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1.填一填。
懂算理:下面的转化利用的是(
会运用:把下面的算式转化成除数是整数的除法算式。
$0.78÷0.13=( )÷13$
$3.15÷0.03=315÷( )$
$0.048÷0.12=( )÷( )$
$1.11÷2.05=( )÷( )$
懂算理:下面的转化利用的是(
商不变
)规律。会运用:把下面的算式转化成除数是整数的除法算式。
$0.78÷0.13=( )÷13$
$3.15÷0.03=315÷( )$
$0.048÷0.12=( )÷( )$
$1.11÷2.05=( )÷( )$
答案
1. 商不变 100 100 78 3 4.8 12 111 205
解析
【分析】
解题的核心依据是商不变规律，即被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变。解题思路如下：1. 观察插图中的除数0.85是两位小数，要转化为整数需把小数点向右移动两位，也就是扩大到原来的100倍，根据商不变规律，被除数也要同步扩大100倍，就能把算式转化为除数是整数的除法。2. 后续的转化题同样遵循该规律：先看除数变成整数时扩大的倍数，将被除数扩大相同倍数；或看被除数扩大的倍数，将除数也扩大相同倍数即可。
【解析】
懂算理部分
除数是小数的除法转化依据是商不变规律。观察插图：除数0.85有2位小数，要变成整数85，需将小数点右移2位，即扩大到它的100倍；为保证商不变，被除数9.35也要扩大到它的100倍。
会运用部分
1. $0.78÷0.13$：除数0.13变为13，小数点右移2位（乘100），被除数0.78同步乘100得78，所以填78。
2. $3.15÷0.03$：被除数3.15变为315，小数点右移2位（乘100），除数0.03同步乘100得3，所以填3。
3. $0.048÷0.12$：除数0.12是两位小数，变为整数12需乘100，被除数0.048同步乘100得4.8，所以填4.8和12。
4. $1.11÷2.05$：除数2.05是两位小数，变为整数205需乘100，被除数1.11同步乘100得111，所以填111和205。
【答案】
商不变；100；100；78；3；4.8；12；111；205
【知识点】
商不变规律；小数除法转化；小数点移动
【点评】
本题考查除数是小数的除法的算理和转化方法，是小数除法运算的核心基础。解题关键是熟练掌握商不变规律，注意转化时被除数和除数必须同时扩大相同的倍数，避免出现仅扩大除数或扩大倍数不一致的错误。
【难度系数】
0.85
解题的核心依据是商不变规律，即被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变。解题思路如下：1. 观察插图中的除数0.85是两位小数，要转化为整数需把小数点向右移动两位，也就是扩大到原来的100倍，根据商不变规律，被除数也要同步扩大100倍，就能把算式转化为除数是整数的除法。2. 后续的转化题同样遵循该规律：先看除数变成整数时扩大的倍数，将被除数扩大相同倍数；或看被除数扩大的倍数，将除数也扩大相同倍数即可。
【解析】
懂算理部分
除数是小数的除法转化依据是商不变规律。观察插图：除数0.85有2位小数，要变成整数85，需将小数点右移2位，即扩大到它的100倍；为保证商不变，被除数9.35也要扩大到它的100倍。
会运用部分
1. $0.78÷0.13$：除数0.13变为13，小数点右移2位（乘100），被除数0.78同步乘100得78，所以填78。
2. $3.15÷0.03$：被除数3.15变为315，小数点右移2位（乘100），除数0.03同步乘100得3，所以填3。
3. $0.048÷0.12$：除数0.12是两位小数，变为整数12需乘100，被除数0.048同步乘100得4.8，所以填4.8和12。
4. $1.11÷2.05$：除数2.05是两位小数，变为整数205需乘100，被除数1.11同步乘100得111，所以填111和205。
【答案】
商不变；100；100；78；3；4.8；12；111；205
【知识点】
商不变规律；小数除法转化；小数点移动
【点评】
本题考查除数是小数的除法的算理和转化方法，是小数除法运算的核心基础。解题关键是熟练掌握商不变规律，注意转化时被除数和除数必须同时扩大相同的倍数，避免出现仅扩大除数或扩大倍数不一致的错误。
【难度系数】
0.85
2.一捆彩带长52.5 m，把它剪成每根长1.25 m的包装绳，可以剪多少根？根据题意，可列出竖式（如图）。下列说法正确的是(
A.可以剪4.2根
B.可以剪42根
C.方框中的“500”表示500 m
D.箭头所指的“250”表示剪42根1.25 m长的包装绳需要250 m
B
)。A.可以剪4.2根
B.可以剪42根
C.方框中的“500”表示500 m
D.箭头所指的“250”表示剪42根1.25 m长的包装绳需要250 m
答案
2. B
解析
【分析】
这道题是求52.5m里包含多少个1.25m，用除法计算，解题时先结合小数除法的计算规则算出商，再逐一分析每个选项的对错：首先回忆除数是小数的除法要利用商不变规律，把除数转化为整数再计算；其次要明确竖式中每个数是被除数和除数扩大100倍后得到的，判断其实际意义时要还原到原单位的大小。
【解析】
首先计算可剪的根数：$52.5÷1.25$，根据商不变规律，将除数1.25扩大100倍变为125，被除数52.5同步扩大100倍变为5250，计算得$5250÷125=42$，即可剪42根。
接下来逐一判断选项：
选项A：剪的根数为正整数，不可能是4.2根，错误。
选项B：计算得商为42，可剪42根，正确。
选项C：方框中的“500”是$125×4$的结果，这里的4对应商的十位，代表40根，实际长度为$1.25×40=50\mathrm{m}$，不是500m，错误。
选项D：箭头所指的“250”是$125×2$的结果，这里的2对应商的个位，代表2根，实际长度为$1.25×2=2.5\mathrm{m}$，不是250m，错误。
【答案】
B
【知识点】
小数除法计算；商不变规律；除法竖式意义
【点评】
本题结合生活场景考查小数除法的应用和竖式各部分的含义，解题时要注意小数除法计算中被除数和除数同步扩大倍数后，竖式中的数值和实际代表的量的区别，结合数位判断实际大小即可正确解题。
【难度系数】
0.7
这道题是求52.5m里包含多少个1.25m，用除法计算，解题时先结合小数除法的计算规则算出商，再逐一分析每个选项的对错：首先回忆除数是小数的除法要利用商不变规律，把除数转化为整数再计算；其次要明确竖式中每个数是被除数和除数扩大100倍后得到的，判断其实际意义时要还原到原单位的大小。
【解析】
首先计算可剪的根数：$52.5÷1.25$，根据商不变规律，将除数1.25扩大100倍变为125，被除数52.5同步扩大100倍变为5250，计算得$5250÷125=42$，即可剪42根。
接下来逐一判断选项：
选项A：剪的根数为正整数，不可能是4.2根，错误。
选项B：计算得商为42，可剪42根，正确。
选项C：方框中的“500”是$125×4$的结果，这里的4对应商的十位，代表40根，实际长度为$1.25×40=50\mathrm{m}$，不是500m，错误。
选项D：箭头所指的“250”是$125×2$的结果，这里的2对应商的个位，代表2根，实际长度为$1.25×2=2.5\mathrm{m}$，不是250m，错误。
【答案】
B
【知识点】
小数除法计算；商不变规律；除法竖式意义
【点评】
本题结合生活场景考查小数除法的应用和竖式各部分的含义，解题时要注意小数除法计算中被除数和除数同步扩大倍数后，竖式中的数值和实际代表的量的区别，结合数位判断实际大小即可正确解题。
【难度系数】
0.7
3.列竖式计算，带*的要验算。
3.91÷0.23=
10. 2÷2.5=
3. 75÷0.025=
3.91÷0.23=
10. 2÷2.5=
3. 75÷0.025=
答案
3. 3.91÷0.23 = 17
10.2÷2.5 = 4.08
验算：
3.75÷0.025 = 150
验算：
解析
【分析】
这是除数是小数的除法计算题，解题时遵循商不变规律：①先看除数有几位小数，把除数的小数点向右移动相应位数，使其变成整数；②被除数的小数点也向右移动相同的位数，位数不够的补0占位；③按照除数是整数的小数除法规则计算即可。需要验算的题目，用“商×除数=被除数”的关系验证结果是否正确。
【解析】
1. 计算$3.91÷0.23$：
除数0.23是两位小数，将除数和被除数的小数点同时向右移动2位，转化为$391÷23$。先算$39÷23$商1，余16，把个位的1落下来得161，$161÷23$商7，刚好除尽，得商17。
2. 计算$10.2÷2.5$：
除数2.5是一位小数，将除数和被除数的小数点同时向右移动1位，转化为$102÷25$。$102÷25$商4，余2，补0变成20，不够除则商的十分位写0，再补0变成200，$200÷25$商8，所以商是4.08。
验算：用商4.08乘除数2.5，先算$408×25=10200$，两个乘数一共有3位小数，从积的右边数3位点小数点，得10.200，化简为10.2，和被除数一致，计算正确。
3. 计算$3.75÷0.025$：
除数0.025是三位小数，将除数和被除数的小数点同时向右移动3位，被除数3.75只有两位小数，补1个0占位，转化为$3750÷25$。$37÷25$商1，余12，把5落下来得125，$125÷25$商5，最后落0直接商0，得商150。
验算：用商150乘除数0.025，先算$150×25=3750$，两个乘数一共有3位小数，从积的右边数3位点小数点，得3.750，化简为3.75，和被除数一致，计算正确。
【答案】
$3.91÷0.23 = 17$
$10.2÷2.5 = 4.08$
验算：
$3.75÷0.025 = 150$
验算：
【知识点】
除数是小数的除法，乘除法验算，小数乘除法计算
【点评】
本题核心是考察除数是小数的除法运算方法，解题的关键是熟练运用商不变的规律完成除数到整数的转化，计算时注意小数点移动的位数和补0规则，验算可以有效检查计算过程中是否出现小数点定位错误。
【难度系数】
0.7
这是除数是小数的除法计算题，解题时遵循商不变规律：①先看除数有几位小数，把除数的小数点向右移动相应位数，使其变成整数；②被除数的小数点也向右移动相同的位数，位数不够的补0占位；③按照除数是整数的小数除法规则计算即可。需要验算的题目，用“商×除数=被除数”的关系验证结果是否正确。
【解析】
1. 计算$3.91÷0.23$：
除数0.23是两位小数，将除数和被除数的小数点同时向右移动2位，转化为$391÷23$。先算$39÷23$商1，余16，把个位的1落下来得161，$161÷23$商7，刚好除尽，得商17。
2. 计算$10.2÷2.5$：
除数2.5是一位小数，将除数和被除数的小数点同时向右移动1位，转化为$102÷25$。$102÷25$商4，余2，补0变成20，不够除则商的十分位写0，再补0变成200，$200÷25$商8，所以商是4.08。
验算：用商4.08乘除数2.5，先算$408×25=10200$，两个乘数一共有3位小数，从积的右边数3位点小数点，得10.200，化简为10.2，和被除数一致，计算正确。
3. 计算$3.75÷0.025$：
除数0.025是三位小数，将除数和被除数的小数点同时向右移动3位，被除数3.75只有两位小数，补1个0占位，转化为$3750÷25$。$37÷25$商1，余12，把5落下来得125，$125÷25$商5，最后落0直接商0，得商150。
验算：用商150乘除数0.025，先算$150×25=3750$，两个乘数一共有3位小数，从积的右边数3位点小数点，得3.750，化简为3.75，和被除数一致，计算正确。
【答案】
$3.91÷0.23 = 17$
$10.2÷2.5 = 4.08$
验算：
$3.75÷0.025 = 150$
验算：
【知识点】
除数是小数的除法，乘除法验算，小数乘除法计算
【点评】
本题核心是考察除数是小数的除法运算方法，解题的关键是熟练运用商不变的规律完成除数到整数的转化，计算时注意小数点移动的位数和补0规则，验算可以有效检查计算过程中是否出现小数点定位错误。
【难度系数】
0.7
4.小明在验算下面的小数除法算式时发现:积和被除数的小数位数不相同。请你帮他找出错误的原因并改正。
(1)错误的原因是:
(2)改正:
(1)错误的原因是:
被除数和除数扩大的倍数不同
。(2)改正:
答案
4.(1) 被除数和除数扩大的倍数不同
(2)
解析
【分析】
解决这道题要先回忆除数是小数的除法计算规则：计算时要根据商不变的规律，先把除数的小数点向右移动，使除数变为整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动相同的位数，再按除数是整数的小数除法计算。
首先看题中的算式：被除数是2.25，除数是2.5。要把除数2.5转化为整数，需将小数点向右移动1位（即扩大到原数的10倍）变为25，对应被除数2.25的小数点也要向右移动1位（扩大到原数的10倍）变为22.5。观察错误竖式，发现被除数的小数点被向右移动了2位，相当于扩大到原数的100倍，和除数扩大的倍数不一致，违反了商不变的规律，因此计算错误，验算时得到的积和原被除数小数位数不同。改正时按照正确的小数点移动规则计算即可。
【解析】
(1) 计算除数是小数的除法时，需要保证除数和被除数扩大的倍数相同，才能保证商不变。本题中除数2.5扩大到原来的10倍变为整数，但是被除数2.25被扩大到了原来的100倍，二者扩大的倍数不同，因此计算错误。
(2) 正确计算步骤：①将除数2.5的小数点向右移动1位，变成25；②同时将被除数2.25的小数点也向右移动1位，变成22.5；③计算22.5÷25，商的小数点和移动后的被除数小数点对齐，得到商为0.9，对应改正后的竖式。
【答案】
(1) 被除数和除数扩大的倍数不同
(2)
【知识点】
除数是小数的除法；商不变的规律；小数除法验算
【点评】
本题重点考查除数是小数的除法的计算法则，易错点是移动小数点时被除数和除数的移动位数不匹配，计算时要牢记遵循商不变的规律，完成小数点移动后，商的小数点要与移动后的被除数的小数点对齐。
【难度系数】
0.7
解决这道题要先回忆除数是小数的除法计算规则：计算时要根据商不变的规律，先把除数的小数点向右移动，使除数变为整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动相同的位数，再按除数是整数的小数除法计算。
首先看题中的算式：被除数是2.25，除数是2.5。要把除数2.5转化为整数，需将小数点向右移动1位（即扩大到原数的10倍）变为25，对应被除数2.25的小数点也要向右移动1位（扩大到原数的10倍）变为22.5。观察错误竖式，发现被除数的小数点被向右移动了2位，相当于扩大到原数的100倍，和除数扩大的倍数不一致，违反了商不变的规律，因此计算错误，验算时得到的积和原被除数小数位数不同。改正时按照正确的小数点移动规则计算即可。
【解析】
(1) 计算除数是小数的除法时，需要保证除数和被除数扩大的倍数相同，才能保证商不变。本题中除数2.5扩大到原来的10倍变为整数，但是被除数2.25被扩大到了原来的100倍，二者扩大的倍数不同，因此计算错误。
(2) 正确计算步骤：①将除数2.5的小数点向右移动1位，变成25；②同时将被除数2.25的小数点也向右移动1位，变成22.5；③计算22.5÷25，商的小数点和移动后的被除数小数点对齐，得到商为0.9，对应改正后的竖式。
【答案】
(1) 被除数和除数扩大的倍数不同
(2)
【知识点】
除数是小数的除法；商不变的规律；小数除法验算
【点评】
本题重点考查除数是小数的除法的计算法则，易错点是移动小数点时被除数和除数的移动位数不匹配，计算时要牢记遵循商不变的规律，完成小数点移动后，商的小数点要与移动后的被除数的小数点对齐。
【难度系数】
0.7
