【例4】已知关于$a,b$的单项式$-2a^2b^{x+y}$与$\frac{1}{3}a^xb^5$的和仍为单项式，且$ab≠0$，求多项式$\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{6}xy^2 + \frac{1}{3}y^3$的值。

10

【分析】
首先，两个单项式的和仍为单项式，说明这两个单项式是同类项。根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，我们可以列出关于x、y的等式，求出x和y的值，最后将x、y代入多项式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 单项式$-2a^2b^{x+y}$与$\frac{1}{3}a^xb^5$的和仍为单项式，且$ab≠0$
∴ 这两个单项式是同类项，根据同类项的定义可得：
$\begin{cases}x = 2 \\x + y = 5\end{cases}$
将$x=2$代入$x+y=5$，解得：$y=5-2=3$
把$x=2$，$y=3$代入多项式$\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{6}xy^2 + \frac{1}{3}y^3$得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}×2^3 - \frac{1}{6}×2×3^2 + \frac{1}{3}×3^3 \\&=\frac{1}{2}×8 - \frac{1}{6}×2×9 + \frac{1}{3}×27 \\&=4 - 3 + 9 \\&=10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
1. 同类项的定义
2. 代数式求值
【点评】
本题是整式相关的基础常考题，解题的突破口是根据“两个单项式的和仍为单项式”判定两个单项式为同类项，再结合同类项的特征求出未知参数的值，最后代入计算即可，解题时注意计算不要出错。
【难度系数】
0.8

【例5】先化简，再求值：$2x^2 - [3(-\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}xy) - 2y^2] - 2(x^2 - xy + 2y^2)$，其中$x$，$y$满足$\left|x - \frac{1}{2}\right| + (y + 1)^2 = 0$。

原式=$x^2 - 2y^2$.由题意易知,$x=\frac{1}{2},y=-1$,所以原式=$-\frac{7}{4}$.

【分析】
本题分为整式化简和代入求值两个步骤：第一步化简整式时，需按照先去小括号、再去中括号的顺序，严格遵守去括号法则，注意括号前为负号时括号内各项要变号，之后合并同类项得到最简式；第二步需根据非负数的性质，绝对值和偶次平方的结果均为非负数，两者相加等于0时只能各自为0，由此求出x、y的值，最后代入最简式计算即可。
【解析】
1. 化简整式：
$\begin{aligned}原式&=2x^2 - [ 3×(-\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}xy) - 2y^2 ] - 2(x^2 - xy + 2y^2)\\&=2x^2 - [ -x^2 + 2xy - 2y^2 ] - 2x^2 + 2xy - 4y^2\\&=2x^2 + x^2 - 2xy + 2y^2 - 2x^2 + 2xy - 4y^2\\&=(2x^2 + x^2 - 2x^2) + (-2xy + 2xy) + (2y^2 - 4y^2)\\&=x^2 - 2y^2\end{aligned}$
2. 求x、y的值：
因为$\left|x - \frac{1}{2}\right|≥0$，$(y + 1)^2≥0$，且两者之和为0，所以：
$\left|x - \frac{1}{2}\right|=0$，$(y + 1)^2=0$
解得$x=\frac{1}{2}$，$y=-1$
3. 代入求值：
将$x=\frac{1}{2}$，$y=-1$代入$x^2 - 2y^2$得：
$原式=(\frac{1}{2})^2 - 2×(-1)^2 = \frac{1}{4} - 2 = -\frac{7}{4}$
【答案】
化简结果为$x^2 - 2y^2$，求值结果为$-\frac{7}{4}$
【知识点】
整式的加减运算，非负数的性质，去括号与合并同类项
【点评】
本题是整式化简求值的常见题型，解题核心是熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，同时牢记非负数的性质：多个非负数的和为0时，每个非负数都为0，运算过程中要格外注意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7

【例 6】已知 $A=x^2 - 2xy + y^2$，$B=2x^2 -6xy +3y^2$，求 $3A - [(2A - B) -4(A - B)]$的值，其中 $|x|=5$，$y^2=9$，且 $x+y=-2$。

原式=$-x^2 +8xy -4y^2$.由题意易知,$x=-5,y=3$,所以原式=$-181$.

【分析】
解题时先对所求整式进行化简，避免直接代入A、B表达式导致计算繁琐。第一步先通过去括号、合并同类项将含A、B的整式化简为最简的A、B关系式，再代入A、B的表达式整理为仅含x、y的整式；第二步根据已知的$|x|=5$、$y^2=9$得到x、y的所有可能取值，再结合$x+y=-2$的限制筛选出符合条件的x、y的值；最后将x、y代入化简后的整式计算结果即可。
【解析】
解：先化简整式：
$\begin{aligned}3A - [(2A - B) -4(A - B)]&=3A - (2A - B -4A +4B)\\&=3A - (-2A + 3B)\\&=3A +2A -3B\\&=5A - 3B\end{aligned}$
将$A=x^2 - 2xy + y^2$，$B=2x^2 -6xy +3y^2$代入上式：
$\begin{aligned}5A -3B&=5(x^2 -2xy + y^2) -3(2x^2 -6xy +3y^2)\\&=5x^2 -10xy +5y^2 -6x^2 +18xy -9y^2\\&=-x^2 +8xy -4y^2\end{aligned}$
再根据条件求x、y的值：
∵$|x|=5$，
∴$x=5$或$x=-5$
∵$y^2=9$，
∴$y=3$或$y=-3$
又
∵$x+y=-2$，代入验证：
若$x=5$，则$y=-2-5=-7$，不符合y的取值范围，舍去；
若$x=-5$，则$y=-2 - (-5)=3$，符合条件，故$x=-5,y=3$。
将$x=-5,y=3$代入$-x^2 +8xy -4y^2$：
$\begin{aligned}原式&=-(-5)^2 +8×(-5)×3 -4×3^2\\&=-25 -120 -36\\&=-181\end{aligned}$
【答案】
$-181$
【知识点】
整式的加减运算，绝对值的性质，代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的典型题型，解题核心是先化简整式再代入计算，可大幅减少计算量，同时要注意结合题目的限制条件筛选未知数的取值，避免多解错误。
【难度系数】
0.6

【例】(1)已知$a - b = -3$，求$3(a - b) - a + b + 5$的值。
(2)已知$x^2 - 2y - 5 = 0$，求$3(x^2 - 2xy) - (x^2 - 6xy) - 4y$的值。

(1) 原式=2(a−b)+5.因为a−b=−3,所以原式=−1.
(2) 原式=2(x²−2y).因为x²−2y−5=0,所以x²−2y=5,所以原式=10.

【分析】
这两道题属于整式化简求值类题目，核心解题思路是运用整体代入思想，无需计算单个字母的取值：
(1) 先观察所求式子结构，发现式子中含有已知的$a-b$整体，将$-a+b$变形为$-(a-b)$，合并同类项后把原式整理为仅含$a-b$的形式，再代入已知值计算即可。
(2) 先对所求整式去括号，再合并同类项，将化简后的式子整理为含$x^2-2y$的形式，结合已知条件求出$x^2-2y$的值，整体代入计算即可。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}3(a - b) - a + b + 5&=3(a - b)-(a - b)+5\\&=2(a - b)+5\end{aligned}$
将$a - b = -3$代入得：
原式$=2×(-3)+5=-6+5=-1$
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}3(x^2 - 2xy) - (x^2 - 6xy) - 4y&=3x^2 - 6xy - x^2 + 6xy - 4y\\&=2x^2 - 4y\\&=2(x^2 - 2y)\end{aligned}$
由$x^2 - 2y - 5 = 0$可得$x^2 - 2y = 5$，代入得：
原式$=2×5=10$
【答案】
(1) $-1$；(2) $10$
【知识点】
整式化简求值，整体代入思想，合并同类项
【点评】
本题重点考查整式运算技巧和整体代入思想的应用，通过将所求式子变形为已知整体的表达式代入求解，可大幅简化运算，是代数式求值类题目的常用技巧。
【难度系数】
0.7