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【例1】(1)已知$(m-1)a^{|m+1|}b^{3}$是关于$a,b$的五次单项式，求$m$的值.
(2)多项式$-\dfrac{1}{5}x^{|m|}-(m+2)x+5$是关于$x$的二次三项式，求$m$的值.
(3)已知多项式$(a-1)x^{3}-3x^{b}+4x-1$是关于$x$的二次三项式，求$ab$的值.
(2)多项式$-\dfrac{1}{5}x^{|m|}-(m+2)x+5$是关于$x$的二次三项式，求$m$的值.
(3)已知多项式$(a-1)x^{3}-3x^{b}+4x-1$是关于$x$的二次三项式，求$ab$的值.
答案
(1) -3 (2) 2 (3) 2
解析
【分析】
这三道题都考查整式的相关概念，解题核心是紧扣单项式、多项式的次数和项数的定义，同时注意隐含的限制条件：
1. 第(1)题：关于a、b的五次单项式，首先单项式的次数是所有字母指数的和，因此$|m+1|+3=5$；其次单项式系数不能为0（否则式子等于0，不属于五次单项式），因此$m-1≠0$，联立两个条件即可求m。
2. 第(2)题：关于x的二次三项式，首先最高次项次数为2，因此$|m|=2$；其次是三项式，说明每一项都不能为0，即一次项系数$-(m+2)≠0$，否则式子只有两项，不符合要求，联立求解即可。
3. 第(3)题：关于x的二次三项式，首先最高次不能是3次，因此三次项系数必须为0，即$a-1=0$；其次剩下的最高次项次数为2，因此$b=2$；最后验证得到的式子是否为三项式，符合要求后计算ab即可。
【解析】
(1) 因为$(m-1)a^{|m+1|}b^{3}$是关于a,b的五次单项式，所以：
① 次数满足：$|m+1| + 3 = 5$，解得$|m+1|=2$，即$m+1=2$或$m+1=-2$，得$m=1$或$m=-3$；
② 系数不为0：$m-1≠0$，即$m≠1$；
综上可得$m=-3$。
(2) 因为多项式$-\dfrac{1}{5}x^{|m|}-(m+2)x+5$是关于x的二次三项式，所以：
① 最高次次数为2：$|m|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
② 是三项式，即一次项系数不为0：$-(m+2)≠0$，即$m≠-2$；
综上可得$m=2$。
(3) 因为多项式$(a-1)x^{3}-3x^{b}+4x-1$是关于x的二次三项式，所以：
① 三次项不存在，即三次项系数为0：$a-1=0$，解得$a=1$；
② 最高次为二次，即$b=2$；
此时多项式为$-3x^2+4x-1$，符合二次三项式的要求；
因此$ab=1×2=2$。
【答案】
(1) $-3$；(2) $2$；(3) $2$
【知识点】
1. 单项式的次数与系数
2. 多项式的项与次数
3. 绝对值的性质
【点评】
这组题目重点考查对整式相关概念的理解与应用，解题时需注意不要忽略隐含限制条件：单项式系数不能为0，多项式要满足项数要求时对应项系数不能为0，避免出现多解、错解的情况。
【难度系数】
0.7
这三道题都考查整式的相关概念，解题核心是紧扣单项式、多项式的次数和项数的定义，同时注意隐含的限制条件：
1. 第(1)题：关于a、b的五次单项式，首先单项式的次数是所有字母指数的和，因此$|m+1|+3=5$；其次单项式系数不能为0（否则式子等于0，不属于五次单项式），因此$m-1≠0$，联立两个条件即可求m。
2. 第(2)题：关于x的二次三项式，首先最高次项次数为2，因此$|m|=2$；其次是三项式，说明每一项都不能为0，即一次项系数$-(m+2)≠0$，否则式子只有两项，不符合要求，联立求解即可。
3. 第(3)题：关于x的二次三项式，首先最高次不能是3次，因此三次项系数必须为0，即$a-1=0$；其次剩下的最高次项次数为2，因此$b=2$；最后验证得到的式子是否为三项式，符合要求后计算ab即可。
【解析】
(1) 因为$(m-1)a^{|m+1|}b^{3}$是关于a,b的五次单项式，所以：
① 次数满足：$|m+1| + 3 = 5$，解得$|m+1|=2$，即$m+1=2$或$m+1=-2$，得$m=1$或$m=-3$；
② 系数不为0：$m-1≠0$，即$m≠1$；
综上可得$m=-3$。
(2) 因为多项式$-\dfrac{1}{5}x^{|m|}-(m+2)x+5$是关于x的二次三项式，所以：
① 最高次次数为2：$|m|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
② 是三项式，即一次项系数不为0：$-(m+2)≠0$，即$m≠-2$；
综上可得$m=2$。
(3) 因为多项式$(a-1)x^{3}-3x^{b}+4x-1$是关于x的二次三项式，所以：
① 三次项不存在，即三次项系数为0：$a-1=0$，解得$a=1$；
② 最高次为二次，即$b=2$；
此时多项式为$-3x^2+4x-1$，符合二次三项式的要求；
因此$ab=1×2=2$。
【答案】
(1) $-3$；(2) $2$；(3) $2$
【知识点】
1. 单项式的次数与系数
2. 多项式的项与次数
3. 绝对值的性质
【点评】
这组题目重点考查对整式相关概念的理解与应用，解题时需注意不要忽略隐含限制条件：单项式系数不能为0，多项式要满足项数要求时对应项系数不能为0，避免出现多解、错解的情况。
【难度系数】
0.7
【例2】已知$-a^{|x-2|}b^{2}$与$\frac{1}{3}ab^{y}$是同类项，则$x$的值为
1或3
，$y$的值为2
。答案
1. 1或3 2. 2
解析
【分析】
解题的核心是运用同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项是同类项。我们可以先对比两个单项式中相同字母的指数，对应列等式求解：先看字母b的指数，可直接求出y的值；再看字母a的指数，列出绝对值方程求解x，注意绝对值为正数的数有两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵$-a^{|x-2|}b^{2}$与$\frac{1}{3}ab^{y}$是同类项
∴相同字母的指数相等：
① 对于字母b，指数满足：$y=2$
② 对于字母a，指数满足：$|x-2|=1$
解$|x-2|=1$：
当$x-2=1$时，$x=3$；
当$x-2=-1$时，$x=1$
综上可得x的值为1或3，y的值为2。
【答案】
1或3；2
【知识点】
同类项的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题是同类项相关的基础常考题型，易错点是求解绝对值方程时遗漏其中一个解，掌握同类项定义和绝对值的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题的核心是运用同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项是同类项。我们可以先对比两个单项式中相同字母的指数，对应列等式求解：先看字母b的指数，可直接求出y的值；再看字母a的指数，列出绝对值方程求解x，注意绝对值为正数的数有两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵$-a^{|x-2|}b^{2}$与$\frac{1}{3}ab^{y}$是同类项
∴相同字母的指数相等：
① 对于字母b，指数满足：$y=2$
② 对于字母a，指数满足：$|x-2|=1$
解$|x-2|=1$：
当$x-2=1$时，$x=3$；
当$x-2=-1$时，$x=1$
综上可得x的值为1或3，y的值为2。
【答案】
1或3；2
【知识点】
同类项的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题是同类项相关的基础常考题型，易错点是求解绝对值方程时遗漏其中一个解，掌握同类项定义和绝对值的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
【例3】已知关于$x$，$y$的单项式$2mx^a y^3$与$-4nx^{3a-6}y^3$是同类项(其中$xy≠0$)。
(1)求$a$的值；
(2)若这两个单项式的和为零，求$(m-2n-1)^{2025}$的值。
(1)求$a$的值；
(2)若这两个单项式的和为零，求$(m-2n-1)^{2025}$的值。
答案
(1) 3 (2) -1
解析
【分析】
(1) 第一问需结合同类项的定义思考：同类项要求所含字母相同，且相同字母的指数分别相等。本题两个单项式中y的指数均为3，只需令x的指数相等，列一元一次方程即可求出a的值。
(2) 第二问已知两个单项式的和为0，说明两个同类项的系数互为相反数，据此推导m与n的数量关系，再代入所求代数式，结合乘方的运算规则计算即可。
【解析】
(1) 已知$2mx^a y^3$与$-4nx^{3a-6}y^3$是同类项，根据同类项相同字母指数相等的性质，可得：
$a = 3a - 6$
移项得：$a - 3a = -6$
合并同类项得：$-2a = -6$
系数化为1得：$a = 3$
(2) 因为两个单项式的和为0，说明二者系数之和为0，即：
$2m + (-4n) = 0$
化简得：$2m - 4n = 0$，等式两边同时除以2可得$m - 2n = 0$
将$m - 2n = 0$代入$(m-2n-1)^{2025}$得：
原式$=(0 - 1)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{-1}$
【知识点】
同类项的概念；代数式求值；乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查同类项的性质与整式加法的特征，解题关键是抓住同类项的指数规律、和为0的单项式的系数关系，掌握相关基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问需结合同类项的定义思考：同类项要求所含字母相同，且相同字母的指数分别相等。本题两个单项式中y的指数均为3，只需令x的指数相等，列一元一次方程即可求出a的值。
(2) 第二问已知两个单项式的和为0，说明两个同类项的系数互为相反数，据此推导m与n的数量关系，再代入所求代数式，结合乘方的运算规则计算即可。
【解析】
(1) 已知$2mx^a y^3$与$-4nx^{3a-6}y^3$是同类项，根据同类项相同字母指数相等的性质，可得：
$a = 3a - 6$
移项得：$a - 3a = -6$
合并同类项得：$-2a = -6$
系数化为1得：$a = 3$
(2) 因为两个单项式的和为0，说明二者系数之和为0，即：
$2m + (-4n) = 0$
化简得：$2m - 4n = 0$，等式两边同时除以2可得$m - 2n = 0$
将$m - 2n = 0$代入$(m-2n-1)^{2025}$得：
原式$=(0 - 1)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{-1}$
【知识点】
同类项的概念；代数式求值；乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查同类项的性质与整式加法的特征，解题关键是抓住同类项的指数规律、和为0的单项式的系数关系，掌握相关基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
