23.(11分)【感悟】
如图11,在△ABE中,点C、D在边BE上,AB=AE,BC=DE.求证:∠BAC=∠EAD.

【应用】
(1)如图12,用直尺和圆规在直线BC上取点D、点E(点D在点E的左侧),使得∠EAD=∠BAC,且DE=BC(不写作法,保留作图痕迹);

(2)如图13,用直尺和圆规在直线AC上取一点D,在直线BC上取一点E,使得∠CDE=∠BAC,且DE=AB(不写作法,保留作图痕迹).

感悟部分证明：
证明：
∵ $AB = AE$，
∴ $∠ B = ∠ E$（等边对等角）。
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\begin{cases}AB = AE,\\∠ B = ∠ E,\\BC = DE,\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ AED$（SAS），
∴ $∠ BAC = ∠ EAD$。
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应用部分：
(1) 按尺规作等角、截取等长线段的规范操作，在直线$BC$上得到符合要求的点$D$、点$E$（点$D$在点$E$左侧），完整保留所有作图圆弧痕迹，两点即为所求。
(2) 按尺规作等角、截取等长线段的规范操作，在直线$AC$上得到点$D$、直线$BC$上得到点$E$，完整保留所有作图圆弧痕迹，两点即为所求。

【分析】
本题分为证明和尺规作图两部分。①感悟部分：要证∠BAC=∠EAD，可通过证明两角所在的三角形全等实现。已知AB=AE，可得等腰△ABE底角相等即∠B=∠E，结合已知BC=DE，满足SAS全等判定条件，证得△ABC≌△AED后，利用全等三角形对应角相等即可得证。②应用(1)：要得到∠EAD=∠BAC且DE=BC，只需利用尺规作图基本操作，先在直线BC上截取DE=BC（保证D在E左侧），再以A为顶点作∠EAD=∠BAC即可，需保留所有作图痕迹。③应用(2)：同理，先在直线AC上取点D，再以D为顶点作∠CDE=∠BAC，之后在角的另一边上截取DE=AB，交直线BC于点E即可，注意保留所有作图圆弧痕迹。
【解析】
感悟部分证明：
∵ $AB = AE$，
∴ $∠ B = ∠ E$（等边对等角）。
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\begin{cases}AB = AE,\\∠ B = ∠ E,\\BC = DE,\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ AED$（SAS），
∴ $∠ BAC = ∠ EAD$。
应用部分：
(1) 先使用圆规量取BC的长度，在直线BC上截取DE=BC，保证点D在点E左侧，再以A为顶点、AE为一边，用尺规作∠EAD=∠BAC，角的另一边与直线BC的交点即为D，完整保留所有作图圆弧痕迹即可。
(2) 先在直线AC上任取一点D，以D为顶点、DC为一边，用尺规作∠CDE=∠BAC，再以D为圆心、AB长为半径画弧，弧与直线BC的交点即为E，完整保留所有作图圆弧痕迹即可。
【答案】
感悟部分：
证明：
∵ $AB = AE$，
∴ $∠ B = ∠ E$（等边对等角）。
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\begin{cases}AB = AE,\\∠ B = ∠ E,\\BC = DE,\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ AED$（SAS），
∴ $∠ BAC = ∠ EAD$。
应用部分：
(1) 按尺规作等角、截取等长线段的规范操作，在直线$BC$上得到符合要求的点$D$、点$E$（点$D$在点$E$左侧），完整保留所有作图圆弧痕迹，两点即为所求。
(2) 按尺规作等角、截取等长线段的规范操作，在直线$AC$上得到点$D$、直线$BC$上得到点$E$，完整保留所有作图圆弧痕迹，两点即为所求。
【知识点】
等腰三角形性质、全等三角形判定与性质、尺规作图
【点评】
本题结合几何证明与尺规作图两类题型，既考查了基础的全等三角形证明逻辑，也考查了尺规作图的基本操作能力，要求学生熟练掌握等腰三角形、全等三角形相关定理，同时能规范完成作等角、截等长线段的尺规操作，注意保留作图痕迹。
【难度系数】
0.8