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变式训练
4.若$2a - 1 = 2b + 1$，则$a$
5.若$x + 2y = 3$，求$3x + 6y - 1$的值.
4.若$2a - 1 = 2b + 1$，则$a$
＞
$b$（填“＞”“＜”或“=”）.5.若$x + 2y = 3$，求$3x + 6y - 1$的值.
答案
4. ＞
5. 解: 8.
5. 解: 8.
解析
【分析】
第4题：要比较a和b的大小，可利用等式的性质对已知等式逐步变形，将a用含b的式子表示，即可判断二者大小关系。首先对等式两边同时加1消去左边的常数项，再同时除以2将a的系数化为1，就能得到a和b的数量关系。
第5题：已知条件只给出了x+2y的整体值，无法单独求出x和y的具体值，因此考虑用整体代入法。观察所求式子3x+6y-1，发现3x+6y是x+2y的3倍，先将所求式子变形为含x+2y的形式，再把已知的x+2y=3代入计算即可。
【解析】
4. 已知$2a - 1 = 2b + 1$，
根据等式的性质1，等式两边同时加1，得：$2a = 2b + 2$，
根据等式的性质2，等式两边同时除以2，得：$a = b + 1$，
因此$a ＞ b$。
5. 对所求式子变形可得：$3x + 6y - 1 = 3(x + 2y) - 1$，
将$x + 2y = 3$整体代入上式，得：
原式$= 3×3 - 1 = 9 - 1 = 8$。
【答案】
4. $＞$
5. $8$
【知识点】
等式的性质、代数式整体代入求值
【点评】
这两道题均为基础题型，第4题侧重对等式变形规则的考查，熟练掌握等式的性质即可快速解题；第5题侧重整体思想的应用，无需计算单个未知数的值，找到所求式子与已知条件的关联即可快速求解，是代数式求值的常见考法。
【难度系数】
0.9
第4题：要比较a和b的大小，可利用等式的性质对已知等式逐步变形，将a用含b的式子表示，即可判断二者大小关系。首先对等式两边同时加1消去左边的常数项，再同时除以2将a的系数化为1，就能得到a和b的数量关系。
第5题：已知条件只给出了x+2y的整体值，无法单独求出x和y的具体值，因此考虑用整体代入法。观察所求式子3x+6y-1，发现3x+6y是x+2y的3倍，先将所求式子变形为含x+2y的形式，再把已知的x+2y=3代入计算即可。
【解析】
4. 已知$2a - 1 = 2b + 1$，
根据等式的性质1，等式两边同时加1，得：$2a = 2b + 2$，
根据等式的性质2，等式两边同时除以2，得：$a = b + 1$，
因此$a ＞ b$。
5. 对所求式子变形可得：$3x + 6y - 1 = 3(x + 2y) - 1$，
将$x + 2y = 3$整体代入上式，得：
原式$= 3×3 - 1 = 9 - 1 = 8$。
【答案】
4. $＞$
5. $8$
【知识点】
等式的性质、代数式整体代入求值
【点评】
这两道题均为基础题型，第4题侧重对等式变形规则的考查，熟练掌握等式的性质即可快速解题；第5题侧重整体思想的应用，无需计算单个未知数的值，找到所求式子与已知条件的关联即可快速求解，是代数式求值的常见考法。
【难度系数】
0.9
1.下列等式变形错误的是 （
A.由$a=b$得$a+1=b+1$
B.由$a=b$得$5a=5b$
C.由$x+3=y+3$得$x=y$
D.由$x÷2=2÷ y$得$x=y$
D
）A.由$a=b$得$a+1=b+1$
B.由$a=b$得$5a=5b$
C.由$x+3=y+3$得$x=y$
D.由$x÷2=2÷ y$得$x=y$
答案
1. D
解析
【分析】
本题要求选出错误的等式变形，解题核心依据是等式的基本性质。解题思路为：先回忆等式的两条基本性质，再逐一将每个选项的变形和等式性质对照，判断变形是否符合规则，最终找出错误的选项即可。
【解析】
我们根据等式的基本性质逐一判断选项：
A. 已知$a=b$，等式两边同时加1，符合等式性质1（等式两边同时加或减同一个整式，等式仍成立），可得$a+1=b+1$，变形正确，不符合题意；
B. 已知$a=b$，等式两边同时乘5，符合等式性质2（等式两边同时乘同一个数，等式仍成立），可得$5a=5b$，变形正确，不符合题意；
C. 已知$x+3=y+3$，等式两边同时减3，符合等式性质1，可得$x=y$，变形正确，不符合题意；
D. 已知$x÷2=2÷ y$，即$\frac{x}{2}=\frac{2}{y}$，两边同乘$2y$（$y\ne0$）可得$xy=4$，无法推出$x=y$（例如$x=1,y=4$时等式也成立，此时$x\ne y$），变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于等式性质的基础考查题，解题时要注意等式变形必须严格符合性质要求，尤其涉及除法运算时要注意除数不能为0，不要随意对不同位置的数直接划等号，避免逻辑错误。
【难度系数】
0.8
本题要求选出错误的等式变形，解题核心依据是等式的基本性质。解题思路为：先回忆等式的两条基本性质，再逐一将每个选项的变形和等式性质对照，判断变形是否符合规则，最终找出错误的选项即可。
【解析】
我们根据等式的基本性质逐一判断选项：
A. 已知$a=b$，等式两边同时加1，符合等式性质1（等式两边同时加或减同一个整式，等式仍成立），可得$a+1=b+1$，变形正确，不符合题意；
B. 已知$a=b$，等式两边同时乘5，符合等式性质2（等式两边同时乘同一个数，等式仍成立），可得$5a=5b$，变形正确，不符合题意；
C. 已知$x+3=y+3$，等式两边同时减3，符合等式性质1，可得$x=y$，变形正确，不符合题意；
D. 已知$x÷2=2÷ y$，即$\frac{x}{2}=\frac{2}{y}$，两边同乘$2y$（$y\ne0$）可得$xy=4$，无法推出$x=y$（例如$x=1,y=4$时等式也成立，此时$x\ne y$），变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于等式性质的基础考查题，解题时要注意等式变形必须严格符合性质要求，尤其涉及除法运算时要注意除数不能为0，不要随意对不同位置的数直接划等号，避免逻辑错误。
【难度系数】
0.8
2.解方程$-\frac{1}{2}x=2$时，要想得到$x=m$(常数)的形式，方程两边应（
A.乘$-2$
B.乘$-\frac{1}{2}$
C.除以2
D.除以$\frac{1}{2}$
A
）A.乘$-2$
B.乘$-\frac{1}{2}$
C.除以2
D.除以$\frac{1}{2}$
答案
2. A
解析
【分析】
解题的核心目标是将方程中未知数x的系数化为1，得到x=m的形式，需结合等式的性质2思考：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。当前x的系数为$-\frac{1}{2}$，要将该系数变为1，只需乘它的倒数，$-\frac{1}{2}$的倒数是$-2$，由此对应选项判断即可。
【解析】
根据等式的性质2：等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。
要将方程$-\frac{1}{2}x=2$中x的系数化为1，方程两边同时乘$-2$：
左边：$-\frac{1}{2}x × (-2) = x$
右边：$2 × (-2) = -4$
即可得到$x=-4$，符合$x=m$的形式。
逐一验证其余选项：
B选项乘$-\frac{1}{2}$后，左边变为$\frac{1}{4}x$，未将x的系数化为1，错误；
C选项除以2等价于乘$\frac{1}{2}$，左边变为$-\frac{1}{4}x$，错误；
D选项除以$\frac{1}{2}$等价于乘2，左边变为$-x$，未将x的系数化为1，错误。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 等式的性质
2. 一元一次方程系数化1
【点评】
本题是等式性质的基础应用，解题关键是明确系数化1的操作方法，计算时注意符号问题即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题的核心目标是将方程中未知数x的系数化为1，得到x=m的形式，需结合等式的性质2思考：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。当前x的系数为$-\frac{1}{2}$，要将该系数变为1，只需乘它的倒数，$-\frac{1}{2}$的倒数是$-2$，由此对应选项判断即可。
【解析】
根据等式的性质2：等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。
要将方程$-\frac{1}{2}x=2$中x的系数化为1，方程两边同时乘$-2$：
左边：$-\frac{1}{2}x × (-2) = x$
右边：$2 × (-2) = -4$
即可得到$x=-4$，符合$x=m$的形式。
逐一验证其余选项：
B选项乘$-\frac{1}{2}$后，左边变为$\frac{1}{4}x$，未将x的系数化为1，错误；
C选项除以2等价于乘$\frac{1}{2}$，左边变为$-\frac{1}{4}x$，错误；
D选项除以$\frac{1}{2}$等价于乘2，左边变为$-x$，未将x的系数化为1，错误。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 等式的性质
2. 一元一次方程系数化1
【点评】
本题是等式性质的基础应用，解题关键是明确系数化1的操作方法，计算时注意符号问题即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
3.关于$x$的一元一次方程$2x + m = 5$的解为$x=1$，则$m$的值为（
A.3
B.$-3$
C.7
D.$-7$
A
）A.3
B.$-3$
C.7
D.$-7$
答案
3. A
解析
【分析】
已知方程的解，我们可以利用方程解的定义来解题：方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，所以把x=1代入原方程，就能得到一个只含有未知数m的一元一次方程，解这个方程即可求出m的值。
【解析】
因为x=1是一元一次方程$2x + m = 5$的解，将x=1代入原方程，得：
$2×1 + m = 5$
即$2 + m = 5$
移项得：$m = 5 - 2$
计算得$m=3$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查利用方程的解求方程中未知参数的方法，解题逻辑清晰，是一元一次方程相关知识点的常规考查方式。
【难度系数】
0.9
已知方程的解，我们可以利用方程解的定义来解题：方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，所以把x=1代入原方程，就能得到一个只含有未知数m的一元一次方程，解这个方程即可求出m的值。
【解析】
因为x=1是一元一次方程$2x + m = 5$的解，将x=1代入原方程，得：
$2×1 + m = 5$
即$2 + m = 5$
移项得：$m = 5 - 2$
计算得$m=3$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查利用方程的解求方程中未知参数的方法，解题逻辑清晰，是一元一次方程相关知识点的常规考查方式。
【难度系数】
0.9
4.小明学习等式的性质后，对等式$5m - 2 = 3m - 2$进行变形，得出“$5 = 3$”的错误结论.小明同学将等式进行变形的具体过程如下：
(1)哪一步变形产生了错误？
(2)请你分析产生错误的原因.
(1)哪一步变形产生了错误？
(2)请你分析产生错误的原因.
答案
4. 解:(1)第②步变形产生了错误.
(2)等式的两边只有除以同一个不为 0 的数,得到的等式才能成立.小明在不确定 m 是不是 0 的情况下,把方程两边除以 m 而导致出错.
(2)等式的两边只有除以同一个不为 0 的数,得到的等式才能成立.小明在不确定 m 是不是 0 的情况下,把方程两边除以 m 而导致出错.
解析
【分析】
解题时先回忆等式的基本性质，逐一核对每一步变形是否符合性质要求：第一步是给原等式两边同时加2，符合“等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等”的规则，是正确变形；再看第二步，是给5m=3m两边同时除以m，此时需要结合等式性质2的前提判断：等式两边除以的数不能为0，此处没有先判断m的取值就直接除以m，违背了等式性质的要求，据此即可找到错误步骤和出错原因。
【解析】
(1) 对两步变形逐一验证，可知第②步变形产生了错误。
(2) 依据等式的性质，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。本次变形中，由5m=3m移项可得2m=0，即m=0，小明在没有确认m不为0的情况下，直接给等式两边同时除以m，相当于两边除以0，不符合等式变形的规则，因此得到了错误的结论。
【答案】
(1) 第②步变形产生了错误。
(2) 等式的两边只有除以同一个不为 0 的数,得到的等式才能成立.小明在不确定 m 是不是 0 的情况下,把方程两边除以 m 而导致出错。
【知识点】
1. 等式的性质
2. 等式变形规则
【点评】
本题聚焦等式性质的易漏考点，重点考察对“等式同除的数不能为0”这一前提的理解，是等式变形类题目的典型易错题型，做题时遇到等式两边同时除以含字母的式子时，要先判断该式子是否可能为0。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆等式的基本性质，逐一核对每一步变形是否符合性质要求：第一步是给原等式两边同时加2，符合“等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等”的规则，是正确变形；再看第二步，是给5m=3m两边同时除以m，此时需要结合等式性质2的前提判断：等式两边除以的数不能为0，此处没有先判断m的取值就直接除以m，违背了等式性质的要求，据此即可找到错误步骤和出错原因。
【解析】
(1) 对两步变形逐一验证，可知第②步变形产生了错误。
(2) 依据等式的性质，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。本次变形中，由5m=3m移项可得2m=0，即m=0，小明在没有确认m不为0的情况下，直接给等式两边同时除以m，相当于两边除以0，不符合等式变形的规则，因此得到了错误的结论。
【答案】
(1) 第②步变形产生了错误。
(2) 等式的两边只有除以同一个不为 0 的数,得到的等式才能成立.小明在不确定 m 是不是 0 的情况下,把方程两边除以 m 而导致出错。
【知识点】
1. 等式的性质
2. 等式变形规则
【点评】
本题聚焦等式性质的易漏考点，重点考察对“等式同除的数不能为0”这一前提的理解，是等式变形类题目的典型易错题型，做题时遇到等式两边同时除以含字母的式子时，要先判断该式子是否可能为0。
【难度系数】
0.7
5.利用等式的性质解下列方程：
(1)$x+4=3$；
(2)$4m-7=9$；
(3)$6(x+2)=18$；
(4)$0.5x=0.4x-5$；
(5)$-\dfrac{3}{5}x-1=4$；
(6)$\dfrac{3x}{100}+2=\dfrac{45}{100}+2$。
(1)$x+4=3$；
(2)$4m-7=9$；
(3)$6(x+2)=18$；
(4)$0.5x=0.4x-5$；
(5)$-\dfrac{3}{5}x-1=4$；
(6)$\dfrac{3x}{100}+2=\dfrac{45}{100}+2$。
答案
5. 解:(1)方程两边减 4,得 $x+4-4=3-4$.
所以 $x=-1$.
(2)方程两边加 7,得 $4m-7+7=9+7$.
化简,得 $4m=16$.
方程两边除以 4,得 $m=4$.
(3)方程两边除以 6,得 $x+2=3$.
方程两边减 2,得 $x+2-2=3-2$.
化简,得 $x=1$.
(4)方程两边减去 0.4x,得 $0.1x=-5$.
方程两边除以 0.1,得 $x=-50$.
(5)方程两边加 1,得 $-\frac{3}{5}x=5$.
方程两边乘$-\frac{5}{3}$,得 $x=-\frac{25}{3}$.
(6)方程两边减 2,得$\frac{3x}{100}=\frac{45}{100}$.
方程两边乘$\frac{100}{3}$,得 $x=15$.
所以 $x=-1$.
(2)方程两边加 7,得 $4m-7+7=9+7$.
化简,得 $4m=16$.
方程两边除以 4,得 $m=4$.
(3)方程两边除以 6,得 $x+2=3$.
方程两边减 2,得 $x+2-2=3-2$.
化简,得 $x=1$.
(4)方程两边减去 0.4x,得 $0.1x=-5$.
方程两边除以 0.1,得 $x=-50$.
(5)方程两边加 1,得 $-\frac{3}{5}x=5$.
方程两边乘$-\frac{5}{3}$,得 $x=-\frac{25}{3}$.
(6)方程两边减 2,得$\frac{3x}{100}=\frac{45}{100}$.
方程两边乘$\frac{100}{3}$,得 $x=15$.
解析
【分析】
解这类方程的核心是运用等式的两个性质逐步将方程变形为“未知数=a（常数）”的形式：①等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；②等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题时先通过等式性质1消去未知数一侧的常数项，把方程化为“ax=b（a≠0）”的形式，再通过等式性质2将未知数的系数化为1，最终得到方程的解，每一步变形都要保证两边同时进行相同运算，避免出错。
【解析】
(1) 方程两边减 4，得 $x+4-4=3-4$，所以 $x=-1$。
(2) 方程两边加 7，得 $4m-7+7=9+7$，化简得 $4m=16$，方程两边除以 4，得 $m=4$。
(3) 方程两边除以 6，得 $x+2=3$，方程两边减 2，得 $x+2-2=3-2$，化简得 $x=1$。
(4) 方程两边减去 0.4x，得 $0.1x=-5$，方程两边除以 0.1，得 $x=-50$。
(5) 方程两边加 1，得 $-\dfrac{3}{5}x=5$，方程两边乘$-\dfrac{5}{3}$，得 $x=-\dfrac{25}{3}$。
(6) 方程两边减 2，得$\dfrac{3x}{100}=\dfrac{45}{100}$，方程两边乘$\dfrac{100}{3}$，得 $x=15$。
【答案】
(1)$x=-1$；(2)$m=4$；(3)$x=1$；(4)$x=-50$；(5)$x=-\dfrac{25}{3}$；(6)$x=15$
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是运用等式性质解方程的基础训练题，目的是让学生熟练掌握等式性质的应用，为后续解复杂一元一次方程打下基础，解题时需注意每一步变形都要对等式两边同时进行相同运算，避免出现漏运算、符号错误等问题。
【难度系数】
0.85
解这类方程的核心是运用等式的两个性质逐步将方程变形为“未知数=a（常数）”的形式：①等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；②等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题时先通过等式性质1消去未知数一侧的常数项，把方程化为“ax=b（a≠0）”的形式，再通过等式性质2将未知数的系数化为1，最终得到方程的解，每一步变形都要保证两边同时进行相同运算，避免出错。
【解析】
(1) 方程两边减 4，得 $x+4-4=3-4$，所以 $x=-1$。
(2) 方程两边加 7，得 $4m-7+7=9+7$，化简得 $4m=16$，方程两边除以 4，得 $m=4$。
(3) 方程两边除以 6，得 $x+2=3$，方程两边减 2，得 $x+2-2=3-2$，化简得 $x=1$。
(4) 方程两边减去 0.4x，得 $0.1x=-5$，方程两边除以 0.1，得 $x=-50$。
(5) 方程两边加 1，得 $-\dfrac{3}{5}x=5$，方程两边乘$-\dfrac{5}{3}$，得 $x=-\dfrac{25}{3}$。
(6) 方程两边减 2，得$\dfrac{3x}{100}=\dfrac{45}{100}$，方程两边乘$\dfrac{100}{3}$，得 $x=15$。
【答案】
(1)$x=-1$；(2)$m=4$；(3)$x=1$；(4)$x=-50$；(5)$x=-\dfrac{25}{3}$；(6)$x=15$
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是运用等式性质解方程的基础训练题，目的是让学生熟练掌握等式性质的应用，为后续解复杂一元一次方程打下基础，解题时需注意每一步变形都要对等式两边同时进行相同运算，避免出现漏运算、符号错误等问题。
【难度系数】
0.85
