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13. $(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2}-\sqrt{3})$
14.
14.
答案
13. $2\sqrt{6}-5$.
14. $\frac{\sqrt{115}}{6}$.
14. $\frac{\sqrt{115}}{6}$.
解析
第13题
【分析】
本题是二次根式的乘法运算，观察式子特征，可先将原式变形为$-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$，再利用完全平方公式展开计算，既可以简化运算，也能避免符号出错。如果直接用多项式乘多项式法则展开，也要注意每一项的符号不要写错。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=-(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})\\&=-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\\&=-[(\sqrt{3})^2 - 2×\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2]\\&=-(3 - 2\sqrt{6} + 2)\\&=-(5 - 2\sqrt{6})\\&=2\sqrt{6}-5\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{6}-5$
【知识点】
二次根式乘法运算、完全平方公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，核心是合理变形套用乘法公式简化计算，重点要注意符号的处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
---
第14题
【分析】
本题是根号下平方差形式的二次根式化简，观察根号内的式子是两个数的平方作差，优先使用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解因式，再把带分数转化为假分数进行计算，最后化简二次根式得到结果，比先计算平方再作差的计算量更小，不容易出错。
【解析】
解：先将带分数化为假分数：$2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$，$1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{(\frac{7}{3})^2 - (\frac{3}{2})^2}\\&=\sqrt{(\frac{7}{3}+\frac{3}{2})(\frac{7}{3}-\frac{3}{2})}\\&=\sqrt{(\frac{14}{6}+\frac{9}{6})(\frac{14}{6}-\frac{9}{6})}\\&=\sqrt{\frac{23}{6}×\frac{5}{6}}\\&=\sqrt{\frac{115}{36}}\\&=\frac{\sqrt{115}}{\sqrt{36}}\\&=\frac{\sqrt{115}}{6}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{\sqrt{115}}{6}$
【知识点】
平方差公式、二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式的化简运算，灵活运用乘法公式可以有效降低计算难度，计算时注意带分数要先化为假分数再进行加减乘除运算。
【难度系数】
0.75
【分析】
本题是二次根式的乘法运算，观察式子特征，可先将原式变形为$-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$，再利用完全平方公式展开计算，既可以简化运算，也能避免符号出错。如果直接用多项式乘多项式法则展开，也要注意每一项的符号不要写错。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=-(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})\\&=-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\\&=-[(\sqrt{3})^2 - 2×\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2]\\&=-(3 - 2\sqrt{6} + 2)\\&=-(5 - 2\sqrt{6})\\&=2\sqrt{6}-5\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{6}-5$
【知识点】
二次根式乘法运算、完全平方公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，核心是合理变形套用乘法公式简化计算，重点要注意符号的处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
---
第14题
【分析】
本题是根号下平方差形式的二次根式化简，观察根号内的式子是两个数的平方作差，优先使用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解因式，再把带分数转化为假分数进行计算，最后化简二次根式得到结果，比先计算平方再作差的计算量更小，不容易出错。
【解析】
解：先将带分数化为假分数：$2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$，$1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{(\frac{7}{3})^2 - (\frac{3}{2})^2}\\&=\sqrt{(\frac{7}{3}+\frac{3}{2})(\frac{7}{3}-\frac{3}{2})}\\&=\sqrt{(\frac{14}{6}+\frac{9}{6})(\frac{14}{6}-\frac{9}{6})}\\&=\sqrt{\frac{23}{6}×\frac{5}{6}}\\&=\sqrt{\frac{115}{36}}\\&=\frac{\sqrt{115}}{\sqrt{36}}\\&=\frac{\sqrt{115}}{6}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{\sqrt{115}}{6}$
【知识点】
平方差公式、二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式的化简运算，灵活运用乘法公式可以有效降低计算难度，计算时注意带分数要先化为假分数再进行加减乘除运算。
【难度系数】
0.75
四、计算题（每小题6分，共24分）
15. $\frac{5}{6}\sqrt{18} ÷ 2\sqrt{8} × \frac{1}{3}\sqrt{54}$
16. $\sqrt{8} - (\sqrt{10} + 2)(\sqrt{10} - 2) + (\frac{1}{3})^{-2} + \sqrt[3]{-27}$
17. $5\sqrt{28} - 9\sqrt{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3}\sqrt{63} + \sqrt{12}$
15. $\frac{5}{6}\sqrt{18} ÷ 2\sqrt{8} × \frac{1}{3}\sqrt{54}$
16. $\sqrt{8} - (\sqrt{10} + 2)(\sqrt{10} - 2) + (\frac{1}{3})^{-2} + \sqrt[3]{-27}$
17. $5\sqrt{28} - 9\sqrt{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3}\sqrt{63} + \sqrt{12}$
答案
15. $\frac{5\sqrt{6}}{8}$.
16. $2\sqrt{2}$.
17. $9\sqrt{7}-\sqrt{3}$.
16. $2\sqrt{2}$.
17. $9\sqrt{7}-\sqrt{3}$.
解析
【分析】
这三道题均属于二次根式的混合运算类题目，解题思路可遵循以下步骤：1. 先把算式中所有二次根式化简为最简二次根式，同时计算开方、负指数幂等基础运算；2. 按照运算优先级计算：先乘除后加减，有括号优先计算括号内的内容，乘除运算时可以将系数和二次根式分别计算，加减运算时只需合并同类二次根式；3. 遇到符合乘法公式特征的式子，优先使用公式简化运算，减少计算量。
【解析】
15题
利用二次根式乘除运算法则$a\sqrt{b} ÷ c\sqrt{d} = (a÷ c)×\sqrt{b÷ d}$、$a\sqrt{b} × c\sqrt{d} = (a× c)×\sqrt{b× d}$计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= (\frac{5}{6}÷2×\frac{1}{3})×\sqrt{18÷8×54}\\&= \frac{5}{36}×\sqrt{\frac{972}{8}}\\&= \frac{5}{36}×\frac{9\sqrt{6}}{2}\\&= \frac{5\sqrt{6}}{8}\end{aligned}$
16题
先分别计算每一项，利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$、负指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$、立方根定义计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= 2\sqrt{2} - [(\sqrt{10})^2 - 2^2] + 3^2 + (-3)\\&= 2\sqrt{2} - 6 +9 -3\\&= 2\sqrt{2}\end{aligned}$
17题
先化简所有二次根式，再合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= 5×2\sqrt{7} - 9×\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{3}×3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}\\&= 10\sqrt{7} -3\sqrt{3} -\sqrt{7} +2\sqrt{3}\\&= 9\sqrt{7}-\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
15. $\frac{5\sqrt{6}}{8}$；16. $2\sqrt{2}$；17. $9\sqrt{7}-\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算、平方差公式
【点评】
三道题均围绕二次根式运算核心考点设置，侧重考查运算熟练度，解题时需注意运算顺序和符号问题，熟练掌握最简二次根式化简方法及相关运算公式可有效提高解题准确率。
【难度系数】
0.7
这三道题均属于二次根式的混合运算类题目，解题思路可遵循以下步骤：1. 先把算式中所有二次根式化简为最简二次根式，同时计算开方、负指数幂等基础运算；2. 按照运算优先级计算：先乘除后加减，有括号优先计算括号内的内容，乘除运算时可以将系数和二次根式分别计算，加减运算时只需合并同类二次根式；3. 遇到符合乘法公式特征的式子，优先使用公式简化运算，减少计算量。
【解析】
15题
利用二次根式乘除运算法则$a\sqrt{b} ÷ c\sqrt{d} = (a÷ c)×\sqrt{b÷ d}$、$a\sqrt{b} × c\sqrt{d} = (a× c)×\sqrt{b× d}$计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= (\frac{5}{6}÷2×\frac{1}{3})×\sqrt{18÷8×54}\\&= \frac{5}{36}×\sqrt{\frac{972}{8}}\\&= \frac{5}{36}×\frac{9\sqrt{6}}{2}\\&= \frac{5\sqrt{6}}{8}\end{aligned}$
16题
先分别计算每一项，利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$、负指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$、立方根定义计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= 2\sqrt{2} - [(\sqrt{10})^2 - 2^2] + 3^2 + (-3)\\&= 2\sqrt{2} - 6 +9 -3\\&= 2\sqrt{2}\end{aligned}$
17题
先化简所有二次根式，再合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= 5×2\sqrt{7} - 9×\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{3}×3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}\\&= 10\sqrt{7} -3\sqrt{3} -\sqrt{7} +2\sqrt{3}\\&= 9\sqrt{7}-\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
15. $\frac{5\sqrt{6}}{8}$；16. $2\sqrt{2}$；17. $9\sqrt{7}-\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算、平方差公式
【点评】
三道题均围绕二次根式运算核心考点设置，侧重考查运算熟练度，解题时需注意运算顺序和符号问题，熟练掌握最简二次根式化简方法及相关运算公式可有效提高解题准确率。
【难度系数】
0.7
18.已知$a=\sqrt{3}-1$，先化简，再求值：
答案
18. 提示:原式$=\frac{3}{1+a}$.
当$a=\sqrt{3}-1$时，原式$=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$.
当$a=\sqrt{3}-1$时，原式$=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题为分式化简求值题，解题思路如下：首先处理括号内的分式减法，利用平方差公式对分母$1-a^2$因式分解，找到最简公分母通分，计算括号内的结果；接着将除法运算转换为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数），再对分子分母约分得到最简分式；最后将$a=\sqrt{3}-1$代入最简式，化简二次根式得到最终结果。
【解析】
先利用平方差公式因式分解$1-a^2=(1-a)(1+a)$，对原式变形：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=( \frac{a+2}{(1-a)(1+a)} - \frac{2}{a+1} ) ÷ \frac{a}{1-a}\\&=( \frac{a+2}{(1-a)(1+a)} - \frac{2(1-a)}{(1-a)(1+a)} ) × \frac{1-a}{a}\\&=\frac{a+2 -2 + 2a}{(1-a)(1+a)} × \frac{1-a}{a}\\&=\frac{3a}{(1-a)(1+a)} × \frac{1-a}{a}\\&=\frac{3}{1+a}\end{aligned}$
将$a=\sqrt{3}-1$代入上式：
$\mathrm{原式}=\frac{3}{1+\sqrt{3}-1}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题重点考查分式运算规则和二次根式的化简，解题的关键是正确通分、约分，注意运算过程中的符号问题，代入数值后要将二次根式化为最简形式。
【难度系数】
0.7
本题为分式化简求值题，解题思路如下：首先处理括号内的分式减法，利用平方差公式对分母$1-a^2$因式分解，找到最简公分母通分，计算括号内的结果；接着将除法运算转换为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数），再对分子分母约分得到最简分式；最后将$a=\sqrt{3}-1$代入最简式，化简二次根式得到最终结果。
【解析】
先利用平方差公式因式分解$1-a^2=(1-a)(1+a)$，对原式变形：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=( \frac{a+2}{(1-a)(1+a)} - \frac{2}{a+1} ) ÷ \frac{a}{1-a}\\&=( \frac{a+2}{(1-a)(1+a)} - \frac{2(1-a)}{(1-a)(1+a)} ) × \frac{1-a}{a}\\&=\frac{a+2 -2 + 2a}{(1-a)(1+a)} × \frac{1-a}{a}\\&=\frac{3a}{(1-a)(1+a)} × \frac{1-a}{a}\\&=\frac{3}{1+a}\end{aligned}$
将$a=\sqrt{3}-1$代入上式：
$\mathrm{原式}=\frac{3}{1+\sqrt{3}-1}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题重点考查分式运算规则和二次根式的化简，解题的关键是正确通分、约分，注意运算过程中的符号问题，代入数值后要将二次根式化为最简形式。
【难度系数】
0.7
