
(2) ① $\boldsymbol{a+b=5}$；② $\boldsymbol{12.5}$
【知识点】
因式分解的应用；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题结合几何图形的面积考查代数知识的应用，体现了数形结合的思想，需要熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式的变形，能够根据题意提取有效条件代入计算，是整式章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 本题可借助面积法分解因式：已知裁剪后9块图形的面积总和为$2a^2+5ab+2b^2$，该总和等于拼接后大长方形的总面积，只需要求出大长方形的长和宽，根据长方形面积公式“面积=长×宽”即可完成因式分解。
(2) 首先根据题意转化条件：小长方形面积为$ab$，四个正方形的面积和为$2a^2+2b^2$，先整理得到$ab$和$a^2+b^2$的值；①求$a+b$时，利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入已知值计算后，结合$a、b$均为正数的条件开方即可得到结果；②先对$a^2b+ab^2$提取公因式$ab$变形，再代入$ab$和$a+b$的结果计算即可。
【解析】
(1) 由图可知，9块图形拼接成的大长方形的面积等于各部分面积之和，即总面积为$2a^2+5ab+2b^2$；
观察图形可得大长方形的长为$2a+b$，宽为$a+2b$，根据长方形面积公式可得：
$2a^2+5ab+2b^2=(2a+b)(a+2b)$。
(2) 根据题意得：小长方形面积$ab=2.5$，四个正方形的面积和$2a^2+2b^2=40$，化简得$a^2+b^2=20$。
① 由完全平方公式变形得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
将$a^2+b^2=20$，$ab=2.5$代入得：
$(a+b)^2=20+2×2.5=25$，
$\because a＞b＞0$，$\therefore a+b＞0$，
$\therefore a+b=\sqrt{25}=5$。
② 先对$a^2b+ab^2$因式分解，提取公因式$ab$得：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$，
将$ab=2.5$，$a+b=5$代入得：
原式$=2.5×5=12.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2a^2+5ab+2b^2=(2a+b)(a+2b)}$
(2) ① $\boldsymbol{a+b=5}$；② $\boldsymbol{12.5}$
【知识点】
因式分解的应用；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题结合几何图形的面积考查代数知识的应用，体现了数形结合的思想，需要熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式的变形，能够根据题意提取有效条件代入计算，是整式章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
