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4.关于下边的竖式，小明与小亮有一段对话。
小明说：“竖式计算的结果是一个循环小数。”
小亮说：“不一定，不能这么早下结论。必须知道被除数与除数是多少才能确定是不是循环小数。”
你认同谁的观点，为什么？
小明说：“竖式计算的结果是一个循环小数。”
小亮说：“不一定，不能这么早下结论。必须知道被除数与除数是多少才能确定是不是循环小数。”
你认同谁的观点，为什么？
答案
认同小明的观点。从竖式的余数中可以看出,余数10添0成100后,100除以除数产生新的余数还是10,这样余数重复出现,从商的百分位开始重复出现“2”,所以这道竖式的结果一定是一个循环小数。
解析
【分析】
解题时首先回忆循环小数的产生规律：除法计算中，如果除到某一位后余数开始重复出现，那么对应的商也会重复出现，所得的商就是循环小数。接着观察题中的除法竖式：可以看到计算到商的百分位时，余数是10，和商十分位后得到的余数完全相同。再推导后续计算过程：接下来继续计算时，还是要给余数10添0继续除，得到的商还是2，余数又会回到10，会不断重复这个过程，因此不需要知道具体的被除数和除数，就能确定商是循环小数，可知小明的观点正确。
【解析】
观察竖式的余数特征：商完十分位上的4后，得到余数10，给余数10添0继续除，商百分位上的2，计算后新的余数仍然是10。按照小数除法的计算规则，接下来继续计算时，仍然要给余数10添0再除以除数，得到的商还是2，余数还会是10，这个过程会不断循环，因此商的百分位之后会不断重复出现数字“2”，所以该竖式的计算结果一定是循环小数，小明的观点正确。
【答案】
认同小明的观点。从竖式的余数中可以看出,余数10添0成100后,100除以除数产生新的余数还是10,这样余数重复出现,从商的百分位开始重复出现“2”,所以这道竖式的结果一定是一个循环小数。
【知识点】
循环小数的判定、小数除法计算
【点评】
这道题立足除法竖式的计算过程，考查循环小数的本质特征，引导学生关注除法计算中余数和商的关联，而非局限于具体的数值计算，能帮助加深对循环小数产生原因的理解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆循环小数的产生规律：除法计算中，如果除到某一位后余数开始重复出现，那么对应的商也会重复出现，所得的商就是循环小数。接着观察题中的除法竖式：可以看到计算到商的百分位时，余数是10，和商十分位后得到的余数完全相同。再推导后续计算过程：接下来继续计算时，还是要给余数10添0继续除，得到的商还是2，余数又会回到10，会不断重复这个过程，因此不需要知道具体的被除数和除数，就能确定商是循环小数，可知小明的观点正确。
【解析】
观察竖式的余数特征：商完十分位上的4后，得到余数10，给余数10添0继续除，商百分位上的2，计算后新的余数仍然是10。按照小数除法的计算规则，接下来继续计算时，仍然要给余数10添0再除以除数，得到的商还是2，余数还会是10，这个过程会不断循环，因此商的百分位之后会不断重复出现数字“2”，所以该竖式的计算结果一定是循环小数，小明的观点正确。
【答案】
认同小明的观点。从竖式的余数中可以看出,余数10添0成100后,100除以除数产生新的余数还是10,这样余数重复出现,从商的百分位开始重复出现“2”,所以这道竖式的结果一定是一个循环小数。
【知识点】
循环小数的判定、小数除法计算
【点评】
这道题立足除法竖式的计算过程，考查循环小数的本质特征，引导学生关注除法计算中余数和商的关联，而非局限于具体的数值计算，能帮助加深对循环小数产生原因的理解。
【难度系数】
0.7
5.“嫦娥二号”探测器绕月一周大约需要 118 分钟，绕月 4 周大约需要多少小时？（得数保留两位小数。）
答案
5. 118×4=472(分) 472÷60≈7.87(时)
解析
【分析】
解题时我们分两步思考：第一步先求绕月4周的总分钟数，已知绕月1周需要118分钟，求4周的总时长就是求4个118的和，用乘法计算即可。第二步进行单位换算，因为最终结果的单位是小时，1小时=60分钟，小单位换算为大单位要除以进率60，最后按要求将得数保留两位小数即可。
【解析】
1. 计算绕月4周的总分钟数：
$118× 4=472$（分）
2. 将分钟换算为小时，保留两位小数：
$472÷ 60\approx 7.87$（时）
【答案】
7.87小时
【知识点】
整数乘法应用；时间单位换算；小数取近似值
【点评】
本题结合航天实际情境出题，既考查基础乘除法计算能力，也考查单位换算和小数求近似值的掌握情况，解题时要注意牢记时间单位进率，按要求保留小数位数。
【难度系数】
0.8
解题时我们分两步思考：第一步先求绕月4周的总分钟数，已知绕月1周需要118分钟，求4周的总时长就是求4个118的和，用乘法计算即可。第二步进行单位换算，因为最终结果的单位是小时，1小时=60分钟，小单位换算为大单位要除以进率60，最后按要求将得数保留两位小数即可。
【解析】
1. 计算绕月4周的总分钟数：
$118× 4=472$（分）
2. 将分钟换算为小时，保留两位小数：
$472÷ 60\approx 7.87$（时）
【答案】
7.87小时
【知识点】
整数乘法应用；时间单位换算；小数取近似值
【点评】
本题结合航天实际情境出题，既考查基础乘除法计算能力，也考查单位换算和小数求近似值的掌握情况，解题时要注意牢记时间单位进率，按要求保留小数位数。
【难度系数】
0.8
6.把$15÷7$的商用循环小数表示，小数点后面第30位数字是多少？商的小数部分前30位上所有数字的和是多少？
答案
6. 15÷7=2.$\dot{1}$4285$\dot{7}$
30÷6=5(组),则小数点后第30位数字是7。
(1+4+2+8+5+7)×5=135
30÷6=5(组),则小数点后第30位数字是7。
(1+4+2+8+5+7)×5=135
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，先计算15÷7的商，将商用循环小数表示，找到重复出现的循环节，确认循环节的位数；第二步，求第30位数字时，用30除以循环节的位数，若整除则第30位是循环节的最后一位，若有余数，余数是几就对应循环节的第几位；第三步，求前30位数字的和时，先计算一个循环节的数字和，再乘循环的组数即可得到总和。
【解析】
首先计算15÷7的商：$15÷7=2.142857142857···$，用循环小数表示为$2.\dot{1}4285\dot{7}$，它的循环节是142857，共6位数字，即每6个数字为一个循环周期。
1. 求第30位数字：
用总位数除以循环节位数：$30÷6=5$（组），没有余数，说明第30位是第5个循环周期的最后一位数字，也就是循环节的最后一位7。
2. 求前30位数字的和：
先计算1个循环节的数字和：$1+4+2+8+5+7=27$
一共有5个完整的循环周期，所以总和为：$27×5=135$
【答案】
小数点后面第30位数字是7，商的小数部分前30位上所有数字的和是135。
【知识点】
循环小数的认识，周期问题计算，小数除法运算
【点评】
本题综合考查循环小数的识别和周期规律的运用，解题关键是先准确计算出商并找到循环周期，再结合除法的意义计算即可，解题逻辑清晰，掌握规律后不难解答。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思考：第一步，先计算15÷7的商，将商用循环小数表示，找到重复出现的循环节，确认循环节的位数；第二步，求第30位数字时，用30除以循环节的位数，若整除则第30位是循环节的最后一位，若有余数，余数是几就对应循环节的第几位；第三步，求前30位数字的和时，先计算一个循环节的数字和，再乘循环的组数即可得到总和。
【解析】
首先计算15÷7的商：$15÷7=2.142857142857···$，用循环小数表示为$2.\dot{1}4285\dot{7}$，它的循环节是142857，共6位数字，即每6个数字为一个循环周期。
1. 求第30位数字：
用总位数除以循环节位数：$30÷6=5$（组），没有余数，说明第30位是第5个循环周期的最后一位数字，也就是循环节的最后一位7。
2. 求前30位数字的和：
先计算1个循环节的数字和：$1+4+2+8+5+7=27$
一共有5个完整的循环周期，所以总和为：$27×5=135$
【答案】
小数点后面第30位数字是7，商的小数部分前30位上所有数字的和是135。
【知识点】
循环小数的认识，周期问题计算，小数除法运算
【点评】
本题综合考查循环小数的识别和周期规律的运用，解题关键是先准确计算出商并找到循环周期，再结合除法的意义计算即可，解题逻辑清晰，掌握规律后不难解答。
【难度系数】
0.7
7.先用计算器计算前三题，再按规律填写余下各题的计算结果。
(1)$54÷6=(\quad)$
$45.54÷6.6=(\quad)$
$445.554÷6.66=(\quad)$
$4445.5554÷6.666=(\quad)$
$44445.55554÷6.6666=(\quad)$
(2)$6.6×9.9=(\quad)$
$6.66×9.99=(\quad)$
$6.666×9.999=(\quad)$
$6.6666×9.9999=(\quad)$
$6.66666×9.99999=(\quad)$
(1)$54÷6=(\quad)$
$45.54÷6.6=(\quad)$
$445.554÷6.66=(\quad)$
$4445.5554÷6.666=(\quad)$
$44445.55554÷6.6666=(\quad)$
(2)$6.6×9.9=(\quad)$
$6.66×9.99=(\quad)$
$6.666×9.999=(\quad)$
$6.6666×9.9999=(\quad)$
$6.66666×9.99999=(\quad)$
答案
7. (1)9 6.9 66.9 666.9 6666.9
(2)65.34 66.5334 66.653334 66.66533334 66.666533334
(2)65.34 66.5334 66.653334 66.66533334 66.666533334
解析
【分析】
这是一道规律探究类题目，分为小数除法和小数乘法两组，解题思路如下：
1. 先按题目要求，用计算器准确算出每组前3道题的结果；
2. 分别观察两组题中被除数、除数（或两个因数）的变化特点，再对比对应结果的数字变化，总结出通用规律；
3. 直接套用总结出的规律，写出余下题目的结果，无需逐题计算。
其中第(1)组除法题可观察被除数、除数中4、5、6的个数变化，对应找商的变化规律；第(2)组乘法题可观察因数中6和9的个数变化，对应找积的数字排列规律。
【解析】
(1) 先用计算器计算前3题：
$54÷6=9$
$45.54÷6.6=6.9$
$445.554÷6.66=66.9$
规律总结：除数每多1个6，商的整数部分就多1个6，商的末尾始终是$.9$，商的整数部分位数和除数的小数位数相同。
据此写出后两题结果：
$4445.5554÷6.666=666.9$
$44445.55554÷6.6666=6666.9$
(2) 先用计算器计算前3题：
$6.6×9.9=65.34$
$6.66×9.99=66.5334$
$6.666×9.999=66.653334$
规律总结：两个因数的小数部分每多1个6和1个9，积里数字5的前面就多1个6，数字4的前面就多1个3，5是分隔6和3的固定数字。
据此写出后两题结果：
$6.6666×9.9999=66.66533334$
$6.66666×9.99999=66.6665333334$
【答案】
(1)9；6.9；66.9；666.9；6666.9
(2)65.34；66.5334；66.653334；66.66533334；66.6665333334
【知识点】
用计算器探索规律；小数乘除法计算
【点评】
本题重点考查观察归纳能力，需要先准确计算前几道题的结果，再对比数字变化总结规律，掌握规律后可以快速得出所有结果，能有效锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
这是一道规律探究类题目，分为小数除法和小数乘法两组，解题思路如下：
1. 先按题目要求，用计算器准确算出每组前3道题的结果；
2. 分别观察两组题中被除数、除数（或两个因数）的变化特点，再对比对应结果的数字变化，总结出通用规律；
3. 直接套用总结出的规律，写出余下题目的结果，无需逐题计算。
其中第(1)组除法题可观察被除数、除数中4、5、6的个数变化，对应找商的变化规律；第(2)组乘法题可观察因数中6和9的个数变化，对应找积的数字排列规律。
【解析】
(1) 先用计算器计算前3题：
$54÷6=9$
$45.54÷6.6=6.9$
$445.554÷6.66=66.9$
规律总结：除数每多1个6，商的整数部分就多1个6，商的末尾始终是$.9$，商的整数部分位数和除数的小数位数相同。
据此写出后两题结果：
$4445.5554÷6.666=666.9$
$44445.55554÷6.6666=6666.9$
(2) 先用计算器计算前3题：
$6.6×9.9=65.34$
$6.66×9.99=66.5334$
$6.666×9.999=66.653334$
规律总结：两个因数的小数部分每多1个6和1个9，积里数字5的前面就多1个6，数字4的前面就多1个3，5是分隔6和3的固定数字。
据此写出后两题结果：
$6.6666×9.9999=66.66533334$
$6.66666×9.99999=66.6665333334$
【答案】
(1)9；6.9；66.9；666.9；6666.9
(2)65.34；66.5334；66.653334；66.66533334；66.6665333334
【知识点】
用计算器探索规律；小数乘除法计算
【点评】
本题重点考查观察归纳能力，需要先准确计算前几道题的结果，再对比数字变化总结规律，掌握规律后可以快速得出所有结果，能有效锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
