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【例2】为鼓励学生积极参加体育锻炼，学校计划拿出一定资金购买一批篮球和排球.已知篮球和排球的单价比为5:1，单价和为180元.篮球和排球的单价分别是多少元？
解：
【规律方法】
解“各部分量的和＝总量”问题的步骤
(1)弄清总量包括几个分量，并设未知数.
(2)根据“各部分量的和＝总量”列出方程.
(3)解方程求出所设未知数.
(4)求出其余分量，并作答.
解：
【规律方法】
解“各部分量的和＝总量”问题的步骤
(1)弄清总量包括几个分量，并设未知数.
(2)根据“各部分量的和＝总量”列出方程.
(3)解方程求出所设未知数.
(4)求出其余分量，并作答.
答案
解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为5x元。
根据题意列方程，得
$x + 5x = 180$
合并同类项，得
$6x = 180$
系数化为1，得
$x = 30$
则篮球的单价为$5x = 5×30 = 150$（元）
答：篮球的单价是150元，排球的单价是30元。
根据题意列方程，得
$x + 5x = 180$
合并同类项，得
$6x = 180$
系数化为1，得
$x = 30$
则篮球的单价为$5x = 5×30 = 150$（元）
答：篮球的单价是150元，排球的单价是30元。
解析
【分析】
遇到含有比例关系的应用题时，我们可以先根据比例设未知数：本题中篮球和排球单价比为5:1，我们设占1份的排球单价为x元，那么对应5份的篮球单价就可以表示为5x元；再找题目中的等量关系：两种球的单价和为180元，也就是排球单价+篮球单价=180元，据此列一元一次方程，先求解出x的值得到排球单价，再计算5x就能得到篮球的单价。
【解析】
解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为5x元。
根据题意列方程，得
$x + 5x = 180$
合并同类项，得
$6x = 180$
系数化为1，得
$x = 30$
则篮球的单价为$5x = 5×30 = 150$（元）
答：篮球的单价是150元，排球的单价是30元。
【答案】
篮球的单价是150元，排球的单价是30元。
【知识点】
一元一次方程应用；比例问题；解一元一次方程
【点评】
本题是基础的方程类应用题，解题关键是根据比例关系合理设未知数，准确抓住“单价和为180元”的等量关系列方程，主要考察学生对基础应用题的分析能力和一元一次方程的求解能力。
【难度系数】
0.9
遇到含有比例关系的应用题时，我们可以先根据比例设未知数：本题中篮球和排球单价比为5:1，我们设占1份的排球单价为x元，那么对应5份的篮球单价就可以表示为5x元；再找题目中的等量关系：两种球的单价和为180元，也就是排球单价+篮球单价=180元，据此列一元一次方程，先求解出x的值得到排球单价，再计算5x就能得到篮球的单价。
【解析】
解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为5x元。
根据题意列方程，得
$x + 5x = 180$
合并同类项，得
$6x = 180$
系数化为1，得
$x = 30$
则篮球的单价为$5x = 5×30 = 150$（元）
答：篮球的单价是150元，排球的单价是30元。
【答案】
篮球的单价是150元，排球的单价是30元。
【知识点】
一元一次方程应用；比例问题；解一元一次方程
【点评】
本题是基础的方程类应用题，解题关键是根据比例关系合理设未知数，准确抓住“单价和为180元”的等量关系列方程，主要考察学生对基础应用题的分析能力和一元一次方程的求解能力。
【难度系数】
0.9
3.有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问尖头几盏灯。”“倍加增”指从塔的顶层到底层，下一层灯的盏数都是上一层的2倍，“尖头”是指顶层，则宝塔的顶层有
3
盏红灯。答案
3. 3
解析
【分析】
解题时首先明确题目中的数量关系：塔共7层，从顶层到底层，下一层灯数是上一层的2倍，总灯数为381盏。我们可以设顶层的灯数为未知数x，依次表示出其余6层的灯数，再根据“七层总灯数之和为381”这一等量关系列出一元一次方程，最后解方程即可求出顶层灯数。
【解析】
解：设宝塔的顶层有x盏红灯。
由题意可知，从顶层到底层每层灯数依次为：
第一层（顶层）：x盏
第二层：2x盏
第三层：2×2x=4x盏
第四层：2×4x=8x盏
第五层：2×8x=16x盏
第六层：2×16x=32x盏
第七层：2×32x=64x盏
根据总灯数为381盏，列方程得：
$x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x + 64x = 381$
合并同类项，得：
$127x = 381$
系数化为1，得：
$x = 381 ÷ 127 = 3$
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程的应用；合并同类项；解一元一次方程
【点评】
本题结合古代数学名题设计，解题的关键是理清各层灯数之间的倍数关系，正确建立方程求解，既能考察方程的应用能力，也能感受传统数学文化的魅力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目中的数量关系：塔共7层，从顶层到底层，下一层灯数是上一层的2倍，总灯数为381盏。我们可以设顶层的灯数为未知数x，依次表示出其余6层的灯数，再根据“七层总灯数之和为381”这一等量关系列出一元一次方程，最后解方程即可求出顶层灯数。
【解析】
解：设宝塔的顶层有x盏红灯。
由题意可知，从顶层到底层每层灯数依次为：
第一层（顶层）：x盏
第二层：2x盏
第三层：2×2x=4x盏
第四层：2×4x=8x盏
第五层：2×8x=16x盏
第六层：2×16x=32x盏
第七层：2×32x=64x盏
根据总灯数为381盏，列方程得：
$x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x + 64x = 381$
合并同类项，得：
$127x = 381$
系数化为1，得：
$x = 381 ÷ 127 = 3$
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程的应用；合并同类项；解一元一次方程
【点评】
本题结合古代数学名题设计，解题的关键是理清各层灯数之间的倍数关系，正确建立方程求解，既能考察方程的应用能力，也能感受传统数学文化的魅力。
【难度系数】
0.7
4.筐内有橘子、梨、苹果共400个，它们的数量比为1：2：5，则苹果有多少个？
答案
4. 解:苹果有250个.
解析
【分析】
遇到按比例分配的应用题时，我们可以先设每一份的数量为未知数，再根据比例关系分别表示出各部分的数量，结合已知的总数量建立等量关系列方程，求出每份的数值后，乘对应部分的占比份数就能得到所求量。本题先根据三种水果的数量比设每份为x，分别表示出三种水果的数量，再根据总数量为400个列方程求解即可。
【解析】
解：设每份水果的数量为$ x $个。
已知橘子、梨、苹果的数量比为$ 1:2:5 $，因此橘子有$ x $个，梨有$ 2x $个，苹果有$ 5x $个。
根据三种水果总数量为400个，可列方程：
$ x + 2x + 5x = 400 $
合并同类项得：$ 8x = 400 $
解得：$ x = 50 $
则苹果的数量为$ 5x = 5×50 = 250 $（个）
【答案】
250个
【知识点】
按比例分配；一元一次方程的应用
【点评】
本题是比例分配类的基础应用题，解题关键是根据比例关系设每份的量，结合总量建立方程求解，掌握该方法可快速解决同类型的分配问题。
【难度系数】
0.9
遇到按比例分配的应用题时，我们可以先设每一份的数量为未知数，再根据比例关系分别表示出各部分的数量，结合已知的总数量建立等量关系列方程，求出每份的数值后，乘对应部分的占比份数就能得到所求量。本题先根据三种水果的数量比设每份为x，分别表示出三种水果的数量，再根据总数量为400个列方程求解即可。
【解析】
解：设每份水果的数量为$ x $个。
已知橘子、梨、苹果的数量比为$ 1:2:5 $，因此橘子有$ x $个，梨有$ 2x $个，苹果有$ 5x $个。
根据三种水果总数量为400个，可列方程：
$ x + 2x + 5x = 400 $
合并同类项得：$ 8x = 400 $
解得：$ x = 50 $
则苹果的数量为$ 5x = 5×50 = 250 $（个）
【答案】
250个
【知识点】
按比例分配；一元一次方程的应用
【点评】
本题是比例分配类的基础应用题，解题关键是根据比例关系设每份的量，结合总量建立方程求解，掌握该方法可快速解决同类型的分配问题。
【难度系数】
0.9
【例3】有一列数－4，8，－16，32，－64，…，其中第n个数是$2×(-2)^n$（n是正整数），如果这列数中，某四个相邻数的和为80，那么这四个数中的最小数是多少？
解：
【规律方法】
解决数的规律问题的一般思路
首先要根据给出的数找到排列规律，然后选择合适的数设为未知数，并根据排列规律表示出其他数，最后根据给出的条件列出方程求解.求解时需注意要求的是哪个数.
解：
【规律方法】
解决数的规律问题的一般思路
首先要根据给出的数找到排列规律，然后选择合适的数设为未知数，并根据排列规律表示出其他数，最后根据给出的条件列出方程求解.求解时需注意要求的是哪个数.
答案
【例3】解:这四个数中的最小数为－64.
解析
【分析】
解题时首先根据题目给出的数列通项公式，设四个相邻数中的第一个为该数列的第n个数，即可用含n的式子分别表示出其余三个相邻数；再根据“四个相邻数的和为80”这一等量关系列出方程，解方程求出n的值后，代入计算得到四个数，最终找出其中的最小数即可。
【解析】
设这四个相邻数中的第一个数是数列的第n个数，则这四个数依次为：$2×(-2)^n$，$2×(-2)^{n+1}$，$2×(-2)^{n+2}$，$2×(-2)^{n+3}$。
根据题意列方程得：
$2×(-2)^n + 2×(-2)^{n+1} + 2×(-2)^{n+2} + 2×(-2)^{n+3} = 80$
提取公因式$2×(-2)^n$，得：
$2×(-2)^n × [1 + (-2) + (-2)^2 + (-2)^3] = 80$
计算括号内的数值：$1-2+4-8=-5$，代入得：
$2×(-2)^n × (-5) = 80$
整理得：$-10×(-2)^n = 80$，即$(-2)^n = -8$。
因为$(-2)^3=-8$，所以$n=3$。
将$n=3$代入，得到四个数分别为：
$2×(-2)^3=-16$，$2×(-2)^4=32$，$2×(-2)^5=-64$，$2×(-2)^6=128$。
四个数中最小的数是$-64$。
【答案】
$\boldsymbol{-64}$
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 一元一次方程的应用
3. 有理数乘方运算
【点评】
本题将数字规律与方程求解结合，解题的核心是准确利用已知的通项公式表示出相邻四个数，再根据等量关系列方程求解，解题时需注意最终要求的是四个数中的最小值，避免算出n后直接作答出现错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据题目给出的数列通项公式，设四个相邻数中的第一个为该数列的第n个数，即可用含n的式子分别表示出其余三个相邻数；再根据“四个相邻数的和为80”这一等量关系列出方程，解方程求出n的值后，代入计算得到四个数，最终找出其中的最小数即可。
【解析】
设这四个相邻数中的第一个数是数列的第n个数，则这四个数依次为：$2×(-2)^n$，$2×(-2)^{n+1}$，$2×(-2)^{n+2}$，$2×(-2)^{n+3}$。
根据题意列方程得：
$2×(-2)^n + 2×(-2)^{n+1} + 2×(-2)^{n+2} + 2×(-2)^{n+3} = 80$
提取公因式$2×(-2)^n$，得：
$2×(-2)^n × [1 + (-2) + (-2)^2 + (-2)^3] = 80$
计算括号内的数值：$1-2+4-8=-5$，代入得：
$2×(-2)^n × (-5) = 80$
整理得：$-10×(-2)^n = 80$，即$(-2)^n = -8$。
因为$(-2)^3=-8$，所以$n=3$。
将$n=3$代入，得到四个数分别为：
$2×(-2)^3=-16$，$2×(-2)^4=32$，$2×(-2)^5=-64$，$2×(-2)^6=128$。
四个数中最小的数是$-64$。
【答案】
$\boldsymbol{-64}$
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 一元一次方程的应用
3. 有理数乘方运算
【点评】
本题将数字规律与方程求解结合，解题的核心是准确利用已知的通项公式表示出相邻四个数，再根据等量关系列方程求解，解题时需注意最终要求的是四个数中的最小值，避免算出n后直接作答出现错误。
【难度系数】
0.6
5.若三个连续偶数的和是24，则它们的积是（
A.48
B.480
C.240
D.120
B
）A.48
B.480
C.240
D.120
答案
5. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确连续偶数的特征：相邻两个偶数之间相差2。我们可以通过设未知数列方程的方式先求出这三个连续偶数，再计算它们的乘积。优先设中间的偶数为未知数，这样计算和的时候可以抵消差值，简化运算，再根据“三个连续偶数的和是24”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
设三个连续偶数中间的数为$x$，则较小的偶数为$x-2$，较大的偶数为$x+2$。
根据题意列方程：
$(x-2)+x+(x+2)=24$
化简得：$3x=24$
解得：$x=8$
因此三个连续偶数分别为：$8-2=6$，$8$，$8+2=10$
三个数的积为：$6×8×10=480$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用；有理数乘法运算；偶数的性质
【点评】
本题核心是掌握连续偶数的差值特征，合理设未知数简化计算步骤，属于基础类应用题，掌握列方程解应用题的基本思路就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确连续偶数的特征：相邻两个偶数之间相差2。我们可以通过设未知数列方程的方式先求出这三个连续偶数，再计算它们的乘积。优先设中间的偶数为未知数，这样计算和的时候可以抵消差值，简化运算，再根据“三个连续偶数的和是24”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
设三个连续偶数中间的数为$x$，则较小的偶数为$x-2$，较大的偶数为$x+2$。
根据题意列方程：
$(x-2)+x+(x+2)=24$
化简得：$3x=24$
解得：$x=8$
因此三个连续偶数分别为：$8-2=6$，$8$，$8+2=10$
三个数的积为：$6×8×10=480$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用；有理数乘法运算；偶数的性质
【点评】
本题核心是掌握连续偶数的差值特征，合理设未知数简化计算步骤，属于基础类应用题，掌握列方程解应用题的基本思路就能快速求解。
【难度系数】
0.8
6.有一列数－6，18，－54，162，－486，…，其中第n个数是$2×(-3)^n$（n是正整数），如果这列数中，某四个相邻数的和是1080，那么这四个数中最大数与最小数的和是多少？
答案
6. 解:972.
解析
【分析】
已知这列数第n个数的表达式为$2×(-3)^n$，要解决四个相邻数的最大数与最小数的和的问题，可按以下思路思考：1. 设四个相邻数中第一个为第n个数，依次写出其余三个相邻数的表达式；2. 根据四个数的和为1080列方程，通过提取公因式化简方程求出n的值；3. 代入n得到四个具体的数，找出最大数和最小数求和即可。
【解析】
解：设四个相邻数中的第一个数是这列数的第n个数（n为正整数），则四个数依次为$2×(-3)^n$、$2×(-3)^{n+1}$、$2×(-3)^{n+2}$、$2×(-3)^{n+3}$。
根据题意列方程：
$2×(-3)^n + 2×(-3)^{n+1} + 2×(-3)^{n+2} + 2×(-3)^{n+3} = 1080$
提取公因式$2×(-3)^n$得：
$2×(-3)^n×[1+(-3)+(-3)^2+(-3)^3] = 1080$
计算括号内数值：$1-3+9-27=-20$，代入得：
$2×(-3)^n×(-20)=1080$
化简得：$-40×(-3)^n=1080$
解得：$(-3)^n=-27$，即$n=3$。
将n=3代入得四个数依次为：$-54、162、-486、1458$，最大数为1458，最小数为-486，两数之和为$1458+(-486)=972$。
【答案】
972
【知识点】
一元一次方程的应用；数字规律探究；有理数乘方运算
【点评】
本题属于规律类与方程结合的基础应用题，解题的核心是根据通项公式准确表示相邻数字，计算时要注意乘方的符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
已知这列数第n个数的表达式为$2×(-3)^n$，要解决四个相邻数的最大数与最小数的和的问题，可按以下思路思考：1. 设四个相邻数中第一个为第n个数，依次写出其余三个相邻数的表达式；2. 根据四个数的和为1080列方程，通过提取公因式化简方程求出n的值；3. 代入n得到四个具体的数，找出最大数和最小数求和即可。
【解析】
解：设四个相邻数中的第一个数是这列数的第n个数（n为正整数），则四个数依次为$2×(-3)^n$、$2×(-3)^{n+1}$、$2×(-3)^{n+2}$、$2×(-3)^{n+3}$。
根据题意列方程：
$2×(-3)^n + 2×(-3)^{n+1} + 2×(-3)^{n+2} + 2×(-3)^{n+3} = 1080$
提取公因式$2×(-3)^n$得：
$2×(-3)^n×[1+(-3)+(-3)^2+(-3)^3] = 1080$
计算括号内数值：$1-3+9-27=-20$，代入得：
$2×(-3)^n×(-20)=1080$
化简得：$-40×(-3)^n=1080$
解得：$(-3)^n=-27$，即$n=3$。
将n=3代入得四个数依次为：$-54、162、-486、1458$，最大数为1458，最小数为-486，两数之和为$1458+(-486)=972$。
【答案】
972
【知识点】
一元一次方程的应用；数字规律探究；有理数乘方运算
【点评】
本题属于规律类与方程结合的基础应用题，解题的核心是根据通项公式准确表示相邻数字，计算时要注意乘方的符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
