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1. 二次函数$y=-2025x^2$的图象的对称轴是（
A.直线$y=-2025$
B.直线$x=-2025$
C.$x$轴
D.$y$轴
D
）A.直线$y=-2025$
B.直线$x=-2025$
C.$x$轴
D.$y$轴
答案
1. D
解析
【分析】
拿到题目首先明确考查二次函数的图象性质，我们可以通过两种思路解题：一是利用二次函数一般式的对称轴公式计算，二是直接回忆特殊形式二次函数的性质推导。首先观察题干给出的函数是$y=ax^2$的形式，没有一次项和常数项，我们可以先对应一般式找到参数值代入公式计算，也可以直接调用$y=ax^2$类函数的图象结论，最终匹配选项即可得到答案。
【解析】
方法1：公式法
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$），其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在函数$y=-2025x^2$中，$a=-2025$，$b=0$，$c=0$，将参数代入对称轴公式得：
$x=-\frac{0}{2×(-2025)}=0$，直线$x=0$就是y轴，因此答案选D。
方法2：性质记忆法
形如$y=ax^2$（$a\ne0$）的二次函数，图象顶点为原点，对称轴固定为y轴，可直接得出答案为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 二次函数对称轴计算
【点评】
本题属于基础考题，主要考查特殊形式二次函数的图象特征，熟练掌握常见二次函数的基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.9
拿到题目首先明确考查二次函数的图象性质，我们可以通过两种思路解题：一是利用二次函数一般式的对称轴公式计算，二是直接回忆特殊形式二次函数的性质推导。首先观察题干给出的函数是$y=ax^2$的形式，没有一次项和常数项，我们可以先对应一般式找到参数值代入公式计算，也可以直接调用$y=ax^2$类函数的图象结论，最终匹配选项即可得到答案。
【解析】
方法1：公式法
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$），其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在函数$y=-2025x^2$中，$a=-2025$，$b=0$，$c=0$，将参数代入对称轴公式得：
$x=-\frac{0}{2×(-2025)}=0$，直线$x=0$就是y轴，因此答案选D。
方法2：性质记忆法
形如$y=ax^2$（$a\ne0$）的二次函数，图象顶点为原点，对称轴固定为y轴，可直接得出答案为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 二次函数对称轴计算
【点评】
本题属于基础考题，主要考查特殊形式二次函数的图象特征，熟练掌握常见二次函数的基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.9
2. (2025东莞月考)关于二次函数$y=-2x^2$的说法错误的是（
A.图象经过$(-1,-2)$
B.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
C.图象的开口向下
D.当$x=0$时，$y$有最小值为0
D
）A.图象经过$(-1,-2)$
B.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
C.图象的开口向下
D.当$x=0$时，$y$有最小值为0
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的图像与性质，解题思路为：首先明确该二次函数中$a=-2＜0$，结合$y=ax^2$的特征（对称轴为y轴、顶点为原点），再逐一验证每个选项的描述是否符合性质，最终选出错误的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 验证选项A：将$x=-1$代入$y=-2x^2$，得$y=-2×(-1)^2=-2$，因此图像经过点$(-1,-2)$，A说法正确，不符合题意。
2. 验证选项B：已知$a=-2＜0$，抛物线开口向下，对称轴为y轴（$x=0$），因此在对称轴右侧即$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，B说法正确，不符合题意。
3. 验证选项C：二次函数中$a=-2＜0$，因此抛物线的开口向下，C说法正确，不符合题意。
4. 验证选项D：由于抛物线开口向下，顶点坐标为$(0,0)$，因此当$x=0$时，$y$有最大值为0，而非最小值，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查特殊形式的二次函数$y=ax^2$的基本性质，熟练掌握开口方向、增减性、最值与系数$a$的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数$y=ax^2$的图像与性质，解题思路为：首先明确该二次函数中$a=-2＜0$，结合$y=ax^2$的特征（对称轴为y轴、顶点为原点），再逐一验证每个选项的描述是否符合性质，最终选出错误的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 验证选项A：将$x=-1$代入$y=-2x^2$，得$y=-2×(-1)^2=-2$，因此图像经过点$(-1,-2)$，A说法正确，不符合题意。
2. 验证选项B：已知$a=-2＜0$，抛物线开口向下，对称轴为y轴（$x=0$），因此在对称轴右侧即$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，B说法正确，不符合题意。
3. 验证选项C：二次函数中$a=-2＜0$，因此抛物线的开口向下，C说法正确，不符合题意。
4. 验证选项D：由于抛物线开口向下，顶点坐标为$(0,0)$，因此当$x=0$时，$y$有最大值为0，而非最小值，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查特殊形式的二次函数$y=ax^2$的基本性质，熟练掌握开口方向、增减性、最值与系数$a$的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
3. (开放性题型)如图，杜老师在黑板上画出了二次函数$y=(2-a)x^2$的图象，请写出一个满足条件的a的值为
3(答案不唯一)
。答案
3. 3(答案不唯一)
解析
【分析】
解题思路：首先观察二次函数图象的特征，可见图象开口向下，根据二次函数$y=kx^2$的基本性质，开口向下时二次项系数$k＜0$，结合题目给出的函数表达式列出关于$a$的不等式，求解不等式得到$a$的取值范围，在范围内任取一个符合要求的值即可。
【解析】
解：由图象可知二次函数$y=(2-a)x^2$的开口向下，
根据二次函数的性质，开口向下的二次函数的二次项系数小于0，且二次项系数不为0，因此列不等式：
$2-a＜0$
解不等式得：$a＞2$
因此取任意大于2的数值都满足条件，例如$a=3$。
【答案】
3（答案不唯一，只要$a＞2$均可）
【知识点】
二次函数图象性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于开放性基础题，需要结合图象特征推导参数的取值范围，再选取符合要求的数值，主要考查对二次函数基本性质的掌握和简单不等式的求解能力。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察二次函数图象的特征，可见图象开口向下，根据二次函数$y=kx^2$的基本性质，开口向下时二次项系数$k＜0$，结合题目给出的函数表达式列出关于$a$的不等式，求解不等式得到$a$的取值范围，在范围内任取一个符合要求的值即可。
【解析】
解：由图象可知二次函数$y=(2-a)x^2$的开口向下，
根据二次函数的性质，开口向下的二次函数的二次项系数小于0，且二次项系数不为0，因此列不等式：
$2-a＜0$
解不等式得：$a＞2$
因此取任意大于2的数值都满足条件，例如$a=3$。
【答案】
3（答案不唯一，只要$a＞2$均可）
【知识点】
二次函数图象性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于开放性基础题，需要结合图象特征推导参数的取值范围，再选取符合要求的数值，主要考查对二次函数基本性质的掌握和简单不等式的求解能力。
【难度系数】
0.8
4.若点$(1,y_1),(2,y_2)$是二次函数$y=-3x^2$图象上的两点，则$y_1$与$y_2$的大小关系是
$y_1＞y_2$
。答案
4. $y_1＞y_2$
解析
【分析】
要比较$y_1$与$y_2$的大小，有两种常用解题思路：思路一，直接将两个点的横坐标代入二次函数解析式，分别求出$y_1$和$y_2$的具体数值，再比较大小；思路二，根据二次函数的图象与性质，结合两点横坐标的取值范围，利用函数的增减性判断大小。本题的二次函数是基础形式$y=-3x^2$，两种方法都适用。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=1$代入$y=-3x^2$，得$y_1=-3×1^2=-3$；
将$x=2$代入$y=-3x^2$，得$y_2=-3×2^2=-12$；
因为$-3＞-12$，所以$y_1＞y_2$。
方法二：增减性判断法
二次函数$y=-3x^2$中，$a=-3＜0$，函数图象开口向下，对称轴为$y$轴（直线$x=0$）；
当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；
已知两点横坐标满足$0＜1＜2$，所以对应函数值$y_1＞y_2$。
【答案】
$y_1＞y_2$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 函数值大小比较
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数的基本性质，解题方法灵活，既可以通过直接计算快速得出结果，也可以利用函数增减性提升解题效率，熟练掌握二次函数开口方向与增减性的对应关系是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.9
要比较$y_1$与$y_2$的大小，有两种常用解题思路：思路一，直接将两个点的横坐标代入二次函数解析式，分别求出$y_1$和$y_2$的具体数值，再比较大小；思路二，根据二次函数的图象与性质，结合两点横坐标的取值范围，利用函数的增减性判断大小。本题的二次函数是基础形式$y=-3x^2$，两种方法都适用。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=1$代入$y=-3x^2$，得$y_1=-3×1^2=-3$；
将$x=2$代入$y=-3x^2$，得$y_2=-3×2^2=-12$；
因为$-3＞-12$，所以$y_1＞y_2$。
方法二：增减性判断法
二次函数$y=-3x^2$中，$a=-3＜0$，函数图象开口向下，对称轴为$y$轴（直线$x=0$）；
当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；
已知两点横坐标满足$0＜1＜2$，所以对应函数值$y_1＞y_2$。
【答案】
$y_1＞y_2$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 函数值大小比较
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数的基本性质，解题方法灵活，既可以通过直接计算快速得出结果，也可以利用函数增减性提升解题效率，熟练掌握二次函数开口方向与增减性的对应关系是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.9
5. 函数$y=ax$与$y=ax^2(a≠0)$在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（
B
）答案
5. B
解析
【分析】
解题时可结合两个函数的图象特征分步判断：首先，二次函数$y=ax^2(a≠0)$没有一次项和常数项，顶点坐标为$(0,0)$，可先排除顶点不在原点的选项；其次，两个函数的系数均为$a$，需保证正比例函数经过的象限、二次函数的开口方向都对应$a$的同一正负性，据此验证剩余选项即可得出答案。
【解析】
1. 筛选二次函数图象符合特征的选项
二次函数$y=ax^2(a≠0)$的顶点为原点$(0,0)$：
选项A中二次函数顶点在$y$轴正半轴，不符合，排除；
选项C中二次函数顶点在$y$轴负半轴，不符合，排除。
2. 验证剩余选项的系数符号一致性
剩余B、D选项：
选项B：正比例函数$y=ax$经过第二、四象限，说明$a＜0$；二次函数$y=ax^2$开口向下，符合$a＜0$的性质，两者系数符号匹配，符合要求。
选项D：正比例函数$y=ax$经过第一、三象限，说明$a＞0$，但该选项中二次函数顶点不在原点，不符合$y=ax^2$的图象特征，排除。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数图象性质,二次函数图象性质,函数图象辨析
【点评】
本题属于基础的函数图象识别题，核心考查同系数下不同函数图象的匹配逻辑，解题的关键是抓住二次函数顶点位置、以及两个函数系数符号一致这两个核心点，即可快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
解题时可结合两个函数的图象特征分步判断：首先，二次函数$y=ax^2(a≠0)$没有一次项和常数项，顶点坐标为$(0,0)$，可先排除顶点不在原点的选项；其次，两个函数的系数均为$a$，需保证正比例函数经过的象限、二次函数的开口方向都对应$a$的同一正负性，据此验证剩余选项即可得出答案。
【解析】
1. 筛选二次函数图象符合特征的选项
二次函数$y=ax^2(a≠0)$的顶点为原点$(0,0)$：
选项A中二次函数顶点在$y$轴正半轴，不符合，排除；
选项C中二次函数顶点在$y$轴负半轴，不符合，排除。
2. 验证剩余选项的系数符号一致性
剩余B、D选项：
选项B：正比例函数$y=ax$经过第二、四象限，说明$a＜0$；二次函数$y=ax^2$开口向下，符合$a＜0$的性质，两者系数符号匹配，符合要求。
选项D：正比例函数$y=ax$经过第一、三象限，说明$a＞0$，但该选项中二次函数顶点不在原点，不符合$y=ax^2$的图象特征，排除。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数图象性质,二次函数图象性质,函数图象辨析
【点评】
本题属于基础的函数图象识别题，核心考查同系数下不同函数图象的匹配逻辑，解题的关键是抓住二次函数顶点位置、以及两个函数系数符号一致这两个核心点，即可快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
6.已知抛物线$y=(m-1)x^{m^2 - m}$的开口向下.
(1)求$m$的值；
(2)若点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$在抛物线上，且$x_1＜x_2＜0$，试比较$y_1$与$y_2$的大小.
(1)求$m$的值；
(2)若点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$在抛物线上，且$x_1＜x_2＜0$，试比较$y_1$与$y_2$的大小.
答案
6. 解:(1)根据题意,得 $\begin{cases} m^2 - m=2, \\ m-1＜0, \end{cases}$
解得 $m=-1$.
(2)由(1)得,抛物线的表达式为 $y=-2x^2$.
$\because a=-2＜0,\therefore$ 当 $x＜0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
$\because x_1＜x_2＜0,\therefore y_1＜y_2$.
解得 $m=-1$.
(2)由(1)得,抛物线的表达式为 $y=-2x^2$.
$\because a=-2＜0,\therefore$ 当 $x＜0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
$\because x_1＜x_2＜0,\therefore y_1＜y_2$.
解析
【分析】
(1) 要确定m的值，需结合二次函数的定义和抛物线开口方向的限制条件思考：二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0；开口向下说明二次项系数小于0，联立两个条件即可求解；(2) 先代入m得到抛物线解析式，再根据二次函数在x＜0区间的增减性，结合x₁、x₂的大小关系比较y₁和y₂的大小。
【解析】
(1) 根据题意列方程组：
$\begin{cases} m^2 - m=2 \\ m-1＜0 \end{cases}$
解方程$m^2 - m=2$，整理得$m^2 - m - 2=0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$。
结合$m-1＜0$即$m＜1$，舍去$m=2$，因此$m=-1$。
(2) 把$m=-1$代入原解析式，得抛物线表达式为$y=-2x^2$。
$\because$ 二次项系数$a=-2＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为y轴，当$x＜0$时，y随x的增大而增大。
又$\because x_1＜x_2＜0$，
$\therefore y_1＜y_2$。
【答案】
(1) $m=-1$；(2) $y_1＜y_2$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质
【点评】
本题考查二次函数的基础概念和性质，第一问要注意同时满足次数和系数的限制条件，避免漏解；第二问需熟练掌握二次函数的增减性规律，结合自变量的取值范围即可快速比较函数值大小，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8
(1) 要确定m的值，需结合二次函数的定义和抛物线开口方向的限制条件思考：二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0；开口向下说明二次项系数小于0，联立两个条件即可求解；(2) 先代入m得到抛物线解析式，再根据二次函数在x＜0区间的增减性，结合x₁、x₂的大小关系比较y₁和y₂的大小。
【解析】
(1) 根据题意列方程组：
$\begin{cases} m^2 - m=2 \\ m-1＜0 \end{cases}$
解方程$m^2 - m=2$，整理得$m^2 - m - 2=0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$。
结合$m-1＜0$即$m＜1$，舍去$m=2$，因此$m=-1$。
(2) 把$m=-1$代入原解析式，得抛物线表达式为$y=-2x^2$。
$\because$ 二次项系数$a=-2＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为y轴，当$x＜0$时，y随x的增大而增大。
又$\because x_1＜x_2＜0$，
$\therefore y_1＜y_2$。
【答案】
(1) $m=-1$；(2) $y_1＜y_2$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质
【点评】
本题考查二次函数的基础概念和性质，第一问要注意同时满足次数和系数的限制条件，避免漏解；第二问需熟练掌握二次函数的增减性规律，结合自变量的取值范围即可快速比较函数值大小，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8
7.如图,梯形ABCD的顶点都在抛物线$y=-x^2$上,且$AB// CD// x$轴.点A的坐标为$(a,-4)$,点C的坐标为$(3,b)$.
(1)求$a,b$的值;
(2)求B,D两点的坐标;
(3)求梯形ABCD的面积.
(1)求$a,b$的值;
(2)求B,D两点的坐标;
(3)求梯形ABCD的面积.
答案
7. 解:(1)当 $y=-4$ 时,$-4=-a^2,\therefore a=\pm2$.
$\because$ 点 A 在第三象限,$\therefore a=-2$.
当 $x=3$ 时,$y=-9,\therefore b=-9$.
(2)$\because AB// CD// x$轴,
$\therefore$ 点 A 与点 B,点 C 与点 D 的纵坐标相同.
$\because y=-x^2$ 关于 $y$ 轴对称,
$\therefore B(2,-4),D(-3,-9)$.
(3)根据题意,得 $AB=4,CD=6$,梯形的高为 5,
$\therefore S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}×(4+6)×5=25$.
$\because$ 点 A 在第三象限,$\therefore a=-2$.
当 $x=3$ 时,$y=-9,\therefore b=-9$.
(2)$\because AB// CD// x$轴,
$\therefore$ 点 A 与点 B,点 C 与点 D 的纵坐标相同.
$\because y=-x^2$ 关于 $y$ 轴对称,
$\therefore B(2,-4),D(-3,-9)$.
(3)根据题意,得 $AB=4,CD=6$,梯形的高为 5,
$\therefore S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}×(4+6)×5=25$.
解析
【分析】
本题是二次函数图象与梯形结合的基础题，解题思路如下：
1. 求a、b的值：抛物线上的点的坐标满足函数解析式，将点A的纵坐标、点C的横坐标分别代入$y=-x^2$即可求出对应a、b的值，再结合点A所在象限确定a的符号；
2. 求B、D坐标：由AB、CD都平行于x轴可知，同一直线上的点纵坐标相同，再结合抛物线$y=-x^2$关于y轴对称的性质，对称点横坐标互为相反数、纵坐标相同，即可得到B、D的坐标；
3. 求梯形面积：先根据坐标计算上下底AB、CD的长度，再算出两条水平线段AB、CD的垂直距离即梯形的高，最后代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 把点$A(a,-4)$代入$y=-x^2$得：
$-4=-a^2$，解得$a=\pm2$，
∵点A在第三象限，横坐标为负，
∴$a=-2$；
把点$C(3,b)$代入$y=-x^2$得：
$b=-3^2=-9$，即$b=-9$。
(2)
∵$AB// CD// x$轴，
∴点A与点B纵坐标相同，点C与点D纵坐标相同，
又
∵抛物线$y=-x^2$关于y轴对称，
∴点B是点A关于y轴的对称点，点D是点C关于y轴的对称点，
∵$A(-2,-4)$，$C(3,-9)$，
∴$B(2,-4)$，$D(-3,-9)$。
(3) 由坐标可得：
$AB=2-(-2)=4$，$CD=3-(-3)=6$，
梯形的高为两条平行线的垂直距离，即$|-4-(-9)|=5$，
根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，
得$S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}×(4+6)×5=25$。
【答案】
(1) $a=-2$，$b=-9$；
(2) $B(2,-4)$，$D(-3,-9)$；
(3) 梯形ABCD的面积为$\boxed{25}$。
【知识点】
二次函数的性质，坐标与图形性质，梯形面积计算
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础题，核心考查抛物线上点的坐标特征、二次函数的对称性，以及梯形面积公式的应用，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数图象与梯形结合的基础题，解题思路如下：
1. 求a、b的值：抛物线上的点的坐标满足函数解析式，将点A的纵坐标、点C的横坐标分别代入$y=-x^2$即可求出对应a、b的值，再结合点A所在象限确定a的符号；
2. 求B、D坐标：由AB、CD都平行于x轴可知，同一直线上的点纵坐标相同，再结合抛物线$y=-x^2$关于y轴对称的性质，对称点横坐标互为相反数、纵坐标相同，即可得到B、D的坐标；
3. 求梯形面积：先根据坐标计算上下底AB、CD的长度，再算出两条水平线段AB、CD的垂直距离即梯形的高，最后代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 把点$A(a,-4)$代入$y=-x^2$得：
$-4=-a^2$，解得$a=\pm2$，
∵点A在第三象限，横坐标为负，
∴$a=-2$；
把点$C(3,b)$代入$y=-x^2$得：
$b=-3^2=-9$，即$b=-9$。
(2)
∵$AB// CD// x$轴，
∴点A与点B纵坐标相同，点C与点D纵坐标相同，
又
∵抛物线$y=-x^2$关于y轴对称，
∴点B是点A关于y轴的对称点，点D是点C关于y轴的对称点，
∵$A(-2,-4)$，$C(3,-9)$，
∴$B(2,-4)$，$D(-3,-9)$。
(3) 由坐标可得：
$AB=2-(-2)=4$，$CD=3-(-3)=6$，
梯形的高为两条平行线的垂直距离，即$|-4-(-9)|=5$，
根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，
得$S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}×(4+6)×5=25$。
【答案】
(1) $a=-2$，$b=-9$；
(2) $B(2,-4)$，$D(-3,-9)$；
(3) 梯形ABCD的面积为$\boxed{25}$。
【知识点】
二次函数的性质，坐标与图形性质，梯形面积计算
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础题，核心考查抛物线上点的坐标特征、二次函数的对称性，以及梯形面积公式的应用，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
