学习任务 合并同类项解一元一次方程 从特殊到一般
|情境创设|
七(1)班有40名学生，七(2)班有37名学生，两班一起外出参加植树活动，根据任务的不同，需分成甲、乙、丙三个小组，且使甲、乙、丙三个小组人数之比是$1:4:6$，求各小组人数.
问题:设甲组有$x$名学生，则乙组有$4x$名学生，丙组有$6x$名学生，根据假设的情况可列方程$x + 4x + 6x = 40 + 37$.
可得$11x = 77$，这步变形是.
所以$x = 7$，这步变形是.
所以$4x = 28$，$6x = 42$，
所以甲组有7名学生，乙组有28名学生，丙组有42名学生.

1. 合并同类项
2. 系数化为1

【分析】
解题时先回忆解一元一次方程的常见变形步骤：首先观察第一步变形，方程左边是三个含x的同类项，右边是两个常数项，将同类项的系数相加、常数项相加得到11x=77，对应合并同类项的操作；再看第二步变形，11x=77要得到x的值，需要根据等式的性质，两边同时除以x的系数11，将x的系数变为1，对应系数化为1的操作。
【解析】
第一步变形：方程$x + 4x + 6x = 40 + 37$中，左边x、4x、6x是同类项，根据合并同类项法则，同类项系数相加，字母和字母的指数不变，可得$(1+4+6)x=11x$，右边常数相加得$40+37=77$，因此这步变形是合并同类项。
第二步变形：方程$11x=77$中，根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的数11，可得$x=7$，这一步将x的系数变为1，因此是系数化为1。
【答案】
合并同类项；系数化为1
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程；等式的性质
【点评】
本题考查解一元一次方程的基础变形步骤，属于对基础概念的考查，熟练掌握一元一次方程每一步变形的依据和操作方法，是求解一元一次方程的核心基础。
【难度系数】
0.9

探究归纳
解形如“$ax + bx = c + d$”的方程的一般步骤：
(1) ；
(2) .

(1) 合并同类项
(2) 系数化为1

【分析】
首先观察方程$ax + bx = c + d$的结构，方程左侧是两个含未知数$x$的同类项，右侧是两个常数同类项。解题时首先要把同类项进行合并，将方程简化为$mx=n$（$m≠0$）的最简一元一次方程形式，之后再通过运算把未知数$x$的系数变为1，即可得到方程的解，由此就能归纳出对应的两个步骤。
【解析】
解这类方程的第一步是合并同类项：将左侧含$x$的项合并，右侧常数项合并，得到$(a+b)x=c+d$，把方程转化为一元一次方程的最简形式；第二步是系数化为1：当$a+b≠0$时，在方程两边同时除以$a+b$，得到$x=\frac{c+d}{a+b}$，从而求出方程的解。
【答案】
(1) 合并同类项
(2) 系数化为1
【知识点】
一元一次方程解法、合并同类项、系数化为1
【点评】
本题考查一元一次方程的基础解法步骤，属于基础概念类题型，熟练掌握这两个基础步骤是后续求解更复杂一元一次方程的重要前提。
【难度系数】
0.9

【例1】解下列方程：
(1)$2x - 7x = 10$；
(2)$-\dfrac{5}{2}y + \dfrac{3}{2}y = 3 + 2$；
(3)$\dfrac{1}{3}x - x = 1 + \dfrac{1}{2}$。
解：

(1) 合并同类项，得$-5x=10$。
系数化为1，得$x=-2$。
(2) 合并同类项，得$-y=5$。
系数化为1，得$y=-5$。
(3) 合并同类项，得$-\dfrac{2}{3}x=\dfrac{3}{2}$。
系数化为1，得$x=-\dfrac{9}{4}$。

【分析】
这三道题均为基础一元一次方程，解题思路分为两步：第一步先合并同类项，将方程左侧所有含未知数的项合并为一项，右侧所有常数项合并为一项，把方程整理为$ax=b(a≠0)$的标准形式；第二步利用等式的性质，将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 合并同类项，得$-5x=10$。
系数化为1，得$x=-2$。
(2) 合并同类项，得$-y=5$。
系数化为1，得$y=-5$。
(3) 合并同类项，得$-\dfrac{2}{3}x=\dfrac{3}{2}$。
系数化为1，得$x=-\dfrac{9}{4}$。
【答案】
(1)$x=-2$；(2)$y=-5$；(3)$x=-\dfrac{9}{4}$
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程；等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次方程解法的基础训练题型，重点考查合并同类项的运算能力和系数化为1的运算规则，熟练掌握基础运算方法即可快速准确求解。
【难度系数】
0.9

变式训练
1.方程$2026x - 2025x + 3x = 2024$的解是.
2.解下列方程：
(1)$4x + 2x = -2 - 1$；
(2)$-\dfrac{1}{2}y - y = 7$.

解：
1. 合并同类项，得 $4x = 2024$
系数化为1，得 $x = 506$
2. (1) 合并同类项，得 $6x = -3$
系数化为1，得 $x = -\frac{1}{2}$
(2) 合并同类项，得 $-\frac{3}{2}y = 7$
系数化为1，得 $y = -\frac{14}{3}$

【分析】
这组题目均为仅含同类项的一元一次方程求解问题，解题固定分为两步：第一步先合并同类项，将方程左侧含未知数的项合并为一项，右侧常数项合并为一项，把方程化简为$ax=b$（$a\ne0$）的标准形式；第二步系数化为1，等式两边同时除以未知数的系数$a$，即可得到方程的解。计算时要重点关注系数的正负号，避免符号运算错误。
【解析】
1. 求解方程$2026x - 2025x + 3x = 2024$：
合并同类项，计算左侧未知数系数：$2026-2025+3=4$，得 $4x = 2024$；
系数化为1，两边同时除以4，得 $x = 2024÷4=506$。
2. (1) 求解方程$4x + 2x = -2 - 1$：
合并同类项，左侧$4x+2x=6x$，右侧$-2-1=-3$，得 $6x = -3$；
系数化为1，两边同时除以6，得 $x = -3÷6=-\frac{1}{2}$。
(2) 求解方程$-\dfrac{1}{2}y - y = 7$：
合并同类项，计算左侧未知数系数：$-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}$，得 $-\frac{3}{2}y = 7$；
系数化为1，两边同时乘$-\frac{2}{3}$，得 $y = 7×(-\frac{2}{3})=-\frac{14}{3}$。
【答案】
1. $\boldsymbol{x=506}$；2.(1) $\boldsymbol{x=-\dfrac{1}{2}}$；(2) $\boldsymbol{y=-\dfrac{14}{3}}$
【知识点】
一元一次方程求解、合并同类项、系数化为1
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，主要考查合并同类项和系数化为1的基础运算能力，计算时要注意系数的符号，做分数运算时要正确处理倒数，避免因粗心出现错误。
【难度系数】
0.9