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【例1】在同一平面直角坐标系中，画出函数$y_1=2x^2$，$y_2=2(x-2)^2$与$y_3=2(x+2)^2$的图象，并说明$y_2$，$y_3$的图象与$y_1=2x^2$的图象的关系.
规律总结 抛物线$y=ax^2$左右平移的规律:向左平移$h(h＞0)$个单位长度,得抛物线$y=a(x+h)^2$,向右平移$h(h＞0)$个单位长度,得抛物线$y=a(x-h)^2$,简称为"左加右减".
规律总结 抛物线$y=ax^2$左右平移的规律:向左平移$h(h＞0)$个单位长度,得抛物线$y=a(x+h)^2$,向右平移$h(h＞0)$个单位长度,得抛物线$y=a(x-h)^2$,简称为"左加右减".
答案
解:如图.
$y_2$的图象由$y_1=2x^2$的图象向右平移2个单位长度得到；
$y_3$的图象由$y_1=2x^2$的图象向左平移2个单位长度得到。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先观察三个二次函数的表达式，它们的二次项系数均为2，说明三个抛物线的开口方向、开口大小完全相同，仅位置存在差异。我们可以通过两种思路判断平移关系：一是对比三个抛物线的顶点坐标，抛物线平移时顶点同步平移，根据顶点的平移方向和距离即可得到抛物线的平移规律；二是直接运用二次函数图象左右平移的“左加右减”规律，对比x的变化直接判断平移方式。
【解析】
1. 分析三个函数的共性：$y_1=2x^2$、$y_2=2(x-2)^2$、$y_3=2(x+2)^2$的二次项系数$a=2$，因此三个抛物线的形状、开口方向完全一致。
2. 确定三个抛物线的顶点坐标：
$y_1=2x^2$的顶点坐标为$(0,0)$；
$y_2=2(x-2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$；
$y_3=2(x+2)^2$的顶点坐标为$(-2,0)$。
3. 推导平移关系：
顶点从$(0,0)$移动到$(2,0)$，是向右平移2个单位长度，因此$y_2$的图象是$y_1$的图象向右平移2个单位长度得到的；
顶点从$(0,0)$移动到$(-2,0)$，是向左平移2个单位长度，因此$y_3$的图象是$y_1$的图象向左平移2个单位长度得到的。
也可通过“左加右减”的平移规律直接验证：将$y_1=2x^2$中$x$替换为$x-2$得到$y_2$，对应向右平移2个单位；将$x$替换为$x+2$得到$y_3$，对应向左平移2个单位。
【答案】
如图.
$y_2$的图象由$y_1=2x^2$的图象向右平移2个单位长度得到；
$y_3$的图象由$y_1=2x^2$的图象向左平移2个单位长度得到。
【知识点】
二次函数图象平移，二次函数顶点式，抛物线性质
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题，既可以通过顶点坐标的变化判断平移方式，也可以直接运用“左加右减”的平移规律快速求解，熟练掌握平移规律是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先观察三个二次函数的表达式，它们的二次项系数均为2，说明三个抛物线的开口方向、开口大小完全相同，仅位置存在差异。我们可以通过两种思路判断平移关系：一是对比三个抛物线的顶点坐标，抛物线平移时顶点同步平移，根据顶点的平移方向和距离即可得到抛物线的平移规律；二是直接运用二次函数图象左右平移的“左加右减”规律，对比x的变化直接判断平移方式。
【解析】
1. 分析三个函数的共性：$y_1=2x^2$、$y_2=2(x-2)^2$、$y_3=2(x+2)^2$的二次项系数$a=2$，因此三个抛物线的形状、开口方向完全一致。
2. 确定三个抛物线的顶点坐标：
$y_1=2x^2$的顶点坐标为$(0,0)$；
$y_2=2(x-2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$；
$y_3=2(x+2)^2$的顶点坐标为$(-2,0)$。
3. 推导平移关系：
顶点从$(0,0)$移动到$(2,0)$，是向右平移2个单位长度，因此$y_2$的图象是$y_1$的图象向右平移2个单位长度得到的；
顶点从$(0,0)$移动到$(-2,0)$，是向左平移2个单位长度，因此$y_3$的图象是$y_1$的图象向左平移2个单位长度得到的。
也可通过“左加右减”的平移规律直接验证：将$y_1=2x^2$中$x$替换为$x-2$得到$y_2$，对应向右平移2个单位；将$x$替换为$x+2$得到$y_3$，对应向左平移2个单位。
【答案】
如图.
$y_2$的图象由$y_1=2x^2$的图象向右平移2个单位长度得到；
$y_3$的图象由$y_1=2x^2$的图象向左平移2个单位长度得到。
【知识点】
二次函数图象平移，二次函数顶点式，抛物线性质
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题，既可以通过顶点坐标的变化判断平移方式，也可以直接运用“左加右减”的平移规律快速求解，熟练掌握平移规律是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
【变式1】(2025滁州月考)将抛物线$y=(x+3)^2$平移得到抛物线$y=x^2$，则这个平移过程正确的是（
A.向左平移3个单位长度
B.向右平移3个单位长度
C.向上平移3个单位长度
D.向下平移3个单位长度
B
）A.向左平移3个单位长度
B.向右平移3个单位长度
C.向上平移3个单位长度
D.向下平移3个单位长度
答案
B
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握抛物线平移的规律：抛物线平移时形状、开口方向不变，仅位置发生变化，因此可通过对比两个抛物线的顶点坐标的平移路径来判断整个抛物线的平移方式，也可利用“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对常数项）”的平移口诀直接推导。首先先确定两个抛物线的顶点坐标，再看顶点的平移方向和距离即可。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$：
1. 抛物线$y=(x+3)^2$可变形为$y=(x-(-3))^2$，因此它的顶点坐标为$(-3,0)$；
2. 抛物线$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
顶点从$(-3,0)$移动到$(0,0)$，是向右平移了3个单位长度，因此抛物线$y=(x+3)^2$向右平移3个单位长度可得到抛物线$y=x^2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，两种解题方法中，通过顶点坐标平移判断的方式更直观，不易混淆左右平移的方向，熟练掌握平移规律即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握抛物线平移的规律：抛物线平移时形状、开口方向不变，仅位置发生变化，因此可通过对比两个抛物线的顶点坐标的平移路径来判断整个抛物线的平移方式，也可利用“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对常数项）”的平移口诀直接推导。首先先确定两个抛物线的顶点坐标，再看顶点的平移方向和距离即可。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$：
1. 抛物线$y=(x+3)^2$可变形为$y=(x-(-3))^2$，因此它的顶点坐标为$(-3,0)$；
2. 抛物线$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
顶点从$(-3,0)$移动到$(0,0)$，是向右平移了3个单位长度，因此抛物线$y=(x+3)^2$向右平移3个单位长度可得到抛物线$y=x^2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，两种解题方法中，通过顶点坐标平移判断的方式更直观，不易混淆左右平移的方向，熟练掌握平移规律即可快速作答。
【难度系数】
0.8
【变式2】把二次函数$y=a(x-h)^2$的图象向左平移2个单位长度后，得到$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$的图象，则$a=$
$-\frac{1}{2}$
，$h=$$1$
。答案
a. $-\frac{1}{2}$
h. $1$
h. $1$
解析
【分析】
本题可根据二次函数图象平移的规律求解。首先明确二次函数平移时形状、开口方向不变，因此二次项系数a不变；再根据“左加右减”的平移规则（针对自变量x进行变换），写出原函数平移后的解析式，与已知平移后的解析式对比系数，即可求出h的值。
【解析】
1. 求a的值：二次函数图象平移仅改变位置，不改变形状和开口方向，因此二次项系数a不变，可得$a=-\frac{1}{2}$。
2. 求h的值：原二次函数为$y=a(x-h)^2$，向左平移2个单位长度，根据“左加右减”的平移规律，将自变量x替换为$x+2$，得到平移后的解析式为：
$y=a[(x+2)-h]^2 = a(x + 2 - h)^2$
已知平移后解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$，将$a=-\frac{1}{2}$代入，对应括号内的表达式相等，可得：
$2 - h = 1$
解得$h=1$。
【答案】
$a=-\frac{1}{2}$，$h=1$
【知识点】
二次函数平移规律，二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心是掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，注意平移时仅对自变量x进行加减操作，二次项系数在平移过程中保持不变，熟记规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题可根据二次函数图象平移的规律求解。首先明确二次函数平移时形状、开口方向不变，因此二次项系数a不变；再根据“左加右减”的平移规则（针对自变量x进行变换），写出原函数平移后的解析式，与已知平移后的解析式对比系数，即可求出h的值。
【解析】
1. 求a的值：二次函数图象平移仅改变位置，不改变形状和开口方向，因此二次项系数a不变，可得$a=-\frac{1}{2}$。
2. 求h的值：原二次函数为$y=a(x-h)^2$，向左平移2个单位长度，根据“左加右减”的平移规律，将自变量x替换为$x+2$，得到平移后的解析式为：
$y=a[(x+2)-h]^2 = a(x + 2 - h)^2$
已知平移后解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$，将$a=-\frac{1}{2}$代入，对应括号内的表达式相等，可得：
$2 - h = 1$
解得$h=1$。
【答案】
$a=-\frac{1}{2}$，$h=1$
【知识点】
二次函数平移规律，二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心是掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，注意平移时仅对自变量x进行加减操作，二次项系数在平移过程中保持不变，熟记规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
【例2】已知二次函数$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$。
(1)其图象的开口________，对称轴为直线________。
(2)在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出抛物线。
(3)观察图象确定：
①抛物线的顶点坐标是________。
②当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而________；当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而________。
③当$x=\_\_\_\_\_\_$时，$y$有最________值，其最值是________。
(4)抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$可以看成是由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$经过怎样的平移得到的？
易错提醒 抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点坐标是$(h,0)$，不是$(-h,0)$；对称轴是直线$x=h$，不是直线$x=-h$。
(1)其图象的开口________，对称轴为直线________。
(2)在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出抛物线。
(3)观察图象确定：
①抛物线的顶点坐标是________。
②当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而________；当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而________。
③当$x=\_\_\_\_\_\_$时，$y$有最________值，其最值是________。
(4)抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$可以看成是由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$经过怎样的平移得到的？
易错提醒 抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点坐标是$(h,0)$，不是$(-h,0)$；对称轴是直线$x=h$，不是直线$x=-h$。
答案
(1) 向下，$x=1$
(2) 画图略。
(3) ① $(1,0)$ ② 减小，增大 ③ $1$，大，$0$
(4) 抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$可以看成是由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$向右平移1个单位长度得到的。
(2) 画图略。
(3) ① $(1,0)$ ② 减小，增大 ③ $1$，大，$0$
(4) 抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$可以看成是由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$向右平移1个单位长度得到的。
解析
【分析】
本题围绕二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2$的相关性质展开考查，解题思路如下：1. 先根据二次项系数$a$的符号判断开口方向，结合顶点式直接确定对称轴；2. 画函数图象时先在对称轴两侧对称取点，计算对应函数值后描点、用平滑曲线连线即可；3. 结合顶点式直接得到顶点坐标，再根据开口方向和对称轴分析函数的增减性与最值；4. 根据抛物线平移“左加右减”的规律判断平移方式。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$，二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此图象开口向下；顶点式中$h=1$，因此对称轴为直线$x=1$。
(2) 先列表取点：选取$x=-1,0,1,2,3$，对应计算得$y$值分别为$-2,-\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2},-2$，在坐标系中描出上述点后，用平滑曲线顺次连接即可得到抛物线，画图略。
(3) ① 顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，因此该抛物线顶点坐标为$(1,0)$；
② 抛物线开口向下，在对称轴右侧（$x＞1$）时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴左侧（$x＜1$）时，$y$随$x$的增大而增大；
③ 抛物线开口向下，因此函数有最大值，最大值在顶点处取得，即当$x=1$时，$y$的最大值为$0$。
(4) 抛物线平移遵循“左加右减（针对自变量$x$）”的规律，$y=-\frac{1}{2}x^2$的自变量$x$替换为$x-1$即可得到$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$，因此是向右平移1个单位长度得到。
【答案】
(1) 向下，$x=1$
(2) 画图略
(3) ① $(1,0)$ ② 减小，增大 ③ $1$，大，$0$
(4) 抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$可以看成是由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$向右平移1个单位长度得到的。
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象与性质；二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，重点是对顶点式中参数意义的理解，掌握开口方向、对称轴、顶点坐标的判断方法以及平移规律即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题围绕二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2$的相关性质展开考查，解题思路如下：1. 先根据二次项系数$a$的符号判断开口方向，结合顶点式直接确定对称轴；2. 画函数图象时先在对称轴两侧对称取点，计算对应函数值后描点、用平滑曲线连线即可；3. 结合顶点式直接得到顶点坐标，再根据开口方向和对称轴分析函数的增减性与最值；4. 根据抛物线平移“左加右减”的规律判断平移方式。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$，二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此图象开口向下；顶点式中$h=1$，因此对称轴为直线$x=1$。
(2) 先列表取点：选取$x=-1,0,1,2,3$，对应计算得$y$值分别为$-2,-\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2},-2$，在坐标系中描出上述点后，用平滑曲线顺次连接即可得到抛物线，画图略。
(3) ① 顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，因此该抛物线顶点坐标为$(1,0)$；
② 抛物线开口向下，在对称轴右侧（$x＞1$）时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴左侧（$x＜1$）时，$y$随$x$的增大而增大；
③ 抛物线开口向下，因此函数有最大值，最大值在顶点处取得，即当$x=1$时，$y$的最大值为$0$。
(4) 抛物线平移遵循“左加右减（针对自变量$x$）”的规律，$y=-\frac{1}{2}x^2$的自变量$x$替换为$x-1$即可得到$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$，因此是向右平移1个单位长度得到。
【答案】
(1) 向下，$x=1$
(2) 画图略
(3) ① $(1,0)$ ② 减小，增大 ③ $1$，大，$0$
(4) 抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$可以看成是由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$向右平移1个单位长度得到的。
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象与性质；二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，重点是对顶点式中参数意义的理解，掌握开口方向、对称轴、顶点坐标的判断方法以及平移规律即可快速作答。
【难度系数】
0.8
