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1.当x
$x≥ 3$
时，代数式$\sqrt{x-3}$有意义。答案
1. $x≥ 3$.
解析
【分析】
要确定代数式$\sqrt{x-3}$有意义时$x$的取值范围，首先回忆二次根式的相关性质：二次根式有意义的核心条件是被开方数为非负数。因此我们只需让根号内的表达式$x-3$满足大于等于0的要求，再解这个一元一次不等式就能得到最终结果。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，因此可列不等式：
$x-3 ≥ 0$
移项解得：
$x ≥ 3$
【答案】
$≥ 3$
【知识点】
1.二次根式有意义的条件；2.解一元一次不等式
【点评】
本题是二次根式相关的基础考题，考察对二次根式基本性质的掌握，牢记被开方数的非负性即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要确定代数式$\sqrt{x-3}$有意义时$x$的取值范围，首先回忆二次根式的相关性质：二次根式有意义的核心条件是被开方数为非负数。因此我们只需让根号内的表达式$x-3$满足大于等于0的要求，再解这个一元一次不等式就能得到最终结果。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，因此可列不等式：
$x-3 ≥ 0$
移项解得：
$x ≥ 3$
【答案】
$≥ 3$
【知识点】
1.二次根式有意义的条件；2.解一元一次不等式
【点评】
本题是二次根式相关的基础考题，考察对二次根式基本性质的掌握，牢记被开方数的非负性即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. $2\sqrt{2} - 3$ 的相反数是
$3-2\sqrt{2}$
，绝对值是$3-2\sqrt{2}$
。答案
2. $3-2\sqrt{2}, 3-2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
解题时可分两步推导：①求相反数：根据相反数的定义，求一个数的相反数只需在该数前添加负号，再化简即可；②求绝对值：先通过平方法比较$2\sqrt{2}$和3的大小，判断$2\sqrt{2}-3$的正负性，再根据负数的绝对值等于它的相反数计算结果。
【解析】
1. 求相反数：
根据“只有符号不同的两个数互为相反数”，可得$2\sqrt{2}-3$的相反数为：
$-(2\sqrt{2}-3)=3-2\sqrt{2}$
2. 求绝对值：
先判断$2\sqrt{2}-3$的正负：将两个正数分别平方，$(2\sqrt{2})^2=8$，$3^2=9$，因为$8＜9$，所以$2\sqrt{2}＜3$，即$2\sqrt{2}-3＜0$。
根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得：
$\vert 2\sqrt{2}-3\vert=-(2\sqrt{2}-3)=3-2\sqrt{2}$
【答案】
$3-2\sqrt{2}$，$3-2\sqrt{2}$
【知识点】
相反数的定义，绝对值的性质，二次根式大小比较
【点评】
本题是基础运算题，核心考查对相反数、绝对值性质的掌握，解题的关键是先准确判断含二次根式的代数式的正负性，再代入性质计算即可。
【难度系数】
0.9
解题时可分两步推导：①求相反数：根据相反数的定义，求一个数的相反数只需在该数前添加负号，再化简即可；②求绝对值：先通过平方法比较$2\sqrt{2}$和3的大小，判断$2\sqrt{2}-3$的正负性，再根据负数的绝对值等于它的相反数计算结果。
【解析】
1. 求相反数：
根据“只有符号不同的两个数互为相反数”，可得$2\sqrt{2}-3$的相反数为：
$-(2\sqrt{2}-3)=3-2\sqrt{2}$
2. 求绝对值：
先判断$2\sqrt{2}-3$的正负：将两个正数分别平方，$(2\sqrt{2})^2=8$，$3^2=9$，因为$8＜9$，所以$2\sqrt{2}＜3$，即$2\sqrt{2}-3＜0$。
根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得：
$\vert 2\sqrt{2}-3\vert=-(2\sqrt{2}-3)=3-2\sqrt{2}$
【答案】
$3-2\sqrt{2}$，$3-2\sqrt{2}$
【知识点】
相反数的定义，绝对值的性质，二次根式大小比较
【点评】
本题是基础运算题，核心考查对相反数、绝对值性质的掌握，解题的关键是先准确判断含二次根式的代数式的正负性，再代入性质计算即可。
【难度系数】
0.9
3. 下列各式：$\sqrt{\frac{15}{2}}$，$\sqrt{3a}$，$\sqrt{b^2 - 1}$，$\sqrt{a^2 + b^2}$，$\sqrt{a + 25}$，$\sqrt{\frac{144b^2}{9}}$。无论$a$，$b$取任何值，其中一定是二次根式的式子的个数是
3
。答案
3. 3.
解析
【分析】
要判断哪些式子一定是二次根式，首先明确二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，核心判断依据是无论a、b取任意实数，被开方数都恒为非负数。我们只需逐个分析每个式子的被开方数是否满足恒大于等于0即可。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
1. $\sqrt{\frac{15}{2}}$：被开方数为$\frac{15}{2}＞0$，和a、b的取值无关，恒满足被开方数非负，是二次根式；
2. $\sqrt{3a}$：被开方数为$3a$，当$a＜0$时，$3a＜0$，此时式子无意义，不是二次根式；
3. $\sqrt{b^2 - 1}$：被开方数为$b^2-1$，当$|b|＜1$（如$b=0$）时，$b^2-1=-1＜0$，此时式子无意义，不是二次根式；
4. $\sqrt{a^2 + b^2}$：由平方的非负性可知$a^2≥0$、$b^2≥0$，因此$a^2+b^2≥0$恒成立，无论a、b取何值都满足，是二次根式；
5. $\sqrt{a + 25}$：被开方数为$a+25$，当$a＜-25$（如$a=-26$）时，$a+25=-1＜0$，此时式子无意义，不是二次根式；
6. $\sqrt{\frac{144b^2}{9}}$：化简被开方数得$16b^2$，由平方的非负性可知$b^2≥0$，因此$16b^2≥0$恒成立，无论b取何值都满足，是二次根式。
综上，一定是二次根式的有3个。
【答案】
3
【知识点】
1. 二次根式的定义 2. 平方的非负性
【点评】
本题考查二次根式的判定，解题的关键是抓住“无论a、b取任何值都一定成立”的要求，即被开方数需恒为非负数，易错点是忽略取值的任意性，仅根据部分特殊取值错误判断。
【难度系数】
0.7
要判断哪些式子一定是二次根式，首先明确二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，核心判断依据是无论a、b取任意实数，被开方数都恒为非负数。我们只需逐个分析每个式子的被开方数是否满足恒大于等于0即可。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
1. $\sqrt{\frac{15}{2}}$：被开方数为$\frac{15}{2}＞0$，和a、b的取值无关，恒满足被开方数非负，是二次根式；
2. $\sqrt{3a}$：被开方数为$3a$，当$a＜0$时，$3a＜0$，此时式子无意义，不是二次根式；
3. $\sqrt{b^2 - 1}$：被开方数为$b^2-1$，当$|b|＜1$（如$b=0$）时，$b^2-1=-1＜0$，此时式子无意义，不是二次根式；
4. $\sqrt{a^2 + b^2}$：由平方的非负性可知$a^2≥0$、$b^2≥0$，因此$a^2+b^2≥0$恒成立，无论a、b取何值都满足，是二次根式；
5. $\sqrt{a + 25}$：被开方数为$a+25$，当$a＜-25$（如$a=-26$）时，$a+25=-1＜0$，此时式子无意义，不是二次根式；
6. $\sqrt{\frac{144b^2}{9}}$：化简被开方数得$16b^2$，由平方的非负性可知$b^2≥0$，因此$16b^2≥0$恒成立，无论b取何值都满足，是二次根式。
综上，一定是二次根式的有3个。
【答案】
3
【知识点】
1. 二次根式的定义 2. 平方的非负性
【点评】
本题考查二次根式的判定，解题的关键是抓住“无论a、b取任何值都一定成立”的要求，即被开方数需恒为非负数，易错点是忽略取值的任意性，仅根据部分特殊取值错误判断。
【难度系数】
0.7
4. 化简$\sqrt{16\frac{1}{5}}$的结果是
$\frac{9\sqrt{5}}{5}$
。答案
4. $\frac{9\sqrt{5}}{5}$.
解析
【分析】
化简带分数形式的二次根式，首先需要将带分数转化为假分数，再利用二次根式的除法性质拆分根式，最后通过分母有理化将结果化为最简二次根式即可。解题时注意不能直接对带分数的整数部分和分数部分分别开方。
【解析】
解：先将带分数化为假分数：
$16\frac{1}{5}=\frac{16×5 + 1}{5}=\frac{81}{5}$
再根据二次根式的性质化简：
$\sqrt{16\frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{81}{5}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{5}}=\frac{9}{\sqrt{5}}$
最后进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}$：
$\frac{9×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\frac{9\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
带分数化假分数；二次根式的性质；分母有理化
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题，解题的关键是先正确将带分数转化为假分数，再按照二次根式的运算规则计算，易错点是误将带分数的整数部分和分数部分拆分后分别开方。
【难度系数】
0.7
化简带分数形式的二次根式，首先需要将带分数转化为假分数，再利用二次根式的除法性质拆分根式，最后通过分母有理化将结果化为最简二次根式即可。解题时注意不能直接对带分数的整数部分和分数部分分别开方。
【解析】
解：先将带分数化为假分数：
$16\frac{1}{5}=\frac{16×5 + 1}{5}=\frac{81}{5}$
再根据二次根式的性质化简：
$\sqrt{16\frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{81}{5}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{5}}=\frac{9}{\sqrt{5}}$
最后进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}$：
$\frac{9×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\frac{9\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
带分数化假分数；二次根式的性质；分母有理化
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题，解题的关键是先正确将带分数转化为假分数，再按照二次根式的运算规则计算，易错点是误将带分数的整数部分和分数部分拆分后分别开方。
【难度系数】
0.7
5.根式$\frac{1}{2}\sqrt{5a - 4}$与$\frac{2}{3}\sqrt{8 - a}$是同类二次根式，试写出一个a的值：
如$2,\frac{8}{7},\frac{22}{23}$等
.答案
5. 如$2,\frac{8}{7},\frac{22}{23}$等.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，就属于同类二次根式。解题步骤可分为三步：第一步，先根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0），求出a的取值范围；第二步，根据同类二次根式的定义，最简后被开方数相同，最简便的计算方式是直接令两个被开方数相等，列方程求解；第三步，验证解出的a是否在取值范围内即可。
【解析】
首先根据二次根式有意义的条件，列不等式：
1. $5a - 4 ≥ 0$，解得 $a ≥ \frac{4}{5}$
2. $8 - a ≥ 0$，解得 $a ≤ 8$
因此a的取值范围是$\frac{4}{5} ≤ a ≤ 8$。
根据同类二次根式的定义，最简后被开方数相同，我们取最简情况令两个被开方数相等：
$5a - 4 = 8 - a$
移项合并同类项得：$6a = 12$
解得：$a = 2$
验证：当a=2时，两个根式分别为$\frac{1}{2}\sqrt{6}$和$\frac{2}{3}\sqrt{6}$，是同类二次根式，符合要求。
（也可令其中一个被开方数为另一个被开方数的正整数平方倍，可得到更多符合条件的a值，如$a=\frac{8}{7}$等）
【答案】
2（答案不唯一）
【知识点】
同类二次根式的定义；二次根式有意义的条件；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时需注意优先保证二次根式有意义，再根据同类二次根式的定义列等式求解，答案不唯一，选择最简单的取值即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，就属于同类二次根式。解题步骤可分为三步：第一步，先根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0），求出a的取值范围；第二步，根据同类二次根式的定义，最简后被开方数相同，最简便的计算方式是直接令两个被开方数相等，列方程求解；第三步，验证解出的a是否在取值范围内即可。
【解析】
首先根据二次根式有意义的条件，列不等式：
1. $5a - 4 ≥ 0$，解得 $a ≥ \frac{4}{5}$
2. $8 - a ≥ 0$，解得 $a ≤ 8$
因此a的取值范围是$\frac{4}{5} ≤ a ≤ 8$。
根据同类二次根式的定义，最简后被开方数相同，我们取最简情况令两个被开方数相等：
$5a - 4 = 8 - a$
移项合并同类项得：$6a = 12$
解得：$a = 2$
验证：当a=2时，两个根式分别为$\frac{1}{2}\sqrt{6}$和$\frac{2}{3}\sqrt{6}$，是同类二次根式，符合要求。
（也可令其中一个被开方数为另一个被开方数的正整数平方倍，可得到更多符合条件的a值，如$a=\frac{8}{7}$等）
【答案】
2（答案不唯一）
【知识点】
同类二次根式的定义；二次根式有意义的条件；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时需注意优先保证二次根式有意义，再根据同类二次根式的定义列等式求解，答案不唯一，选择最简单的取值即可。
【难度系数】
0.8
6. 已知$x,y$均为实数，且$y=\frac{1}{2}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{3-2x}$，则$x+y=$
2
。答案
6. 2.
解析
【分析】
要计算$x+y$的值，需先求出$x$和$y$的具体数值。观察$y$的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数，因此$\sqrt{2x-3}$和$\sqrt{3-2x}$的被开方数都要大于等于0，据此列出关于$x$的不等式组，解出$x$的值后再代入原式求$y$，最后计算$x+y$即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得不等式组：
$\begin{cases}2x-3≥0\\3-2x≥0\end{cases}$
解第一个不等式得：$x≥\frac{3}{2}$，
解第二个不等式得：$x≤\frac{3}{2}$，
因此不等式组的解为$x=\frac{3}{2}$。
将$x=\frac{3}{2}$代入$y=\frac{1}{2}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{3-2x}$，得：
$y=\frac{1}{2}+\sqrt{0}+\sqrt{0}=\frac{1}{2}$
则$x+y=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组；代数式求值
【点评】
本题的解题关键是利用二次根式被开方数的非负性，注意到两个被开方数互为相反数，仅当二者同时为0时满足非负要求，进而求出$x$的值，是二次根式章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
要计算$x+y$的值，需先求出$x$和$y$的具体数值。观察$y$的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数，因此$\sqrt{2x-3}$和$\sqrt{3-2x}$的被开方数都要大于等于0，据此列出关于$x$的不等式组，解出$x$的值后再代入原式求$y$，最后计算$x+y$即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得不等式组：
$\begin{cases}2x-3≥0\\3-2x≥0\end{cases}$
解第一个不等式得：$x≥\frac{3}{2}$，
解第二个不等式得：$x≤\frac{3}{2}$，
因此不等式组的解为$x=\frac{3}{2}$。
将$x=\frac{3}{2}$代入$y=\frac{1}{2}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{3-2x}$，得：
$y=\frac{1}{2}+\sqrt{0}+\sqrt{0}=\frac{1}{2}$
则$x+y=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组；代数式求值
【点评】
本题的解题关键是利用二次根式被开方数的非负性，注意到两个被开方数互为相反数，仅当二者同时为0时满足非负要求，进而求出$x$的值，是二次根式章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
7.若$\sqrt{x-2y+9}$与$\frac{2}{3}|x-y-3|$互为相反数，则$\sqrt{x+y}=$
$3\sqrt{3}$
.答案
7. $3\sqrt{3}$.
解析
【分析】
首先，根据互为相反数的两个数之和为0，可列出两个非负数相加等于0的等式。接着，回忆非负数的性质：算术平方根和绝对值的结果都大于等于0，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此可列出二元一次方程组。最后解方程组求出x、y的值，代入$\sqrt{x+y}$化简即可得到结果。
【解析】
解：由题意得：
$\sqrt{x-2y+9} + \frac{2}{3}|x-y-3| = 0$
∵ 算术平方根具有非负性，即$\sqrt{x-2y+9} ≥ 0$，绝对值也具有非负性，即$\frac{2}{3}|x-y-3| ≥ 0$，
∴ 两个非负数相加和为0时，满足：
$\begin{cases}x-2y+9=0 ① \\x-y-3=0 ②\end{cases}$
由②式变形得：$x = y + 3$，将其代入①式：
$y+3 - 2y +9 = 0$
解得$y=12$，再将$y=12$代入$x=y+3$，得$x=15$。
将$x=15$，$y=12$代入$\sqrt{x+y}$得：
$\sqrt{x+y}=\sqrt{15+12}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
非负数的性质；二元一次方程组的解法；二次根式化简
【点评】
本题属于代数综合基础题，将非负数性质、方程组求解、二次根式化简三个考点结合，解题核心是熟练掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质，计算时注意二次根式要化简为最简形式。
【难度系数】
0.7
首先，根据互为相反数的两个数之和为0，可列出两个非负数相加等于0的等式。接着，回忆非负数的性质：算术平方根和绝对值的结果都大于等于0，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此可列出二元一次方程组。最后解方程组求出x、y的值，代入$\sqrt{x+y}$化简即可得到结果。
【解析】
解：由题意得：
$\sqrt{x-2y+9} + \frac{2}{3}|x-y-3| = 0$
∵ 算术平方根具有非负性，即$\sqrt{x-2y+9} ≥ 0$，绝对值也具有非负性，即$\frac{2}{3}|x-y-3| ≥ 0$，
∴ 两个非负数相加和为0时，满足：
$\begin{cases}x-2y+9=0 ① \\x-y-3=0 ②\end{cases}$
由②式变形得：$x = y + 3$，将其代入①式：
$y+3 - 2y +9 = 0$
解得$y=12$，再将$y=12$代入$x=y+3$，得$x=15$。
将$x=15$，$y=12$代入$\sqrt{x+y}$得：
$\sqrt{x+y}=\sqrt{15+12}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
非负数的性质；二元一次方程组的解法；二次根式化简
【点评】
本题属于代数综合基础题，将非负数性质、方程组求解、二次根式化简三个考点结合，解题核心是熟练掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质，计算时注意二次根式要化简为最简形式。
【难度系数】
0.7
8.已知根式$\sqrt{5a - 8}$和$\sqrt{14 - 3a}$都是最简二次根式，且a为整数，那么a可取的值为
3
。答案
8. 3.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，二次根式要有意义，被开方数必须是非负数，因此先列出关于a的不等式组，求出a的取值范围；第二步，结合a为整数的要求，找出取值范围内所有的整数候选值；第三步，依据最简二次根式的定义（被开方数不含能开得尽方的因数，也不含分母），逐个验证候选值是否符合要求，最终确定a的取值。
【解析】
首先根据二次根式有意义的条件（被开方数非负），列不等式组：
$\begin{cases}5a - 8 ≥ 0 \\14 - 3a ≥ 0 \end{cases}$
解第一个不等式：$5a ≥ 8$，得$a ≥ \frac{8}{5}=1.6$
解第二个不等式：$3a ≤14$，得$a ≤ \frac{14}{3}\approx4.67$
因为a为整数，所以a的候选取值为2、3、4。
接下来逐个验证是否满足两个根式均为最简二次根式：
①当a=2时，$\sqrt{14-3a}=\sqrt{14-6}=\sqrt{8}$，$\sqrt{8}$含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，不符合要求；
②当a=3时，$\sqrt{5a-8}=\sqrt{15-8}=\sqrt{7}$，$\sqrt{14-3a}=\sqrt{14-9}=\sqrt{5}$，$\sqrt{7}$和$\sqrt{5}$都是最简二次根式，符合要求；
③当a=4时，$\sqrt{5a-8}=\sqrt{20-8}=\sqrt{12}$，$\sqrt{12}$含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，不符合要求。
综上，a可取的值为3。
【答案】
3
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 最简二次根式的定义
3. 不等式组的整数解
【点评】
本题综合考查二次根式的相关性质，解题时要按照先求范围、再筛选验证的逻辑推进，易错点是容易忽略“最简二次根式”的验证步骤，直接将取值范围内的整数全部当作正确结果。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，二次根式要有意义，被开方数必须是非负数，因此先列出关于a的不等式组，求出a的取值范围；第二步，结合a为整数的要求，找出取值范围内所有的整数候选值；第三步，依据最简二次根式的定义（被开方数不含能开得尽方的因数，也不含分母），逐个验证候选值是否符合要求，最终确定a的取值。
【解析】
首先根据二次根式有意义的条件（被开方数非负），列不等式组：
$\begin{cases}5a - 8 ≥ 0 \\14 - 3a ≥ 0 \end{cases}$
解第一个不等式：$5a ≥ 8$，得$a ≥ \frac{8}{5}=1.6$
解第二个不等式：$3a ≤14$，得$a ≤ \frac{14}{3}\approx4.67$
因为a为整数，所以a的候选取值为2、3、4。
接下来逐个验证是否满足两个根式均为最简二次根式：
①当a=2时，$\sqrt{14-3a}=\sqrt{14-6}=\sqrt{8}$，$\sqrt{8}$含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，不符合要求；
②当a=3时，$\sqrt{5a-8}=\sqrt{15-8}=\sqrt{7}$，$\sqrt{14-3a}=\sqrt{14-9}=\sqrt{5}$，$\sqrt{7}$和$\sqrt{5}$都是最简二次根式，符合要求；
③当a=4时，$\sqrt{5a-8}=\sqrt{20-8}=\sqrt{12}$，$\sqrt{12}$含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，不符合要求。
综上，a可取的值为3。
【答案】
3
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 最简二次根式的定义
3. 不等式组的整数解
【点评】
本题综合考查二次根式的相关性质，解题时要按照先求范围、再筛选验证的逻辑推进，易错点是容易忽略“最简二次根式”的验证步骤，直接将取值范围内的整数全部当作正确结果。
【难度系数】
0.7
9.在实数范围内，根式$\sqrt{1-x^2}$有意义，则下列结论正确的是………………【 】
A.$x ≤ 1$
B.$x ≠ 1$
C.$-1 ≤ x ≤ 1$
D.$x$为任意实数
A.$x ≤ 1$
B.$x ≠ 1$
C.$-1 ≤ x ≤ 1$
D.$x$为任意实数
答案
9. C.
解析
【分析】
要判断根式有意义时x的取值范围，首先回忆二次根式有意义的核心条件：被开方数必须为非负数。第一步先找到该根式的被开方数是$1-x^2$，据此列出不等式；第二步求解不等式，结合平方的性质得到x的取值范围，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，可得：
$1 - x^2 ≥ 0$
移项得：$x^2 ≤ 1$
由平方的性质可知，满足平方小于等于1的实数x的取值范围是$-1 ≤ x ≤ 1$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 平方的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次根式的相关性质，解题的关键是牢记二次根式的被开方数必须是非负数，正确列出不等式求解即可。
【难度系数】
0.9
要判断根式有意义时x的取值范围，首先回忆二次根式有意义的核心条件：被开方数必须为非负数。第一步先找到该根式的被开方数是$1-x^2$，据此列出不等式；第二步求解不等式，结合平方的性质得到x的取值范围，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，可得：
$1 - x^2 ≥ 0$
移项得：$x^2 ≤ 1$
由平方的性质可知，满足平方小于等于1的实数x的取值范围是$-1 ≤ x ≤ 1$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 平方的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次根式的相关性质，解题的关键是牢记二次根式的被开方数必须是非负数，正确列出不等式求解即可。
【难度系数】
0.9
10.下列各根式中，与$\sqrt{7}$是同类二次根式的是 …………………………………………【 】
A.$\sqrt{21}$
B.$\sqrt{28}$
C.$\sqrt{49}$
D.$\sqrt{56}$
A.$\sqrt{21}$
B.$\sqrt{28}$
C.$\sqrt{49}$
D.$\sqrt{56}$
答案
10. B.
解析
【分析】
要判断哪个根式与$\sqrt{7}$是同类二次根式，首先明确同类二次根式的判定规则：需先将所有根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同，相同则为同类二次根式。因此解题步骤为：先逐个化简四个选项的二次根式，再比对化简后的被开方数是否为7即可。
【解析】
根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式，我们对各选项逐一化简判断：
A. $\sqrt{21}$已是最简二次根式，被开方数为21，与7不相同，不是同类二次根式；
B. $\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=\sqrt{4}×\sqrt{7}=2\sqrt{7}$，化简后被开方数为7，与$\sqrt{7}$是同类二次根式；
C. $\sqrt{49}=7$，是整数，不含二次根号，不是同类二次根式；
D. $\sqrt{56}=\sqrt{4×14}=\sqrt{4}×\sqrt{14}=2\sqrt{14}$，化简后被开方数为14，与7不相同，不是同类二次根式。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式的定义；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式部分的基础题型，考查核心是同类二次根式的判别方法，易错点是部分同学未将根式化为最简就直接比较原被开方数导致错选，熟练掌握二次根式的化简规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断哪个根式与$\sqrt{7}$是同类二次根式，首先明确同类二次根式的判定规则：需先将所有根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同，相同则为同类二次根式。因此解题步骤为：先逐个化简四个选项的二次根式，再比对化简后的被开方数是否为7即可。
【解析】
根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式，我们对各选项逐一化简判断：
A. $\sqrt{21}$已是最简二次根式，被开方数为21，与7不相同，不是同类二次根式；
B. $\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=\sqrt{4}×\sqrt{7}=2\sqrt{7}$，化简后被开方数为7，与$\sqrt{7}$是同类二次根式；
C. $\sqrt{49}=7$，是整数，不含二次根号，不是同类二次根式；
D. $\sqrt{56}=\sqrt{4×14}=\sqrt{4}×\sqrt{14}=2\sqrt{14}$，化简后被开方数为14，与7不相同，不是同类二次根式。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式的定义；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式部分的基础题型，考查核心是同类二次根式的判别方法，易错点是部分同学未将根式化为最简就直接比较原被开方数导致错选，熟练掌握二次根式的化简规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
11.已知$a=\sqrt{5}-5$，$b=5-\sqrt{5}$，则下列结论错误的是 ……………………【 】
A.$|a|=|b|$
B.$a^2 = b^2$
C.$a=\frac{1}{b}$
D.$a+b=0$
A.$|a|=|b|$
B.$a^2 = b^2$
C.$a=\frac{1}{b}$
D.$a+b=0$
答案
11. C.
解析
【分析】
首先观察给出的a和b的表达式，可先判断a与b的数量关系：$a=\sqrt{5}-5=-(5-\sqrt{5})=-b$，即a和b互为相反数。接下来结合相反数的性质，逐个验证四个选项的正确性即可，遇到涉及倒数的选项可通过计算两数乘积或者分母有理化的方式验证。
【解析】
已知$a=\sqrt{5}-5$，$b=5-\sqrt{5}$，可得$a=-(5-\sqrt{5})=-b$，即$a$与$b$互为相反数。
选项A：互为相反数的两个数绝对值相等，故$|a|=|b|$，结论正确，不符合题意；
选项B：互为相反数的两个数平方相等，计算验证：$a^2=(\sqrt{5}-5)^2=(\sqrt{5})^2-2×\sqrt{5}×5+5^2=5-10\sqrt{5}+25=30-10\sqrt{5}$，$b^2=(5-\sqrt{5})^2=5^2-2×5×\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=25-10\sqrt{5}+5=30-10\sqrt{5}$，故$a^2=b^2$，结论正确，不符合题意；
选项C：若$a=\frac{1}{b}$，则$ab=1$，计算$ab=(\sqrt{5}-5)(5-\sqrt{5})=-(\sqrt{5}-5)^2=-(30-10\sqrt{5})=10\sqrt{5}-30≠1$，结论错误，符合题意；
选项D：互为相反数的两个数和为0，计算$a+b=(\sqrt{5}-5)+(5-\sqrt{5})=0$，结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
相反数的性质；二次根式运算；倒数的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先发现a与b互为相反数的关系，借助相反数的性质可快速判断多数选项，再通过二次根式的运算验证剩余选项即可，注意涉及分母含二次根式的倒数验证时要正确进行分母有理化。
【难度系数】
0.8
首先观察给出的a和b的表达式，可先判断a与b的数量关系：$a=\sqrt{5}-5=-(5-\sqrt{5})=-b$，即a和b互为相反数。接下来结合相反数的性质，逐个验证四个选项的正确性即可，遇到涉及倒数的选项可通过计算两数乘积或者分母有理化的方式验证。
【解析】
已知$a=\sqrt{5}-5$，$b=5-\sqrt{5}$，可得$a=-(5-\sqrt{5})=-b$，即$a$与$b$互为相反数。
选项A：互为相反数的两个数绝对值相等，故$|a|=|b|$，结论正确，不符合题意；
选项B：互为相反数的两个数平方相等，计算验证：$a^2=(\sqrt{5}-5)^2=(\sqrt{5})^2-2×\sqrt{5}×5+5^2=5-10\sqrt{5}+25=30-10\sqrt{5}$，$b^2=(5-\sqrt{5})^2=5^2-2×5×\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=25-10\sqrt{5}+5=30-10\sqrt{5}$，故$a^2=b^2$，结论正确，不符合题意；
选项C：若$a=\frac{1}{b}$，则$ab=1$，计算$ab=(\sqrt{5}-5)(5-\sqrt{5})=-(\sqrt{5}-5)^2=-(30-10\sqrt{5})=10\sqrt{5}-30≠1$，结论错误，符合题意；
选项D：互为相反数的两个数和为0，计算$a+b=(\sqrt{5}-5)+(5-\sqrt{5})=0$，结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
相反数的性质；二次根式运算；倒数的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先发现a与b互为相反数的关系，借助相反数的性质可快速判断多数选项，再通过二次根式的运算验证剩余选项即可，注意涉及分母含二次根式的倒数验证时要正确进行分母有理化。
【难度系数】
0.8
12.下列各式的化简过程以及化简结果正确的是 …………………………【 】
A.$\frac{\sqrt{27} - \sqrt{12}}{3} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$
B.$\frac{\sqrt{12} - \sqrt{8}}{4} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
C.$(3 - \sqrt{8})(3 + \sqrt{8}) = 3^2 - (\sqrt{8})^2 = 9 - 8 = 1$
D.$\frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} - 3}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
A.$\frac{\sqrt{27} - \sqrt{12}}{3} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$
B.$\frac{\sqrt{12} - \sqrt{8}}{4} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
C.$(3 - \sqrt{8})(3 + \sqrt{8}) = 3^2 - (\sqrt{8})^2 = 9 - 8 = 1$
D.$\frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} - 3}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
答案
12. C.
解析
【分析】
本题为二次根式运算正误判断题，解题时需逐一验证每个选项的运算过程是否符合二次根式的化简、四则运算、乘法公式及分母有理化的规则，最终选出运算完全正确的选项。
【解析】
我们逐个分析各选项：
选项A：$\frac{\sqrt{27}-\sqrt{12}}{3}=\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，选项中错误将分母直接放入根号内与被开方数相除，第一步运算就出错，故A错误。
选项B：$\frac{\sqrt{12}-\sqrt{8}}{4}=\frac{2\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，选项中错误约分分子的系数，结果错误，故B错误。
选项C：利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，代入$a=3$，$b=\sqrt{8}$，可得$(3-\sqrt{8})(3+\sqrt{8})=3^2-(\sqrt{8})^2=9-8=1$，运算完全正确，故C正确。
选项D：分母有理化可得$\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{(3-\sqrt{3})×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}-3}{3}=\sqrt{3}-1$，选项中约分错误，结果错误，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式混合运算，平方差公式，分母有理化
【点评】
本题重点考查二次根式的基础运算规则，易错点集中在二次根式除法的系数约分、运算公式的正确使用以及分母有理化后的化简，需要学生熟练掌握二次根式的运算法则，运算时细心避免低级错误。
【难度系数】
0.7
本题为二次根式运算正误判断题，解题时需逐一验证每个选项的运算过程是否符合二次根式的化简、四则运算、乘法公式及分母有理化的规则，最终选出运算完全正确的选项。
【解析】
我们逐个分析各选项：
选项A：$\frac{\sqrt{27}-\sqrt{12}}{3}=\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，选项中错误将分母直接放入根号内与被开方数相除，第一步运算就出错，故A错误。
选项B：$\frac{\sqrt{12}-\sqrt{8}}{4}=\frac{2\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，选项中错误约分分子的系数，结果错误，故B错误。
选项C：利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，代入$a=3$，$b=\sqrt{8}$，可得$(3-\sqrt{8})(3+\sqrt{8})=3^2-(\sqrt{8})^2=9-8=1$，运算完全正确，故C正确。
选项D：分母有理化可得$\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{(3-\sqrt{3})×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}-3}{3}=\sqrt{3}-1$，选项中约分错误，结果错误，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式混合运算，平方差公式，分母有理化
【点评】
本题重点考查二次根式的基础运算规则，易错点集中在二次根式除法的系数约分、运算公式的正确使用以及分母有理化后的化简，需要学生熟练掌握二次根式的运算法则，运算时细心避免低级错误。
【难度系数】
0.7
